Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники. Линейные электромагнитные процессы (1969) (1092090), страница 45
Текст из файла (страница 45)
4-2. электРОстАтическОе пОле тОчечных 3АРядОВ Точечными называют заряды, линейные размеры которых исчезающе малы по сравнению с рассматриваемыми расстояниями. Поле точечного заряда г) (рис. 4-3) на основании (4-1-4а) и (4-1-2) описывается выражениями 4иеаг ' (4-2-2) Е = — ягабср = е, 4иеа аа Рис. 4.3. Поле тоне п1ото заряда.
Стрелки — силовые линии; пунктирные окружности — з«- внпатенпиальвые поверхности (йз= — соп51) ч)))>а))п~р[ы)) >% где р,= а)! — момент электрического диполя. Напряженность поля диполя определяется в сферической системе координат согласно (Д-3-54) выражение ) Е=- — агаббз= Р' а (е,2созб+е з)пб,). (4-2-5) 4пеа г' Гели в выражение (2-3-8) подставить согласно (4-1-)а) (<о( — бг) =й ° 2п и на осяовании (2-3-7) Ты1гйп(м! — Ог) заменить на о)ражсоз (о)! — рг), то получим то же выражение (4-2-5). Это указывает на возможность рассматривать статическое поле как частный случай монохроматпческого. Поле заряженной бесконечно тонкой нити с платно- стью заряда на единицу длины т !к/м!.
Из соображений симметрии очевидно, что электрические силовые линии такого поля представляют собой равномерно расходящиеся от нити радиальные прямые. Если нить окружить цилиндрической поверхностью длиной ! и радиусом г, то применяя теорему Остроградского-Гаусса (Д-3-30) где е — единичный вектор, определяющий направление т г радиуса вектора г, проведенного от заряда к точке наолюденпя М. На основании принципа суперпозицпп напряженность поля системы Ф точечных зарядов 4неа иы гс«= и 44!'гу Поле электрического ди- г г'~«к« 4 поля (рис. 4-4) на основании равенства (4-2-1) опре- 1 ) +у р' ! л 1 деляется потенциалом Х « )р 'г" дт аг )'1 11 .,/' Если г ))1, г,г,=г' и (ге ))) 1созб, то <р — — созб =— и) 4иеа га (4-2-4) 4иеа г получим: Е = е, — †.
(4-2-6) йле, т Рис. 4-4. Поле электрического ди- поля. Рис. 4-6. К опреаелентпо поля заряженных нитей. а потенциал этой точки (ра =- ) Еяс(га. м — 343— и представляя левую и правую части формулы (д-3-36) следующим образом: 1008 = 2пгььЬ! ~ б(у0Б'= 1, рЛг=т1, й Поле, создаваемое двумя параллельными разноименио заряженными нитями. Напряженность такого поля в точке М (рис. 4-5) на основашш формулы (4-2-6) равна: 1 2пеа О 2пеа те ! т =%+сух! согласно формуле (4-1-За) ~р, = ~ Етдг„ м Так как работа в потенциальном поле определяется разностью потенциалов начальной и конечной точек и не зависит от формы пути, соединяющего эти точки, то м' м %= ~ Е,с(г,+ 1Е,с(г, = 1 Е,с(г,+ р,! м х)о м трз 1 Еас(гз+ р2 ° м где тр'~ — — — ~р'а — потенциалы в точке М', создаваемые Рнс. 4.6.
Структура силовых линий и эквипотеипиаль- иых поверхностей двух заряженных нитей. обеими заряженными нитями при г'т — -г'а. Подставляя Ет и Ех согласно формуле (4-2-6), находим, что т те ~р = ( 1п — — 1п — ( = — !п — '. (4-2-7) 2яеа т,! 2лаз Для весьма удаленной точки М (с(«г) напряженность поля в цилиндрической системе координат (см. выражение (Д-3-50)] Е =- ( е, сох сс + е„з1п и) . тп (4-2-8) 2ле Гт Структура электрических силовых линий и эквипотенциальных поверхностей поля заряженных нитей показана на рис.
