Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996) (1092093), страница 26
Текст из файла (страница 26)
4.2 ~ 4.3. Вывод уравнений вА-форме. Комплексные коэффициенть! А, В, С, В в уравнениях (4.1) и (4.2) зависят от схемы внутренних соединений четырехполюсника, значений сопротивлений схемы и частоты, Для каждого четырехполюсника их можно определить расчетным или опытным путем. Для четырехполюсников, удовлетворяющих условию взаимности, коэффициенты связаны соотношением А0 — ВС= 1.
(4.13) Выведем уравнения (4.1.) и (4.2). С этой целью к зажимам тл подключим источник ЭДС Е = О, = У„а к зажимам р!7 — нагрузку 72(рис. 4.2, а). Напряжение на нагрузке 02=12_#_2= У~,. Согласно теореме компенсации (см. 5 1.17), заменим нагрузку 72 источником ЭДС с ЭДС Е, = У2 и направленной встречно току 12 (рис. 4.2, б). Запишем выражения для токов !!и 12, выразив их через ЭДС Е,, Е, и входные, и взаимные проводимости ветвей д„, д„, д,„, д„: ~! = Е1д1! — Е2д!2; (а) ~2 = Е!д21 Е2У22 (в) Подставив (в) в (а), получим У1!У22 ~!2121 ' У!1 7! —— Е2 + /2 —. 92! 921 (г) !37 !О, Если токи 1! и 12 рассматривать как контурные, то ЭДС контуров, совпадающие с направлением контурных токов, войдут в уравнения, подобные уравнению (1.7), со знаком плюс, а ЭДС, не совпадающие с направлением соответствующих контуров токов, — со знаком минус.
ЭДС Е, направлена согласно с11, поэтому она вошла в уравнение (а) и (б) со знаком плюс; ЭДС Е, направлена встречно 1„поэто'му она вошла в эти уравнения со знаком минус. Для линейных четырехполюсников, не содержащих нелинейных ~лементов(для взаимных четырехполюсников), согласно принципу взаимности (см. ф 2.16), д„= д„. Из (б) найдем ~.! ! У22 ! Е =Š— +1 —. 1 2 2 У21 У21 (/1 = А ~/2 + В~2 11= С02+Ш2. Рис. 4.3 Проверим выполнение соотношения (4.13) для взаимного четырехполюсника: А о — ВС вЂ” У11У22 УпУ22 У12У21 =1 2 2 У21 У21 Для невзаимного четырехполюсника У,2 ~ьд21 и А0 — ВС = =У 12/У21 Ф 1. Рассмотрим .
соотношения, которые имеют место между 01 и 71 и 02 и 12, если источник ЗДС Е, присоединен к зажимам рд, а нагрузка — к зажимам та (рис. 4.3). Как и в предыдущем выводе, заменим нагрузку Я2 на источник ЗДС с ЗДС Е„направленный встречно току Р„и запишем выражения для токов 11 и 12: »'2 Е2Уп + Е!У12» ~1 = — Е,У21 + Е1У22. (е) (ж) Из (е) найдем (з) Уц ' ! Е, = Š— + Г2 —. У12 У 12 Подставим (з) в (ж): УпУ22 У12У21 ' У22 1 2 + 2 У12 Уг2 Заменив Е на У1 и Е, на 02 и воспользовавшись обозначениями (д), перепишем две последние строчки следующим образом: с»', =00, +В~;, (4,14) 1 С»" 2 + А1 ~2 (4.14а) Обозначим: А = У22/У21» В = 1/У21» С = (УпУ22 У12У21)/У21» Х) — Уп/У21 (д) В уравнениях(в) и(г)заменим Е, на 01 и Е2 на У2и, воспользовавшись обозначением (д), получим уравнения в А-форме (4.1а) ~! 21 2+ 22 21 (4.1б) где А „= А; А „= В; А„= С; А22 = О.
