Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники. Линейные электромагнитные процессы (1969) (1092090), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Отсюда следует, что проводящий шар в электростатическом поле формально можно рассматривать как диэлектрический с езБесконечно длинный диэлектрический цилиндр в однородном электростатическом поле, перпендикулярном оси цилиндра, т. е. Е =етЕ (рис. 4-32). При этом потенциал первичного поля 1р = — Ех, = — Егсози. и=в Так как поле симметрично относительно оси хв а потенпиал грв на бесконечности равен нулю, то выражение (4-6-!4) не должно содержать членов г 51п п а, г" и постоянных по величине, т.е. АО„=С1„=0 при любом и и С,О=О.
Ввиду этого потенциал в любой точке вне цилиндра определяется выражением Ч1„, = — Е!' соз и + + 5,' С,„» "А1„сов пи. (4-6-15) л=! Применительно к полю внутри цилиндра. вследствие конечности потенциала в его центре и симметрии поля, в уравнении (4-6-!4) Сяв= =АО„=О при любом значении и. Поэтому потенциал поля, прошедшего внутрь цилиндра, 1р1„— — ~; С,„г" А„, со; пи. (4-6-16) п=п Рнс.
4-32. К Опр!., ИНЮ ПОЛЯ, ВОВМУЩОИ- ного цилиндром. На поверхности цилиндра удовлетворяютсн граничные условия (4-6-!1); подставляя в эти формулы выражения (4-6-!5) и (4-6-!6), получаем систему уравнений: — е,(Есози+ 5' пС, а '"~"А1„созна) = =ея ~,'Ся„паса "А,„соьпи; л=в 374 —. Так как в этом случае вторичное поле также не зависит от координаты хь то его потенциал определяется решением уравнения Лапласа в цилиндрической системе координат (Д-6-23в) !рв = я (С! г + Сял г ") (А1„соз пи + А, гйп пи).
(4-6-14) — Еасози+ г' С,„а "Ая„сохни = и=1 = ~„'С1, а" А,„соз пи. л=-О Приравнивая коэффициенты при одинаковых созна, на- ходим, что А,„С,„= А,„С,„= О при и Ф 1! 2е, СцАы =— Е; В, +В! С,А„= ' ' Еа'. в,+в, С учетом полученных значений коэффициентов на осно- вании выражений (4-6-15) и (4-6-!6) напряженность дифра ги ров а нного поля вя — в, а' ! Е = — йгас1!р ! =Е" е,!1+ —,сози— О1+е, г'/ Ея — Е! ав ! в, + е, г' ) (4-6-17) а напряженность прошедшего поля Еа,— — — 8»ад 1Рсв =- 2 ' Е. (4-6-18) 1 + Вв Как и в случае диэлектрического шара, поле внутри цилиндра однородно и направлено одинаково с невозмущенным полем Е.
В случае проводящего цилиндра выражение для напряженности дифрагированиого поля получим из (4-6-17), положив ея- Оо, Š— Е ~ е, ( ! + — 1 соз и — е ! ! — — ) тйп и1. (4-6- ! 9) !1! '/ ,1 Из формул (4-6-13а) н (4-6-18) видно, что поле внутри диэлектрического шара и диэлектрического цилиндра меньше первичного поли, если ея>е!. Причиной этому являются появляющиеся на поверхности этих тел индуцированные заряды, которые создают поле, противоположное внешнему. В общем случае напряженность поля внутри диэлектрического тела (ея>1) любой формы эллипсопда вращения, находящегося в среде с е1=1, определяется выражением Е1т! = Е (4-6-20) 1 и Хэ пэ где )(,— электрическая восприимчивость вещества; л,— коэффициент деполяризации, учитыва1ощий форму эллипсоида.
В диэлектрическом телс произвольной формы поле не только ослабляется, но и становится неоднородным; только в телах, имеющих форму эллнпсоида вращения Рнс. 4.33 Структура паля, возлэущен. ного диэлектрическим эллипсоидом вращения. вичного однородного поля Е=е,Е, направленного вдоль оси а эллппсонда с учетом первой формулы (Д-3-68) определяется выражением Е ° *= 1 11 э. 'ээ кэчнэ.
э ° ' ' ° ' — ц Потенциал вторичного полн, создаваемого индуцированными зарядами на больших расстояниях от эллипсоида, определяется формулой Ех, йс фо = ° г' 37 Здесь ! — сн э 1+е Т=, 11п — 2 е) . 2е' ( 1 — е Дли вытянутого эллипсоида (а>а=с) эксцентриситет е= 1 —— Дальнейшее исследование полн состоит и использовании выражения (4-6-!а) фс11 = ф + фо и определении напряженности дифрагированного (возмущенного) внешнего поля Еп! = 6тас! ф<п. (рис. 4-33), к каковым относятся шар и бесконечно длин- ный цилиндр, поле остается однородным. Значения ко- эффициента деполяризации для тел различной формы приведены в табл.