4-6. Поскольку выражение (4-2-8) не содержит составляющих вдоль оси х,, параллельной осям нитей, то силовые линии лежат в плоскостях Охтхх, перпен- днкулярным к осн ха, и являются нормалями к поверхностям одинакового потенциала. Согласно формуле (4-2-7) условие, определяющее этн поверхности: — = сопя! = й. Га и В декартовой системе координат Вводя обозначения д йа+1 "а = 2 йе — ! (л-2-о) женнем нити с зарядом, равным по величине, по обратным по знаку и располомсснным от плоскости на таком же расстоянии )е, что и действительный заряд.
Структура поля прн этом не язменяется, поскольку проводящая плоскость совпадает с эквипотенциальной поверхностью и одинакова со структурой поля двух заряженных нитей, описываемого уравнениями (4-2-7) и (4-2-8), в которых с(=26, На основании этого вектор напряженности искомого поля в точке М прн г»27! определяется по формуле Е=т ( е, сон и+е сйп а).
(4-2-11) пса с При этом вектор напряженности поля на проводящей поверхности (а=90') (4-2-12) получаем уравнение эквнпотенциальных поверхностей (ха — Д )' + х; '= 7с". (4-2-10) Это уравнение окружности с радиусом )7 н центром в точке ха=До, х,=О, образующейся при пересечении эквипотснциальной поверхности с плоскостью Охеха. Проведя достаточное количество таких окружностей для различных значений )е, получим структуру поля, характеризуемую силовыми линиями, пересекающими по нормалям эти окружности. Поле бесконечно тонкой заряженной нити, расположенной параллельно бесконечной проводящей плоскости (рис.
4-7). Непосредственное определение такого поля было бы возможно прн известном распределении нндуцированных зарядов на плоскости. Если распределение не задано, то можно прнмепить метод зеркальных изобраакеннй, Согласно это- му методу, проводящую и плоскость заменим фиктивным «зеркальным» изобра- Рнс 4-7. Поле заряженной поен, расположенной над с1есноне що проводящей лонер«постам. и плотность заряда на этой поверхностн согласно (4-1- а) .о определяегся выраженнем Ь я = е„Еп = т — [к ма[. пм (4-2. 13) 4-З.
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ПРОВОДНИКОВ Так как напряженность поля внутри заряженно о проводника равна нулю, то и поток вектора 0 через любую расположенную внутри проводника замкнутую повсрхность равен нулю (рис. 4-8); согласно теореме Гаусса (1-3-11) при этом равен нулю и заряд. расположенный внутри такой поверхности. Если заряженное проводящее тело имеет полость, то поле внутри нее также равно нулю, На этом явлении основано электростатическое экранирование; в случае необходимости устранения влияния электростатическо- Н сан го поля соответствующие Е =и д=д устройства помещают внутрь замкнутой металлической поверхности; на практике ЧаСтО ПРИМЕНЯЮТ СЕТКУ С ИЕ- Р 4 З Заря й большими ячейкамн. пик.
дф Е„= —— дл ' (4-3-3) если поверхность имеет форму шара, то (4-3-4) дг Любую элементарную площадку на поверхности проводники неправильной формы можно представить как часть сферы, радиус которой равен радиусу кривизны этой площадки. При этом поле у поверхности можно определять как поле точечного заряда г)=4ягзк, расположенного в центре этой сферы. В таком случае на основании формулы (4-2-!) выражение (4-3-4) принимает следующий впд: (4-3-5) Еи = Г Плотность заряда на поверхности заряженного про- водника Ь., с=-!пп — ', зз пол гле Лгг — заряд элементарной площадки с>5.
