Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996) (1092093), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Рассмотрим резонанс в магнитносв"занных контурах, например в схеме рнс. 3.42, а, часто применяемой в радиотехии"е для упрощения выкладок положим !.! = !.~ — — !., С! —— С2 — — С; Й! = Й2 = Й, что 'о дает возможность относительно легко выявить основные закономерности резонанса в втой схеме. 125 гав о)й й Ф а Хз Еу ~д 1~ 1~ Рис. 3.42 Составим уравнения по второму закону Кирхгофа: 1,(й + ~ы1 — — ) — У уеМ = Е; 1 — ~,уыМ+!я()~+ !ы1 — — ) = О. 1 ыС Ток Напряжение на конденсаторе второго контура ° .
1 .М 1 ~С2 ~2 ° ~озС С Пусть Вся/ Е Йц тогд йц— р2 у ) рр у ) 2М2 ыз ыо — " (ыо — ы)(ыо+ ы) 2Лш 2 2 2 ыо 2 2 ыо ыо ыо !26 Обозначим р М у 2 ыо — —,~. -- — 4 й=~.— — — — — —, .— — ~ — —. ыо~- Ф! С ФА~ ~ ыо С помощью параметра е учитывается отклонение текущей частоты ы от резонансной ыо.
Рассмотрим работу схемы при относительно малых отклонениях ы от во. Положим ы = ыо — Ль. Тогда н свою очередь, ыо 2Л1а 2 2 ы а1о Прн малых отклонениях в от во, вынеся в знаменателе выражения (а) за скобку ,2!.2 = ыф и использовав указанные обозначения, получим 2 2 2 й 1/ у,г+ 12 вг !2,,1 Модуль (б) !М А фР+Ы ) +4 д ф 3.41. «Развязывание» магнитно-связанных цепей. Иногда в литературе можно встретить расчетный метод, который называют развязыванием магнитно-связанных цепей (катушек). Метод состоит в том, что исходную схему с магнитно-связанными индуктивностями путем введения дополнительных индуктивностей и изменения имевшихся преобразуют так, что магнитная связь между всеми индуктивностями в преобразованной схеме отсутствует.
Так как преобразования осуществляют на основе составленных по законам Кирхгофа уравнений для исходной схемы, то вновь полученная и исходная схемы в расчетном смысле полностью эквивалентны, а расчет схемы после развязывания упрощается за счет возможности применения метода узловых потенциалов. Составим, например, схему, эквивалентную схеме рис. 3.33. С этой целью в уравнении (в) заменим ! на /, — 1 и в уравнении (г)— /1 на !, + /з (см. ф 3.36). ЗаменУ одних токов дРУгими пРоизводим так, чтобы в каждое из получающихся после замены уравнений входили только те токи, которые текут в ветвях рассматриваемого контура.
В результате получим.' ~1Ж1 + 1~ (!.1+ 'И)1+ 2 ~2 С + ~ 1' 1 ЫС2 !2(~2 С 1~м) + ~3(йг+ !1а!3+ !а1М) 3 ! 2 (г) При фиксированных А и д можно исследовать ~йь,~ на экстремум в функции в для двух случаев: й)И и И(й. При я >д имеются три экстремума: минимум при е = О, т. е. при ы = о1о, и два максимума при е12 ††.+-уй- — 0, которым соответствуют частоты Г7 7 а11,2 ~0~ 1,2 Резонансная кривая при этом имеет два "горба (кривая! на рис. З.42, б построена и н и = З11). С увеличением й "горбы" кривой раздвигаются. ри й(Ы имеется только один экстремум: максимум при е = О(кривая 2 на рис.
З„42, б). По оси абсцисс на этом рис нке отложено е/И, по осн ординат ~ Й о ~ / ~ Й п~щц~ ~, Где ~ й 11п~ ах ~ = 1 /(Ы) =, / 2Я . 1. Ток первичного контура в функции от е/д при 1~О,490 имеет двугорбую форму. Я 7. ба >>ч Ев~ Рис. 3.43 для ветви хг Рг Рх = „— 7,,с,„— l,щ!Хм >>Ч>'хг и учесть 7 = 7 е рг»ч и ч >ч ач хг Бг Если принять 1 = У е>~И' ) = 7 е>ххг =7 е ~~зг,тосуммадвух слагаемых зг 3В Э 7>,ч7„7 Хм, + 7>„7„~хц, — — 7„7„7Хм, Х >>Чйг Ч " ~Ч~ъг Ч ' »Ч/ьг Х[е> чав ч' ) + е >(ч'>гч ч'- [ = 12Хз> У>, ! сов(>р>, — ср~г).
(3.60) где Йр — квадрат модуля тока ветви яр; У>р — — Я>р -[- 7Х>р, Левая и правая части формулы (3.60) представляют собой комплексы. Равенство действительных частей комплексов ЯеР 7 =~~ /2~ 7г (3.61) равенство мнимых частей ! п>~"Е, 1„= ~72~ Х„+ 2~ 1„ /„Х,и сов(>р>, — >р„) . В этом выражении Х,и принято положительным при согласном направлении »Ч/яг потоков взанмоиндукции и самонндукции ветвей йд и зги отрицательным при встречном их направлении. Формулы (3.6!) и (3.62) являются математической записью сформулированной теоремы.