4-1. Таблица 4-1 Коэффициентм деполяризации и, и размагничивание и„ дли различных тел Шар Пале направлено вдоль данам ! 3 0,0004 0,0014 0,203 0,0068 Проводящий незарилсеннмй эллипсоид в однородном электростатическом поле. Если тело имеет форму эллипсонда, то уравнение Лапласа (4-1-6) с учетом (Д-3-60) переписывается в эллнпсоидальиой системе координат (рис Д-!1). При этом потенциал пер- — 376 нм Пластина оерпсндн. куанрна пале Запнпсонаы враесннн с атноесннсм асей цилиндр Ессконсч1е ! тэ ~ 91 ( 1со но длинный 4-7. ЭНЕРГИЯ И СИЛЫ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ Энергия электростатического поля, создаваемого системой из п заряженных проводников и объемным зарядом, распределеннылт в окружающем их диэлектрике, на основании формулы (1-6-10) определяется следующим выражением: (Р',=~ил,сУ= — ! ЕРс((г= — — ~ Ранга!)срс()э.
(4-7-1) 1 1* 1 Г Согласно равенству (Д-3-20) Р ига!) ф = с)1ч йр Р) — ср сИч Р. (4-7-2) Согласно теореме Остроградского — Гаусса (Д-3-30) с()ч (ф Р) сакэ = ~ фР Ж= ~ ф Р Ж+ ~~ ~ ф Р Ж, (4-7-2а) 5 гч э=1 51 где ое — поверхность, ограничивающая всю снстслгу; 51 — поверхность Ого проводника. — 377— Учитывая выражения (4-7-2), (4-7-2а) и уравнение 111 системы (1-4-10), согласно равенству (4-7-1) получим: В', = — — ~ !у0 а(5 — — 7 ~) !р В„а(5+ — ~ р<р !((7, 1 ! тл г 1 2 ' — — ! *! р где р — плотность заряда, распределенного в области )!. Если заряд сосредоточен только в этой области (уединенный заряд), то первый член правой части пос- леднего равенства равен нулю (так как в этом случае интегрирование можно распространить на бесконечное пространство и заряд этот можно рассматривать как точечный).
Действительно, подставляя под знак инте- грала выражения (4-2-1) и (4-2-2) и интегрируя по по- верхности сферы, получим: <р0!($ = 1пп 4пга Ч 4 -~ 0 4пеа е 4а!еа еа Так как на поверхности любого 1-го проводника 0„= = — н; (нормаль направлена внутрь проводника) и по- тенциал каждого проводника постоянен на всей его по- верхности, то 1ч)0.
(5=(р.1н/(5=%9!, %', — 1 р(р Л'+ — ~~~! д! ар! 1 1 (4-7-3) где д! и !р! — соответственно заряд и потенциал 1-го проводника. Окончательный вид выражения для энергии поля л а второе — энергию поля зарядов, распределенных на проводниках )г'„= — ~ д! (р,. (4-7-36) ! — — ! Энергия поля проводников. В системе проводников потенциал каждого из них па основе выражения (4-4-6) равен: р,= рп+ Ер~ (й+1) а==! При этом выражение (4-7-36) принимает вид: %'„= — ~~ гРп а), + — ) аР,а д!.
(4-7-Зв) !'=1 !,а ь(-~- а! Первый член правой части выражения (4-7-Зв) представляет «собственную» энергию системы проводников, а второй — энергию взаимодействия. Подставляя в (4-7-Зв) выражение (4-4-7) или (4-4-6а), получаем: л л 1 ,.а Эта формула удобна для вычисле!!ия энергии системы проводников, находя!цихся на конечных расстояниях друг от друга. Энергия заряженного конденсатора как системы двух заряженных уединенных проводников определясгся вы- ражением Ю = "р,р,((7 1 2 ~ (4-7-За) Если расстояние между зарядами !7, достаточно велико, то их можно рассматривать как точечные.
Подчеркнем, что энергия, определяемая выражением (4-7-3), заключена не в самих зарядах, а в их электрическом поле и распределена в окружаю!цем пространстве. Первое слагаемое в правой части этого выражения представляет энергию поля заряда, распределенного в диэлектрической среде 'с здесь интегрирование производится по всему объему Ус, в котором распределено электрическое поле конденсатора. Этот объем будем называть объемом конденсатора. Последнее выражение можно представить в таком виде: (4-7-4) )" с ) с~ао где и!ао — усредненная по объему плотность электрической энергии поля.
— 379 —. В плоском конденсаторе (рис. 4-18) поле практически однородно, ввиду чего с учетом выражения (1-6-10) вв Е' ев Г!' 'Рэв ~з 2 2п' Объем цилиндрического конденсатора длиной (рис. 4-17) и средняя плотность энергии в нем !сх!. выражение (4-5-6)) соответственно равны: 'и' =л(а,'— а',)1; а, в,иг а, Вместе с тем на основе выражения (4-7-36) энергии любого заряженного конденсатора 2 ! с учетом равенства (4-5-За) си д с (4-7-4а) Из выражения (4-7-4а) следует, что уменьшение емкости конденсатора при постоянном заряде вызывает у.величенне энергии поля конденсатора.
Это увеличение энергии происходит за счет работы внешних сил (механических или электрических), изменяющих емкость конденсатора, и может быть использовано для усиления электрического сигнала (параметрический усилитель). Если в электростатическое поле внести незаряженный проводник, то энергия этого поля уменьшается. Прн этом на поверхности проводника нпдуцируются заряды, проводник поляризуется и его можно характеризовать электрическим моментом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
