Числовые ряды - определения и свойства (1092165), страница 2
Текст из файла (страница 2)
, òî î÷åâèäíî,nn23÷òî1111Sn > √ + √ + √ + · · · + √ ,nnnn√Sn > n. Îòñþäà íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò,Sn > n · √1n , ò.å.lim Sn = ∞, è, ñëåäîâàòåëüíî,n→∞ðÿä ðàñõîäèòñÿ.÷òî172Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 10. ×èñëîâûå ðÿäû. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿÏðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 10. ×èñëîâûå ðÿäû.Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ×èñëîâûå ðÿäû ÿâëÿþòñÿ îäíèì èç âàæíåéøèõ ðàçäåëîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.
Ïðèñòóïàÿ ê ïðàêòè÷åñêîìó èçó÷åíèþ ðÿäîâ,ïðåæäå âñåãî ñëåäóåò óñâîèòü ïîíÿòèÿ ñõîäÿùåãîñÿ è ðàñõîäÿùåãîñÿ ÷èñëîâîãî ðÿäà, à çàòåì ïåðåéòè ê èçó÷åíèþ ïðèçíàêîâ (óñëîâèé)ñõîäèìîñòè ðÿäîâ. Ñëåäóåò ïîíèìàòü è ïðàâèëüíî ïðèìåíÿòü íåîá-lim un = 0,n→∞ãäå un îáùèé ÷ëåí ðÿäà, ÿâëÿåòñÿ ëèøü íåîáõîäèìûì óñëîâèåì äëÿõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè. Ðàâåíñòâîñõîäèìîñòè ðÿäà. Åñëè ýòî óñëîâèå íå âûïîëíÿåòñÿ, òî èññëåäóåìûéðÿä ðàñõîäèòñÿ, à åñëè ýòî óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ, òî îêîí÷àòåëüíî îòâåòèòü íà âîïðîñ î ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîãî ðÿäà ìîæíî òîëüêî ïîñëåèññëåäîâàíèÿ åãî ñ ïîìîùüþ îäíîãî èç äîñòàòî÷íûõ ïðèçíàêîâ ñõîäèìîñòè.Äàí îáùèé ÷ëåí ðÿäà un =÷åòûðå ÷ëåíà ðÿäà.Ïðèìåð 10.1.Ð å ø å í è å:2n−1.n!Çàïèñàòü ïåðâûå ÷èñëèòåëå çàïèñàí îáùèé ÷ëåí ãåîìåòðè÷åñêîéïðîãðåññèè, çíàìåíàòåëü êîòîðîé q=2.
 çíàìåíàòåëå ìû èìååì äåëîñ ôàêòîðèàëîì n! ïðîèçâîëüíîãî öåëîãî ÷èñëà n>0, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëàìè: 0!=1, 1!=1, 2!=1·2, 3!=1·2·3, n!=1·2·3·...·n. Ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:12482n−1+ + + + ··· ++ ··· .1! 2! 3! 4!n!Ïðèìåð 10.2.Íàéòè îáùèé ÷ëåí ðÿäà1 1 11 + + + + ··· .3 5 7Ð å ø å í è å:Êàê è â ñëó÷àå ñ îáùèì ÷ëåíîì ïîñëåäîâàòåëü-íîñòè, çäåñü íåîáõîäèìî óñòàíîâèòü çàêîíîìåðíîñòü èçìåíåíèÿ êàæäîãî ÷ëåíà ðÿäà îò åãî íîìåðà n.  äàííîì ñëó÷àå èçìåíÿþòñÿ òîëüêî çíàìåíàòåëè, êîòîðûå îáðàçóþò àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ 1, 3,5, 7,. .
