Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники. Линейные электромагнитные процессы (1969) (1092090), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Что- 3 бы получить однородное поле и тем самым повысить электрическую прочность конденсатора, диэлектрик делают неоднородным— слоистым (рис. 4-17,б); в при этом необходимо, чтобы Рис. 4-19. Конденсатор с многослойным дизлектрико» н кривые распределеяия в нем напряжениост1з поля Е н разности потенциалов и в,>ее>ез. мула (4-5-7) является неточной, и емкость плоского кон- денсатора нужно определять по следующей формуле: (4-5-7а) С = — "+ — '1и в 2л и в которой Š— периметр обкладки.
Для емкости конден- сатора дисковой конструкции точная формула (формула Кирхгофа) имеет вид: еа лаз 16 лп С = — '+ е,а111п — — 1), в (4-5-7 б) где а — радиус дисков. — 367— Подставляя последнее выражение в соотношение и =С, получаем формулу (4-5-7). Однако на краях пластин реального конденсатора поле неоднородно !см. выражение (4-3-5)]. Поэтому фор- откуда еа о л (4-5-9) (4-5-10) Если диэлектрик плоского конденсатора состоит нз л параллельных слоев (рис. 4-!9), то его емкость с'г ог+ Ро 1(аг= 2Ра %1+ йг+Ро 42= 2Ра Распределение напряженности поля в диэлектрике такого конденсатора неоднородно; в х-м слое диэлектрика напряженность поля Е»=Р(еае», так как 5()=д=(гС, то У Е»= хт л в» ~„— Вг ~=-1 Пт Неравномерность поля внутрп неоднородного ~ ла диэлектрика снижает а,;.сад ' 1 электрическую прочность конденсатора.
Так, например, в воздушном зазоре междч диэлектрической плаза ас — эа стпнай и обкладкол конденсатора ма!кот рпс. 4-20. К определению емкости па. возникнуть поле боль- раллельных проводов. шей напряженности, 1 и 2 — зю ивалентные заРЯженные веско- Чта Прнасдст К ЭЧЕК1, ивен ~ тонкие нити. рпческаму пробою конденсатора. Емкость двух параллельных круглых проводов (рнс.
4-20). Если вместо проводов азягь две бесконечно тонкие заряженные нити и найти такое их положение, при котором получится электрическое поле с эквипотенциальными поверхностями, совпадающими с поверхностями проводов, то поле этих нитей будет иметь такую же структуру, как и поле заряженных проводов. При заданном расстоянии между центрами проводов »ге==с(а!+1)ва на основании формул (4-2-9) при )ттл вг и !се=па писем: ( '! ),~Ю г,аз (г етг~ а =-1' ам — Я; "==~Г (' — К2. (4-5-1 1) Из условия равенства заряда обоих проводов х, гса лз 2п)сгхг=т и 2пгсаха=-т. Отсюда — = — = —, т.
е, поверххе ггт а, постные заряды проводов обратно пропорциональны их радиусам. Емкость системы проводов на единицу длины согласна выражению (4-5-За) На основании формулы (4-2-7) 2 2 т 2пел ~ 1 ) '" ~4 ! 1 2 Отсюда 2леа "(-"9 — внй= тв тг /1 Решая систему уравнений (4-2-9) для с Учетом, что г(в1>0, а г(ев(0. нахоДим: 2пва (ф)м) (4-5-12) — Зо9— Зная даг и л!Рв, находим координаты эквивалентных заря- женных нитей 2пеа !п~ — ) (4-5-13б) Прн Йт=г(г=)(=а леа !п( — ) (4- 5- 12б) !п~ — ) 2ле, (4-5-14) Рис. 4-2!. К определению емкости параллельных проводов (второй провод внутри первого).
(4-5-12в) (Зе !п ~ — ') 2пе, (4-5-13) и напряженность поля )Е~=~ — "~= $'Ег+Етг. 36! —. (4-5-15) )(ь )Рт)г0а, то согласно (4-5-10) с(е,жс( а= — ' и сте 2 г следовательно: л1 ла Ул,л, При этом, как и в случае цилиндрического конденсатора (см. формулу (4-5-6)), можно показать, что напряженность поля между проводами на линии х! —— 0 Если йа- сю (цилиндр, расположенный иад проводядат щей плоскостью), то — .— ь1, а с(е! равно расстоянию от гт2 оси цилиндра с радиусом )тг до проводящей плоскости; в этом случае При тонком проводе, т. е.
когда )(!=а -- г!ег, погонная ем- кость Если один из проводов полый, а другой расположен внутри него (рис. 4-21), то дм и с(еа имеют одинаковый знак, в этом случае При конпентрическом расположении проводов согласно выражениям (4-5-!О) с(в! =с(ы — ~со и емкость определяется формулой (4-5-5) для цилиндрического конденсатора. Емкость конденсаторов со сложной формой проводников можно определять методом конформного отображения, основанным на теории функций комплексного переменного (й Д-5), если поле конденсатора плоское. Электростатическое поле в отсутствии зарядов характеризуется потенциалом гр, удовлетворяющим уравнению Лапласа (4-1-5).
