Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2-е издание, 2004) (1092039), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Введем новую переменную тачг2и~ и вынесем за знак интеграла множитель ехр(-Е)(2)уо)). То~да 176 Зе и г веси в ф яебетсгсмгз з Е1Ев Польнпьгръшиое выражение в (3.141) прслставзяет собой распреде ление Райса, а следовательно, интеграл равен 1 Текин образом, Р, (з,) — 0,5ехр(-Е1(2жс)) учитывая симметричнгють канала, верошношь ошибки при передаче сит ьла зс(Г) Р (зе)=Р, (я,) =05схр(-Е112Ме)). Соответственно, средняя вероятность ошибки Р =О,бехр(-Е1(2А',)). (3 1421 Па рис. 3.22 Пззтриховш линия — Чаб) предо~валена швисимость Р ог огнен~ения Е1жс, вычисленная по фаомуле (3 142) Анализ показывает, «го некагерснтный прием сргогональных сигналов дает неболыпои энергетический праигр ~ш па сравнению с кагеренгныч приемом. При мааых верояп«ютях ошибки Р „=10' оные превышает!лб (23) Рассмотрим случай, «огда используются «мплитудно-манипулирсванные сигналь .
В данном случае э,(г) = Ув соя(ы„г э д), зс(г) —. 0„ где начальная фаза гр является случайной везичиной, распределенной равномерно на отрезке (-л, к] По-прежнему полагаем, что р„= рг Решение принимается на основе сравнения значения огибающей 2 сигнале на выходе оптимального приемника (например, согласованногс фильтра, настроенного на сигнал з,(г)) с некоторым порогом !Г, При превьшгснии порога принимается решение в пользу сип сла з>(г), в противном случае -- в лапшу яс(Г). Средняя вероятность ошибки имеет вид 1', =(Р (з,) з Р„„(зо))= — /ж(т,,'з,)гЬ, + ) и,( с)зе)дгс, (3143) 1 !Р с где с~ и и, — относительные значения огибающих напряжений на выходе олтимвльного приемника в момент времени г = Т при передаче сигналов 177 3 Основы меорни обнарулквна» н раэлинвнна сигналов в,(/) и л (/) соответственно; з =(/в/о — нормированный порог. Величина г, распределена по закону Райса (3.87), а го — по закону Рэлея (3.86).
Подставляя распределения огибающих о, и о в (3.143), получаем -=-'() -(-"""'"') (/с ы) -.(--")) "'" Оптимальное значение порога зл находится иЗ условия минимизации вероятности ошибки (3.144). Взяв производную ~/Р /~/зо и приравняв ее нулю, имеем "-(-'""'"') (Г'")-"-(-")= нвн после упрощений "(Г)=-( ) (3.145) Логарифмируя соотношение (3.145), получим 1п1 ( — з о(Д, о~— о о Учитывая, что Пн х»1; 1п1о(х)л г( )х'/4, хщ1, находим ,/с/2//о при больших отношениях сигнал — шум; го., =- (3.146) , /2 при малых отношениях сигнал — шум.
Таким образом, с учетом (3.144) и (3.146) при больших отношениях сигнал — шум имеем (сшшзнл '.-'(1 -'-"'"'"')"(Г )В. "( ')) """ При Е//ля > 10 первым слагаемым в (3.147) можно пренебречь. Тогда 178 34Р шн» ш афон б о у г Рв 0,5ехр~ — — ) 4йс ) (3 148) Па рис 3.22 (штрпковая лилия — АМ) показана зависимость вероятности Р, от атношени» Е( Ас, рассчитанная по формуле (3 148) Сравнение с соответствующей кривой для «огерентного слу*мя пмвсвяет сделать вывод, что при вероятности ошибки 1О ...10 некогерентный прием АМ- -з си~палов проигрывает в энерштике иа! ...0,5 лб При неоптимальном порогс шроятность ошибки может оказаться значительно больше Р, определяемой по формуле (3 148) Поэтому при изменении уровня принимаеиого сигнала порог приходится лолстраниать, что является сушсствсниым недостатком систеи с пассивной паузой 3.4.5.