. Èçâåñòíî, ÷òî n-é ÷ëåí àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè ìîæíîan = a1 + d(n − 1). Çäåñü a1 = 1, d = 2, ïîýòîìó1an = 1 +2(n−1) = 2n−1. Ñëåäîâàòåëüíî, îáùèé ÷ëåí ðÿäà un = 2n−1.íàéòè ïî ôîðìóëåÏðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 10. ×èñëîâûå ðÿäû. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ173Íàéòè îáùèé ÷ëåí ðÿäà1 · 4 1 · 4 · 9 1 · 4 · 9 · 161++++ ··· .1 · 4 1 · 4 · 7 1 · 4 · 7 · 10Ïðèìåð 10.3.Ð å ø å í è å:  ÷èñëèòåëå ñîìíîæèòåëè îáðàçóþò ïîñëåäîâàòåëü2íîñòü ñ îáùèì ÷ëåíîì n .  çíàìåíàòåëå êàæäûé ÷ëåí ðÿäà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîèçâåäåíèå íåñêîëüêèõ ïåðâûõ ÷ëåíîâ àðèôìåòè÷åñêîéïðîãðåññèè (a1= 1, d = 3). ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé îáùåãî ÷ëåíààðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè (ñì.
ïðåäûäóùèé ïðèìåð)1·4·9·16····n2.Ñëåäîâàòåëüíî, îáùèé ÷ëåí ðÿäà un =1·4·7·10····(3n−2)an = 3n − 2.Íàéòè ñóììó ðÿäà1111+++ ··· ++ ....1 · 12 12 · 23 23 · 34(11n − 10) · (11n + 1)Ïðèìåð 10.4.Ð å ø å í è å:Ðàçëîæèì îáùèé ÷ëåí ðÿäà íà ñóììó äâóõ äðîáåéïî ìåòîäó íåîïðåäåë¼ííûõ êîýôôèöèåíòîâ:1A\11n+1B \11n−10=+=(11n − 10) · (11n + 1)11n − 1011n + 1=A(11n + 1) + B(11n − 10).(11n − 10) · (11n + 1)Äâå äðîáè ðàâíû, åñëè ðàâíû èõ ÷èñëèòåëè è çíàìåíàòåëè, ñëåäîâàòåëüíî:Ïîëàãàÿ n=0,Ïîëàãàÿ n=1,1 = A(11n + 1) + B(11n − 10).{èìååìA − 10B = 1.èìååì12A + B = 1.Ðåøèâ ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ11À è Â, íàéäåì A =, B = − 11.
Îáùèé ÷ëåí ðÿäà ìîæíî ïåðåïèñàòü11â âèäå:11un ==(11n − 10) · (11n + 1)11(11−11n − 10 11n + 1).Çàïèøåì íåñêîëüêî ïåðâûõ ÷ëåíîâ ðÿäà:1u1 =11()()()11111111−, u2 =−, u3 =−,... .1211 12 2311 23 34Ñëåäîâàòåëüíî:1Sn =11()()()1111111−−1−+++ ···1211 12 2311 23 34174Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 10. ×èñëîâûå ðÿäû. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ()111+−=11 11n − 10 11n + 1()111111111−+−+−+ ··· +−=1112 12 23 23 3411n − 10 11n + 1()11=1−.1111n + 1()111Èòàê, S = lim Sn = lim1 − 11n+1= 11.11Îòâåò: S=n→∞1.11n→∞Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà è âû÷èñëèòü ñóììóðÿäà, åñëè îí ñõîäèòñÿ.2 1 111+ + +++ ··· .3 3 6 12 24Ïðèìåð 10.5.Ð å ø å í è å:Ðÿä ñîñòàâëåí èç ÷ëåíîâ áåñêîíå÷íî óáûâàþùåéb1 = 23 , q = 12 , è ïîýòîìó ñõîäèòñÿ. Íàéäåìãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèèñóììó ðÿäà:S=Ïðèìåð 10.6.Ð å ø å í è å:2b1= 31−q1−124= .3Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà.∞∑5n + 1.4n−1n=1Ïðîâåðèì íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè:5n + 15= ̸= 0.n→∞ 4n − 14lim un = limn→∞Îòâåò: Äàííûé ðÿä ðàñõîäèòñÿ, ò.ê.