Граничные условия нз поверхности заряженного про- водника согласно уравнениям (4- ! -2а) Ел= —; Е,=О. г4 3-1) ея Из псового условия следует, что нормальная состзвляю- шая напряженности поля вблизи проводника определя- ется только плотностью заряда на прилегающем элемен- те его поверхности и не зависит от распределения заРя- дов. Из второго условия следует, что поверхность проводники является эквипотенциальной, т.
е. потенциал имеет одинаковую величину во всех ее точках гр=сопз!. (4-3-2) Потенциал любой точки внутри проводящего тела ра- вен потенциалу любой точки нз его поверхности, что сле- дует пз условии отсутствия поля внутри заряженного проводящего тела н непрерывности потенциала. На осно- вании э~ого потенциалом проводника называется потен- циал любой точки нз его поверхности. На основании третьей формулы (4-1-2) напряжен- ность электростатического поля у поверхности заряжен- ного проводника Так как согласно условию (4-3-2) потенциал ф на поверхности проводника постоянен, то из выра>кения (4-3-5) следует, что с увеличением кривизны поверхности проводника напряженность поля резко возрастает к р и в и з н ы). Особенно велика напряженность поля в л б.
изи острых выступов проводни с (рис. 4-9); при заряде его до высокого потенциала с этих выступов в воздухе может начаться разряд. Чтобы пз- Рис 4 !О Позе ззРЯжеиного сплошного проволяшего шара. Рнс. 4-9. Поле заряженного проводника. бежать этого, поверхность проводников, заряжаех|ьгх до высоких потенциалов, делают гладкой, а вьютупам пРидают форму с малой кривизной, Из сопоставления выражений (4-3-5) и (4-3-1) следует, что плотность заряда достигает наибольшей величины в местах с наибольшей кривизной.
По этой причине эквипотенциальные поверхности расг>олзгаются ближе к поверхности проводника в местах с большей кривизной. На малых расстояниях от проводника эти поверхности повторяют форму проводника, а нз большнх— приближаются к сферической форме, так как в этом случае заряд, распределенный на поверхности проводника конечных размеров, может быть принят за точечный. Поле заряженного проводящего шара (рис. 4-10) описывается следующими формулами: при г(а = сопи!, 4ие, а В=О; (4-3-6) — 347— прн г )и гр =— 4пе„г ' (4-3-ба Е=е, —. 4 '4пеа гэ 4пе 4пеэг г (4-3-7) Е =е — —; 4леэг гз прн а,«г~аз пеэг пт 1 ! (4-3-7а) Е =е— Гз) г ! ге,гз прн агКг~~аз 4 4ггеэг аз Е=.О. (4-3-76) !I а,а, 4пе, гз (4-3-8) (4-3-66) (4-3-8а) — 349— — 349— На поверхности проводящего шара заряд г) рзспреде ляется равномерно с поверхностной плотностью к=с!гг4ггаз.
Заряженный шар создает такое же поле, с как сосредоточенный в его центре точечный заряд г)(см. выражения (4-2-1) н (4-2-2)1. Рцс. 4-11. Поле заряженного Рнс. 4-12. Поле ароаодящего ша- полого проводящего шара ра с зарядом д, размещенным а центре проводящей сФеры, ег(ез. Поле заряженной полой металлической сферы (рпс. 4-11) описывается уравнениями, аналогичными (4-3-6) н (4-3-ба). В полости, т, е. когда г(а!, 4пе,а, Е=О.
Если проводящий шар с зарядом д размещен в цент- ре полой проводящей сферы (рис. 4-12), то согласно тео- реме Гаусса (1-3-11), интегрируя по замкнутой поверхности, расположенной в стенке полой сферы, где напряженность поля равна нулю, получим: ~ Ог(8 = Уяг=о, т. е. на внутренней поверхности сферы наводится заряд г7, рав нный по величине заряду д, но противоположный по знаку. На внешней поверхности сферы наводится с заряд г)м=г) и поле вне сферы не равно нулю. Поле вне сферы совпадает с полем проводящего шара с зарядом г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