Различение ш снгнязюв со случайной начальной фазой йг>Ло г=1,2,,,,,м, илн (3.149) г >го ~=),к.,м, гл), где г, — Уо(о Структурные схемы оптимальнмх рязличителей, выполненных на основе коррсляюров и согласованных фильтров, представлены на рис 3.28, а 3 28, б соотвсютвснно. Оценим помехоустойчивость оптимально~о различнтеля. Очевидмо, что ошибка при приеме возникает тогла, когда неравенства (3.149) не выполняются хотя бы для одного индекса г е 1. В обгцсм виде вероятность правильного приема си~нала определяется формулой (3 150) о с с 179 Пусть иа входе приемника сигнал имеет вид гг(г)-.з,(1,9,)ьл(г), г =1,2, ..., м, ~де начальная фаза гз, представляет собой случайную величину, распределенную равномерно на отрезке (-к, к), и(г) — помеха типа белою гауссовского шуиа.
Полетные сигналы з (г), г = 1,2,, л, ортоганальны в усиленном смысле. равновероятны н имеют одинаковую знергию Алюритч принятия решения (311!) для рассматриваемо~г случая колено записать в виде 3. Осььолы жеории обнаруасвишг и различения снглтов Рнс. 3.28. Структурная схема — коррс яииоиною оюимыи о о рыличитсля и сия наев со случааными нвчальн фвь ми; 6 -- фнлыро о о онтимщьного рлл и~сия и сигналов со слу ~вии ~ » очлльныии фюлми При использовании ортогональных в усиленном смысле сигнюьов значения огибающих оказываются статистически независимыми и соотношение (3.150) можно переписать в виде р, = /ьу ~..~ж(с>)ь (с )з.м(с )сук1сВ ..лунь >ьуиьы,луь о о о Как и для двоичной системы. з~ьачение огибающей с, распределено по закону Райса (3.87), а значения огибающих р„г м1,2,..., щ, ь м), — по закону Рэлея (3 86).
Используя (3.8б], (3.87), находим 180 34Рамя е злы афаяб шс уа ° \ Р„„=)ггзсхр[ — ' ' с !1с(г, ) — )~)гг,ехр~- -'-)йг,~ Й, = — ехр( — ! ) гсхр! — )!с~ ( — г !! 1 — схр~ — -~) 44г (3.151) Учитывая, что - ~3 1-ехр( — 1~ —.у (-1) Г." «хр выражение (3.151) можпо переписать в виде После несложных вычисдсний полу звсм (23) Р Вероятность ошибки имеет вид 1 — Р,„=~ (-»" б'"ч — р~ — ! (3252) ~ ( 1)44,)! Так жс, как и в и. 3.43, г' сравнение разяичиык систем передачи информации цри иекоге- з ., рентном приеме необходимо про- — з волить иа основе заяисимосшй Р, — з (Еьзутя) Из рис. 3.29.
на кагором прелсшелеиы зги зависимости, видна, па чем больше зс ' з ш, тем выше помсхоустоичивость зз системы. Сравнение «огереитиога и иекагереитного методов зь приема оквтывнсц чзо при т— 128 различие в помехоустои- 'о юл !з е„злз, лл чиности преиеблежимо мало. и с. 3.2а. Зввисимспь веров глос ошлб- Иа практике при Р «! и разлшмння анпилов сс случайными часто пользуютсв верхиси грани- начатьвьзмвфвзами 181 3. Огиоои теории обииружоииа и розюичеиия оогиолов цей вероятности ошибки Р <(т — 1)ехр( — Е12Мо)12, совпадающей с первым членом суммы (3.152).