íå âûïîëíÿåòñÿ íåîáõîäèìûéïðèçíàê ñõîäèìîñòè.Ëåêöèÿ 11. Çíàêîïîñòîÿííûå ðÿäû175Ñàìîñòîÿòåëüíàÿ ðàáîòàÍàéòè îáùèé ÷ëåí ðÿäà1 111− + −+ ··· .4 9 1610.8. Íàéòè îáùèé ÷ëåí ðÿäà( )2 ( )3 ( )42345++++ ··· .371115Ïðèìåð 10.7.ÏðèìåðÍàéòè ñóììó ðÿäà1111+++ ··· ++ ··· .1·3 3·5 5·7(2n − 1)(2n + 1)Ïðèìåð 10.9.Íàéòè ñóììó ðÿäà1111+++ ··· ++ ··· .1·2·3 2·3·4 3·4·5n(n + 1)(n + 2)Ïðèìåð 10.10.Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà è âû÷èñëèòü ñóììó ðÿäà, åñëè îí ñõîäèòñÿ1 1 11 + + + + ··· .2 4 8Ïðèìåð 10.12. Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà∞∑n.3n−1n=1Ïðèìåð 10.11.Ëåêöèÿ 11. Çíàêîïîñòîÿííûå ðÿäûÄîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè çíàêîïîëîæèòåëüíûõ ðÿäîâÊàê ìû óæå çíàåì, ñóììîé ðÿäà íàçûâàåòñÿ ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì:S = lim Sn .Îäíàêî íàõîæäåíèå ýòîn→∞ãî ïðåäåëà âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ñâÿçàíî ñ áîëüøèìè òðóäíîñòÿìè.
Âòàêèõ ñëó÷àÿõ ñóììó ðÿäà íàõîäÿò ïðèáëèæ¼ííî, çàìåíÿÿ å¼ ÷àñòè÷íîé ñóììîéSnñ äîñòàòî÷íî áîëüøèì íîìåðîìn.Íî äëÿ ýòîãî íàäîáûòü óâåðåííûì, ÷òî äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ. Ñõîäèìîñòü èëè ðàñõîäèìîñòü ðÿäà âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ óäà¼òñÿ óñòàíîâèòü ñ ïîìîùüþ òàêíàçûâàåìûõ äîñòàòî÷íûõ ïðèçíàêîâ.  ýòîì ïóíêòå ìû ðàññìîòðèì176Ëåêöèÿ 11. Çíàêîïîñòîÿííûå ðÿäûäîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè è ðàñõîäèìîñòè äëÿ ðÿäîâ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè.
Òàêèå ðÿäû íàçûâàþòñÿ çíàêîïîëîæèòåëüíûìè.Âñå ïîëó÷åííûå íèæå âûâîäû áóäóò ñïðàâåäëèâû è äëÿ ðÿäîâ ñ îòðèöàòåëüíûìè ÷ëåíàìè, ò.å. äëÿ çíàêîîòðèöàòåëüíûõ ðÿäîâ.Çàìå÷àíèå 11.1.Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì ñëåäóþùåå. Òàê êàê â çíàêîïîëîæèòåëüíîìS1 = u1 ,S2 = u1 +u2 , S3 = u1 +u2 +u3 , . . . , Sn = u1 +u2 +u3 +· · ·+un âîçðàñòàþò ñóâåëè÷åíèåì íîìåðà ñóììû n. Òàêèì îáðàçîì, ÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäàðÿäå âñå ÷ëåíû ïîëîæèòåëüíû,òî åãî ÷àñòè÷íûå ñóììûîáðàçóþò âîçðàñòàþùóþ ÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüS1 < S 2 < S 3 < · · · < S n < . .
. .Çäåñü âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì íåîãðàíè÷åííà.  ýòîì ñëó÷àålim Sn = ∞ è, ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä ðàñõîäèòñÿ.n→∞2. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì îãðàíè÷åíà, ò.å.ïðè ëþáîìSn < Cn.  ýòîì ñëó÷àå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì èìå-åò ïðåäåë è, ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä ñõîäèòñÿ.Òàêèì îáðàçîì, ïðè äîêàçàòåëüñòâå òîãî, ÷òî òîò èëè èíîé çíàêîïîëîæèòåëüíûé ðÿä ñõîäèòñÿ, äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü òîëüêî îãðàíè÷åííîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì.(Ïåðâûé ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ.) Äàíû äâà çíàêîïîëîæèòåëüíûõ ðÿäà:Òåîðåìà 11.1.u1 + u2 + u3 + · · · + un + . . . ,(U )v1 + v2 + v3 + · · · + vn + . . .