ф 4.4. Определение коэффициентов А-формы записи уравнений четырехполюсника. Комплексные коэффициенты А, В, С, О, входящие в уравнения (4.1) и (4.2), можно определить по формулам (д), если схема внутренних соединений четырехполюсника и ее параметры известны, либо используя входные сопротивления четырехполюсника, полученные опытным или расчетным путем. Комплексные входные сопротивления находят опытным путем с помощью ваттметра, амперметра и вольтметра по схеме, подобной схеме рис. 3.24, а, с тем отличием, что вместо двухполюсника зажимами тп и ра (в зависимости от определяемого входного сопротивления) подключают испытуемый четырехполюсник. Определим комплексное входное сопротивление четырехпол юсника при трех различных режимах его работы.
1. При питании со стороны зажимов тп и разомкнутой ветви рд (~2 =О, индекс х). 1х 7. „= —.= „~~~ь=А/С 1х 1 1х 1х (и) 2. При питании со стороны зажимов тп и коротком замыкании ветви рд ((/2 = О, индекс к). 21„= ~/1„/11„= а1„е1~1. = В/й . (к) 3. При питании со стороны зажимов рд и коротком замыкании ~аж~мов тп ((/2 =0) 22„=я2„е1~2 =В/А. (л) Таким образом, для определения четырех неизвестных коэффи""ентов А, В, С, 0 взаимного четырехполюсника располагаем четь'рыщя уравнениями: А0 — ВС = 1, Е1„= А/С; У1„= В/В; У „= =В/А.
Составим разность Таким образом, уравнения (4.1) и (4.2) характеризуют работу ч тырехполюсника при питании со стороны зажимов та и присоеинении нагрузки к зажимам рд, а уравнения (4.14) и (4.14а) — при го питании со стороны зажимов рд и присоединении нагрузки к зажимам тп. Четырехполюсник называют симметричным, если при перемене местами источника питания и нагрузки токи в источнике питания и нагрузке не изменяются. В симметричном четырехполюснике А = В.
Уравнения (4.1) и (4.2) иногда записывают так: К =А (~ +А!А, (м) А1к ВС 1 ~1х — ~1к ! 1 — — = 1 — — = — илн Е1„АО АВ Е1„АО' Имеем ~2к/~1к Ру А' Умножим (м) на (н): (Я1„— Я„) 22, Я Я А2 Отсюда (4.15) к(~1х ~1к А= 1 28е 139'40'. З ЗЗ 127 зз 18 У90 С=А/У, =1,28еУз9"49 У7 815 — Уз! Я 0 166.79о. См.
В = АЯ9„—— 4,2бе ~~ Ом; 0 = Ву'х.1„= 0,34. Пример 50, К зажимам рху (см. рис. 4.1) четырехполюсника примера 49 подсоединена нагрузка 79 — — 6+ уб Ом; к зажимам хнп — источник ЭДС. Найти !У! и Уп если У2 = ! А. Р е шеи не. По формуле (4.1), (У! =А(У2+ ВУ2 — — У9(А29 + В)= 1Х Х (1,28е 799 ~ бу'2 е у~~ + 4,2бе у~~ ) = 14,85е 1~~ 45 В. По формуле (4.2), у, = С1у2+ Оу9 = у2(Сх'9+ уу) = 1,165е и А. 'В формулах (4.
15) и (4.15а) перед корнем взят знак плюс. Этому знаку соответствует отсчет (у9 и уз по рис. 4.2, а. Знак минус перед корнем отброшен, так как он соответствует отсчету (У9 и У2 в противоположном направлении. 140 Формула (4.15)' позволяет через У1„, У1„и Л,„определить коэффициент А; после этого коэффициент С находят из (и),  — из (л) и Р— из (к). Коэффициенты А и Р имеют нулевую размерность, коэффициент В имеет размерность Ом, коэффициент С вЂ” См. Заметим, что вместо формулы (4.15) коэффициент А может быть определен по формуле (4.15а): ~1х А= (4.15а) Пример 49. Опытным путем было найдено, что х,1х = 7,815еу ! 1 Ом; 71к=12,5е' з Ом; х,з,=З,ЗЗе' Ом. Определить коэффициенты А, В, С, 0 четырехполюсника.