3.5. Оптимальный прием сигналов на фоне небелого шума 3.5.1. Обнаружение сигнала Пусть колебание на входе приемника имеет вид и(г) = Вг(г) е л(г), в =Вз+н, где и=:(ини,...,и ), з=(з,,гз,...,з ) и п=(л„лз, „и„) — векторы принятого, полезного и шумового сигналов соответственно, причем и, — — и(г ), з, =-з(г ) и и, =л(г ), ~ =1,2,...,т; г,,...,г„— моменты наблюдения, выбираемые в соответствии с теоремой Котельникова. Поскольку шум не является белым, то шумовые отсчеты будут коррелированы. Обозначим через Н„корреляционную матрицу шумовых отсчетов. Оптимальный обнаружитель по-прелснему должен вычислить отношение функций правдоподобия!(н) =и(н!Н )/зо(п!Но) и сравнить его с порогом С, ззгачеиие которого определяется используемым криюрием (см.
й 3.3). В рассматриваемом случае плотности вероятности м(в(Н,) и го(и!Н ) определяются и-мерными нормальнымн законами распределения: 1 1 и (и(Н, ) =,, ехр! — (и — з)' Н„'(и — з)~; (2х)""!Н„!цз ~ 2 т(н!Но) =, ехр!( — в'Н„и), (2 )гз~Н ~цз ( 2 " )' (3.153) (3.154) где !Н„~ — определитель матрицы Н„; Н„' — матрица, обратная матрице Н„; и — з и и — вектор-столбцы, элементами которых служат отсчеты и(Г) — г(г) и и(Г,), 1=1,2,...,т, соответственгго. 132 где  — случайная величина, приниммощая значения 1 и В с вероятностями р и 1 .
р; г(г) — полезный сигнал, параметры которого известны; и(г) — гауссовский шум с корреляционной функцией йо (т). Рассмотрим сначала дискретную обработку сигналов При этом наблюлается выборка З.Э Ол а |й р |м и ф э «баюгс шум С учетом соотношений (3 153) и (3.154) нахолим решающее правило: схр( — (м э) К] (н — э)) л, 1 2 Лн] =— 1, | ] л, сэр( — в'Н, в( 2 (3.155) л, 1в!(н)= — (-э'К„'н — н'К„'ээв'К,,'э) К 1пС. (3.156) Мэтр ца К, яш|яется симметрической Поэтому в'К,|н — н К„|э и выражен е (3 156) приводится к виду а*К'„э «'К, э с ]пбэ —."- =Сг 2 (3 1 5'(1 Поскольку параметры сип|ала и статистические харашеристики по. мехи известны, правая ~асть неравенства(3.157)мажет быть заранее вычислена.
Поэтому существенной операцией является лишь накаждение величины х — в'К]э. Техническая реализация авгоритма (3 !57) многообразна. Приведем основные схемы построения ошичаэьньш обнарул:ителед (29, 30]. Решающее правило (3 157] можно представить в одной из следующих форм; и, н'ь' эе С, и, (3.158) н, вэ . С, и, (3 159) где э'=К] я, н'=К„'а. В соответствии с неравенствами (3.158), (3 159) иа рис 3.30 представлены структурные скемы оптималыю|а обнаружител». Первш (рис 3.30, а) отличается ст схемы оптимального абнаружителя си| нале на фоне белого гауссовского шума тем, что вместо исординат вектора э используются коорлинаты вектора ь', храняшиес» в запоминающем устройстве 183 Заме|им, что в случае белогп и|ума К„ =о„ 1, где ! — единичиаэ -| див| оналышя матрица, и выражение (3.155) переходит в (3 50).
Логарифмируэ обе части неравенщва (3 155), после преобразований получим 3. Основы творя об оружвння и роллннвнол онгнолов Рис. 3.30. Структурные схемы оптнмачьиого обиаружптеля: а — с прлобрпзоьввнпм полыпого спгппла, б — с мптрнчнмм фпльгром 1ЗУ), а вторая (рнс. 3.30, б) -- наличием матричного фильтра с ш входами и и выходами, осуществляющего преобразование входного вектора и: и'= В„'в, или, чтото же самое, и,'=~~))„,и . в г-! Возможна и другая реализация оптимального обнаружнтеля Поскольку матрица Й„является симметрической, то ее можно представить в виде И„= ЬЬ', где Ь вЂ” нижняя треугольнав матрица.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