.(V )Ïóñòü ÷ëåíû ïåðâîãî ðÿäà íå ïðåâîñõîäÿò ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷ëåíîââòîðîãî ðÿäà:u1 6 v1 , u2 6 v2 , u3 6 v3 , . . . , un 6 vn , . . . ,(11.1)è âòîðîé ðÿä ñõîäèòñÿ.  òàêîì ñëó÷àå ïåðâûé ðÿä òàêæå ñõîäèòñÿ,è åãî ñóììà íå ïðåâîñõîäèò ñóììû âòîðîãî ðÿäà (çàêëþ÷åíèå òåîðåìû îñòàåòñÿ â ñèëå, åñëè íåêîòîðûå ÷ëåíû ðÿäà (U ) ðàâíû íóëþ).Äîêàçàòåëüñòâî.
Îáîçíà÷èì ÷åðåçSnèσnñîîòâåòñòâåííînåñòè÷íûå ñóììû ïåðâîãî è âòîðîãî ðÿäîâ:Sn = u1 + u2 + u3 + · · · + un , σn = v1 + v2 + v3 + · · · + vn .÷à-Ëåêöèÿ 11. Çíàêîïîñòîÿííûå ðÿäû177Sn 6 σn . Òàê êàê ðÿä (V ) ñõîäèòñÿ,lim σn = σ . Ïðè ýòîì, ïîñêîëüêó ÷ëåíû ðÿäà ïîëîn→∞æèòåëüíû, î÷åâèäíî, ÷òî σn < σ , à ñëåäîâàòåëüíî, è Sn < σ .
Òàêèìîáðàçîì, ÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäà (U ) îãðàíè÷åíû è, ñëåäîâàòåëüíî,ðÿä (U ) ñõîäèòñÿ, ïðè÷åì åãî ñóììà íå ïðåâîñõîäèò ñóììû ðÿäà (V ),êàê ýòî ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà Sn < σ .Èç íåðàâåíñòâ (11.1) ñëåäóåò, ÷òîòî ñóùåñòâóåòÒåîðåìà 11.2.ëîæèòåëüíûõ ðÿäà(Âòîðîé ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ.) Äàíû äâà çíàêîïî-u1 + u2 + u3 + · · · + un + . . . ,(U )v1 + v2 + v3 + · · · + vn + .
. . .(V )Ïóñòü ÷ëåíû ïåðâîãî ðÿäà íå ìåíüøå ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷ëåíîâ âòîðîãî ðÿäàu1 > v1 , u2 > v2 , u3 > v3 , . . . , un > vn , . . . ,(11.2)è âòîðîé ðÿä ðàñõîäèòñÿ.  òàêîì ñëó÷àå ïåðâûé ðÿä òàêæå ðàñõîäèòñÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ñíîâà ÷åðåçSnèσnñîîòâåòñòâåííî÷àñòè÷íûå ñóììû ïåðâîãî è âòîðîãî ðÿäîâ:Sn = u1 + u2 + u3 + · · · + un , σn = v1 + v2 + v3 + · · · + vn .Sn > σn . Òàê êàê ðÿä (V ) ðàñõîäèòñÿè åãî ÷àñòè÷íûå ñóììû âîçðàñòàþò, òî lim σn = ∞.  òàêîì ñëó÷àå èÈç íåðàâåíñòâ (11.2) ñëåäóåò, ÷òîlim Sn = ∞n→∞è, ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä (U ) ðàñõîäèòñÿ.n→∞Ïðè èññëåäîâàíèè ðÿäîâ íåîáõîäèìî èìåòü äëÿ ñðàâíåíèÿ ðÿäû,îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ äîñòîâåðíî èçâåñòíî, ñõîäÿòñÿ îíè èëè ðàñõîäÿòñÿ.Ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðÿä, ñõîäÿùèéñÿïðè|q| < 1è ðàñõîäÿùèéñÿ ïðè|q| > 1.Âî âòîðîì ñåìåñòðå â ðàçäåëå èíòåãðàëüíûõ èñ÷èñëåíèé áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ðÿäñõîäèòñÿ ïðè1111+ p + p + ··· + p + ...p123np > 1 è ðàñõîäèòñÿ ïðè p 6 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