Р е ш е н н е. Найдем 71„— 71„= 5 — бу — 12у — 5 = — 18у. По формуле (4.15) подсчитаем: (4.17) и1 = и2 + ~2К2 + 11г, = и2 ~2( -ф) ~1~2 Я, +г2+ ~з Сопоставим (4.16) с (4.1) и (4.17) с (4..2). При сопоставлении найдем А=1+(~1/~з)~ В=~1+А2+~1А2/~з С=1/~з 1~=1+ Е2~7з. (4 18) Следовательно, (4.19) Я =11С; Я1 — — (А — ! )/С; К, = ( — 1)1С. Формулы (4.18) и (4.19) позволяют определить сопротивления У1, л2 и Л, (рис.
4.4, а) по коэффициентам четырехполюсника Рис. 4.4 У невзаим ного четырехполюсника у12Фу21, поэтому для него схема замещения образована не тремя, а четырьмя элементами (см., например, схему замещения транзистора в $15.35). 141 ф 4.5. Т- и П-схемы замещения пассивного четырехполюсника.
Фукции пассивного взаимного четырехполюсника как передаточного звена между источником питания и нагрузкой может выполнять Т-схема (схема звезды рис. 4.4, а) или эквивалентная ей П-схема треугольника (рис. 4.4, 6). Предполагается, что частота от фиксирована. Три сопротивления Т- или П-схемы подсчитывают с учетом того, что схема замещения должна обладать теми же коэффициентами А, В, С, О, что и заменяемый ею четырехполюсник. Задача эта однозначна, так как схема замещения содержит три элемента, и четырехполюсник характеризуется тоже тремя параметрами (одна связь между А, В, С, О задана уравнением А0 — ВС = 1)'. Выразим напряжение У1 и ток 1, Т-схемы (рис.
44, а) через напряжение 02 и ток 1,: н У~+ 1~7~ . 1 . Я~ (4.16) У =1+ =У вЂ” +! 1+ — „ 1 2 у 2у 2 у з 3 3 А, С, В. Аналогичные выкладки для П-схемы (рис. 4.4, 6) дают; ~4 ~4+ ~6+ ~6 ;0= —.+1; ~5 ~5~6 ~6 (4.21) (4.22) (4.23) ф 4.6. Определение коэффициентов У-, Х-, 6- и Н-форм записи уравнений четырехполюсника. Комплексные коэффициенты У„, У„, У„, У, в уравнениях (4.3) и (4.4) найдем следующим образом.
У„=11/У! при 112=0, У„=11/112 при У! =О, У„=12/112 при У! = О. Обозначим У„=у„, У =у„, но У„= — у12 и У2,— — у„. Коэффициенты У„, Я!2, 721, 722 в уравнениях (4.5) и (4.6) определим так. 2!! = 111/1! при 1, = О, Х!2 = 1.12/1! при 1, = О, У~ = 112/12 при 1, =О. Аналогичным образом определим коэффициенты и других форм записи, например Н-формы: Н„= У!/1! при 112 = О; Н22 =1 /112 при 1, = О; Н„= 1,/1, при 02 =О. Обратим внимание на то, что для взаимного четырехполюсника У„= У21, У!2 = Л21, но Н„= — Н„, 6„= — 6„, а В„не равно В, даже по модулю.
Пример 5!. Вывести формулы Я-нараметров для Т-схемы замещения четырехполюсника рис. 4.4, а. Р е ш е н и е. Для Т-схемы замещения 11 ~ !/ 1 р~l2=0 2+ 31 !2 ~21 ~2/ !я~И~=О 3' ~22 ~2/12прн!! —— О ~2 + ~3 ф 4.7. Определение коэффициентов одной формы уравнений через коэффициенты другой формы. На практике возникает потребность в переходе от одной формы записи уравнений к другой. Для того чтобы коэффициенты одной формы записи найти через коэффициенты другой формы, необходимо выразить какие-либо две одинаковые величины в этих двух формах и сопоставить их, учтя направления токов 11 и 1, в них.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