Пример 48. По данным примера 46 убедиться в справедливости теоремы о балансе мощности применительно к схеме рис. 3.40, и. Р е ш е н и е. Активная мощность, доставляемая источником ЭДС, КеЕ! = Ке 100 ° 17,7е!©~* = 1770 сов 63" = 800 Вт. Активная мощность, потребляемая приемниками, >„>т„= 14,12 .4 = 800 Вт. Следо!>ательно, равенство активнь>х~мощностей дейс>вительно выполнено. Реактивная мощность источника ЭДС 1>пЕХ = 1770 з1п 63' = 1582 ВАР. Реактивная мощность приемников энергии с учетом согласного включения катушек » + 2 2 + > 2>'> (>Р>» Р>2) 2 2 = 177~ * 2 + 14 62-3 + 2 ° 17 7 ° 14 6 сов (63' — 144') = 1582 ВАР. Таки ак" и образом, баланс реактивных мощностей тоже удовлетворяется. Таким образом, попарное рассмотрение слагаемых двойной суммы позволяет переписать ее в ниде Е>, 7~р = ~~ 1>, ~>, + 12~ 1~р!„Х,и сов(гр — >р„), ф 3.43.
Теорема Теллегеиа. Пусть в некоторой схеме имеется п ветвей и узловая матрица ее[А]. Матрицу-столбец комплексно-сопряженных токов ветвей обозначим Д 1, а матрицу-столбец комплексных напряжений на ветвях (включая ЭДС ветвей и падение напряжения на них) обозначим [Ув 1. В соответствии с законом сохранения энергии (~А + (4~г+ " + (~ ~ = О. (а) Соотношение (а) можно записать так 1~ = [06]'Рв] = 0- %(Ъ" К,! (б) [(~в]' = Ь]'[А] (в) Подставим (в) в(б): [р]'[А]Щ = О. (г) В формуле (г) произведение [А][Рв] =0 физически выражает собой систему уравнений по первому закону Кирхгофа для незаземленных узлов схемы, составленную для комплексно-сопряженных токов ветвей. Из (г) следует, что если в одной и той же схеме с неизменной [А]-матрицей создать два режима, отличающихся сопротивлениями, и ЭДС ветвей и все величины, относящиеся к первому режиму, снабдить одним штрихом, а ко второму — двумя, то [и,']'Р,"] = [и,"1'Р,']. (д) Соотношение (д), получившее название теоремы Теллегена, справедливо и по отношению к режимам в двух разных схемах, лишь бы у них были одинаковые узловые [А1-матрицы.
ф 3.44. Определение дуальной цепи. Две электрические цепи называют дуальными, если закон изменения контурных токов в одной из них подобен закону изменения узловых потенциалов в другой. В качестве простейшего примера на рис. 3.44 изображены две дуальные цепи. Схема рис. 3.44, а состоит из источника ЭДС Е и последователь- но с ним включенных активного, индуктивного и ем костного элемен- тов (]т, ~, С). Схема рис.
3.44, б состоит из источника тока У, и трех параллельных ветвей, Первая ветвь содержит активную проводи- мость у„ вторая — емкость С„ третья — индуктивность 1, Для того чтобы показать, какого рода соответствие имеет место в дуальных цепях, составим для схемы рис. 3.44, а уравнение по методу контурных токов: ! (3.63) ( (й + /вА + —.) = е, ~еС 130 Но н соответствии с $2.35[Ба! = [А['[~р], где [ф] — матрица-столбец потенциалов незаземленных узлов. В свою очередь, а) Рис. 3.44 (3.64) ! Ф.(а.+ —., +!Ос,)=у,.
э Если параметры схемы рис. 3.44, б д„1.„С, согласовать с параметрами схемы рис. 3.44, а й, 1., С таким образом, что гУд,= ЬУС,= ~,УС= К, (3.65) где А — некоторое произвольное число (масштабный множитель преобразования), Ом~, то 1 а, + . + ис, = — ( и+ —.
+ !а~) . )о~., ' й ~ьС С учетом равенства (3.66) перепишем уравнение (3.64) следующим образом: ~П, ~р„( и + ~ь|. + —.) = и,. 1 (3.67) шэ увС Из сопоставления уравнений (3.63) и (3.6?) следует, что если ток ,~, источника тока в схеме рис. 3.44, б изменяется с той же угловой ч'густотой, что и ЭДС Е в схеме рис. 3.44, а, и численно равен Е, а параметры обеих схем согласованы в соответствии с уравнением ~3.65), то при й = 1 Ом' закон изменения во времени потенциала %„в схеме рис.
3.44, б совпадает с законом изменения во времени %ока 1 в схеме рис. 3.44, а. Если свойства какой-либо из схем изучены, то они полностью могут быть перенесены на дуальную ей схему. нг Между входным сопротивлением У„,„исходного двухполюсника "~ходной проводимостью У„„„дуального ему двухполюсника существует соотношение Х„,„= й К„„,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