Этому уравнению удовлетворяют согласно выражениям (Д-5-17) и (Д-5-!8) вещественная и агникгая части аналитической функции тв(з) =Хт+!Хг. Следовательно, функции Х, и Х, представляют собой потенциалы плоского электростатического поля. Так как кривые Хг(хь хг) =сопя! и Хг(хь хг) =сопя! ортогональны, то если первые представляют семейство эквипотенциалытых поверхностей, то вторые силовые линии или наоборот. Аналитическая функция пг(з) называется ко иплексным потенц и а л ом. Пусть Х!(хь хг) представляет потенциал плоского поля. Тогда согласно выражениям (Д-5-!5) и (Д-5-16) йе (г! дХ, . дХ, = — — !' — = — Е,+Е, дг дх, дха или а, а< вгсй — — вгсь— <! а, а, втсп — — вгсь— Рис.
4 вк. Эллиптический пилиндрический конденсвтор. из нее получаем: (4-5-! ба) У агс))— ав <à — вгсй— <г ш(г)= а< вгсп— д Определим напряженность поля конденсатора, состоя<пего из двух софокусных эллиптических цилиндров с большими полуосями а< и ав, при расстоянии между фокусами 2<(, если цилиндры заряжены до потенциалов <р< и <ре (рис. 4-22).
Поле такого конденсатора согласно табл. Д-2 характеризуется комплексным потенциалом и (г) =А агс!)— « (4-5-16) Чтобы выделить действительную и мнимую части ш(х), рассмотрим обратную функцию а=а< с))— <и (г) А — 1: х, Ы сйе — <Гч вйг— А А е (4-5-166) Аг соса — <Гг и!пг— А А Уравнения (4-5-16а) и (4-5-16б) описывают соответственно семейство софокусных эллипсов и гипербол (рис. 4-23). Эллипсы Х<(хь хв) =сонэ! представляют эквипотенцнальные поверхности, гиперболы при Хв(х<, хв)) =сонэ! — силовые линии.
Для определения постоянной А согласно выражениям (4-5-!ба) и (4-5-!66) имеем: Х =А агс!) — ' цп Г г Х =А агс)) — ' «т) <г А— х,<„— х,<„ гг где У=Хин — Хцв)=<р« — рв — разность потенциалов между обкладками. рис. 4-23. Семейство софокусных эллип- сов и гипербол.
Согласно выражению (4-5-16) комплексный потен- циал Напряженность поля согласно выражению (4-5-15) и ! вГс!) — дгсп ))<' !( л . <<)) .! и) (( к <Г) +к~) Поверхностная плотность заряда конденсатора согласно первому выражению (4-3-1) дХа н=е Е= — н —; а и а в виду ортогональности Х! и Х, дХ, н=-н, —. до Элезгент поверхности единичной длины, стягиваемый ду- гой г!о, несет заряд с(а=не(5=а,г(Хз. При полном обходе вокруг эллипса получим заряд на единицу длины кон- денсатора т=2л А е,. Емкость на единицу длины (4-5-17) а, агси — — агси— д и на основании формулы агс)!х=!п(х+ ф' х' — 1) погонная емкость С,=- (4-5-17а) !п —— о, + Ь, о ЬЬ, Функция (4-5-!6) является комплексным потенциа- лом для целого ряда задач, имеющих практическое зна- чение. С помощью этой функции можно определить на- пряженность поля и емкость системы, состоящей из эл- липтического цилиндра и расположенной внутри него пластины шириной 2г(, края которой совпадают с фоку- сами оболочки, а также системы, состоящей из софокус- ных гиперболических цилиндров с двумя плоскостями, расположенными на некотором расстоянии в одной пло- скости или взаимно перпендикулярными.
Погонная емкость системы, состоящей из пластины и эллиптического цилиндра, можно найти из выражения (4-5-! 7а), полагая Ьза О 2атза з '=. о, -)-Ь, д где нг — половина ширины пластины, края которой совпадают с фокусами оболочки. — Зб4— Рнс. 4-24. Поле двух праволвпгнх лент. Рнс. 4-25. Поле плоского конлен. сатора.
Таким способом уменьшают краевой эффект и повышают электрическую прочность конденсаторов, коаксиальных кабелей и других подобных устройств. Параллельное соединение конденсаторов. При подключении конденсаторов к двум точкам с потенциалами ф, и грз согласно рис. 4-26 получается одинаковое напряжение на всех конденсаторах (?= [зр! — сра[. На основании выражения (4-5-2) сумма абсолютных зарядов всех пластин конденсаторов за ~' [да [= [(Сдг+ 2Стз)+(Сзз. г-2Сзз)+ [ (?а г=! Принимая гиперболы за эквипотенцпальные линии, аналогично можно найти, что погонная емкость двух про- водящих лент, расположенных в одной плоскости на рас- стоянии друг от друга 2с( (рис.
4-24), равна: Са —— — '1п ! — "+1г ! — [ — 1 ) [фан). (4-5-!?б) Другим примером ортогояальных кривых являются семейства кривых, описываемых уравнениями: х,=Хз+е 'созХ,, х, . х,=-Х,+е 'з!пХ,. Эти кривые могут представлять эквипотенциальные ли- нии Хз(хг, хз) и силовые линии Хг[хг, хз) поля плоского конденсатора (рис. 4-25). Если контур поперечного сече- ния пластины такого конденсатора совпадает с одной из эквипотенциальных линий, то напряженность поля у краев пластин будет меньше, чем в их средней части. Отсюда находим что С= 1 л (4-5-20) или С= у' Сь (4-5-19) (4-6-!) Рнс. 4-27. Последовательное соединение нонденсаторов. Рнс 4-26.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
