Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2-е издание, 2004) (1092039), страница 31
Текст из файла (страница 31)
мг2я,, 2 ~ Нетрудно видеть, что вероятность правильного приема сказывается одинаковой для всех сигналов «,(г), г = 1, 2, ..., т, Поэтому средняя вероятность ошибки имеет вил Р =1 — — /ехр — е — — Фи ~(г)г)г. (3.130) ,/2, „~ 2~ )(Лг,) 170 Из (3.130) следует, что с увеличением количества сигналов гл вероятность ошибки возрастает. Физически это объясняется увеличением вероятности превышения шумом иа выходе какого-либо канала (в момент принятия решения) напряжения на выходе канала, принимающего полезный сигнал. Однако это не означаю, что потенциальная помехоустойчивость ш-ичных снегом меньше, чем двоичных. При сравнении систем необходимо иметь в виду, что кахсдый равновероятиый мг-ичный сигнал несет а 1ойг т раз большее количество информации, чем двоичный сигнал, или при той же скорости передачи информации имеет в !ойг м бояьшую длительвкть.
На рис. 3.26 построены зависимости вероятности ошибки при когерентном приеме гл оргогональных сигналов (сплошные линии) от отношения Ее)Ле, где Ее =Е!!ойгт — энергия, затрачиваемая на! бит информации. Для сравнения представлена также зависимость вероятности ошибки 14 Рпм сиш с н с фс со гсмт а от отношения Ест)4, для двук пропзвопахожных сигвалов (штрихо- ~сч нз го ' зо ' он сосшвпяет почти два раза. Платой за энергетический выигрыш является увсличсннс ширины полосы частот, занимаемой систамой, и услсжнсние приемника, кшорый лия сигналов с одинаковыми энергиями содсржит и корреляторов или согласованных фильтров (по числу сигналов) и решающее устройство. Опрсдалич всроятность ошибки Р„ в сисгсмс с симплсксными сигналами 4(г), 1=1,2,,т, она с за а простым соотнолзенисм с вероятна- стью ошибки вдя ортогональных сигналов Действительно, пусть з,(г), г = 1, 2,, м, — симплаксныс сигнш~ьь Образуем новый ансамбль сигиаяов длигсяьносзью Т(14(с)): з(г), 0<г<Т; 4,'(г) = ЛГт, Т < г и Т(1 4), ), (3 13П гда с -17(т-1) Сигналы (3.131) явсяююя ортагональными: гд щ) г Т г(п(ч(З з(г)з,'(г)с) = )4(г)г,(г)4(г 4 ~ — щ = ег, 4 е(гс) =й, г и 7.
с Энарги» кажяого сигнала зг П равна Е(14(гс)). Учитывая, по расстояния мсжлу сигналами обеих систем (з, (г)) и (з,'(г)) одинаковы, можно угвсржвать, что всроятность ошибки лля исходнапз азшамбля сипзхюв 171 вая линия). Снстсмы ортогональных сигналов с м > 2 позволянгг обаспачить при одинаковой скорости псрсддчи информации сузцсствагшый выигрыш в энергетике по сравнснию с двоичными сигналами (23); например, при м = 32 и Р =10 з и лвух лстсрмииирсваиних про ивопо.
.томных сигнщав (штрихсва» линия) 3 Основы теории обноружени» н рознннения си:нонне г,(г), ! = 1, 2, ..., т, равна вероятности ошибки для ортогонального ансамбля снгнтюв с энергией Е(1+!гс!). Таким образом, вероятность ошибки для симплексиыл сигналов имеет вид Зависимость вероятности ошибки от отношения Ее(йг для симплексных сигналов мохгно проследить по рис.
3.2б, если на оси абсцисс вмеЕе т сто Ея Гйе отложить величину — —. Помехоустойчивость симплексных сигналов выше, чем ортогональнык. Однако зто различие уменьшаегся с уяеличениел~ т и при т>>! паисхоусзойчивость обоих ансамблей оказывае~ ся практически одинаковой. Оценим помехоустойчивость систем передачи с биортогональными сигналами. Оптимальный разлнчитель бнортогональных сигналов состоит из набора т72 корреляторов, устройства нахождения максимаяьного по абсолютной величине напряжения на их выходах и устрсйства определения знака этого напряжения. При передаче любого сигнала ег(г) ошибка в приеме глсутствует, ес- ли выполняются неравенства г~ > О, г, > пшх ф,(,)гг й ...,)гь,),)г,,),...,(г„,з)).
Вероятность правильного приема сигнала можно записать в виде Случайные величины гн...,", являются статистически независимыми и распределены так же, как и ортогоиальцые сигггазы. Это позволяет вывести следующее выражение для вероя ~ ности ошибки: 1 1( 'ЗЕЕТ ) ! — г'! Р т1- — ) (2Ф(г) — 1) г схр~ — г — ~ — ! с!г. Помехоустойчивость биортогональных сигналов выше, чем ортогоншзьных.
Однако при т»1 ршница в их помехоустойчивости становится пренебрежимо мала. 172 3.4. Рп сялннч «фо гл яог«у Как уже укшывалось выше, вычислить всроятношь ошибки в м-инной системе в общем сдучае нелегко. Поэтому на практике ~вето пользуются верхней гранипел гьтя вероятности ошибки; Р (з~] д Р (3 ]зг), (3 132) где Р„„(я, ]я,) — вероятность ошибки при передаче сигнала я,(г) в двоичной системе, использующей сигналы я,(г) и я (г). Оценка (3.132) справедлива лля любой системы сигналов и любого «виана. Более простой,но менее точной является верхняя граница, определяемая слелующим образом: Р, (т 1)пихР, (я,]зг), где шахР.
(я, д ) — максимальны по всем парам ~ 1 вероятность ошибки в двоичной системе, использующей сигналы гг(Г) и я (г) 3г).4. Различение двух сигналов со случайной начальной фазой Пусть сигнал в входе прис яника имшт вид л(г)-Ф(г%)г(1 б)яс(г рс)ьл(г) чальных фаз Е, 2 ' ехр~ — — ' ч- — ]гн(г)з (г,щ)йг) )Яа )те а 1( ]щ о ) ехр( —" е — )гп(г)яс (г, 9„) 41) )те йс с (3.!34) Усредгшя числитель и знаменатель в выражении (3.134) по случайным параметрам гр, и оь получаеи безусловное усредненное ОП: 173 гл и — случайная величина, приниммошая значеии» 1 и О с вероятностями р, и Рь соответственно; О, и гро — начальные фазы, предщвю~яющие собой незаенсимме случайные величины, распрсгггыенные равномерно на отрезке ( — п,к]; лф) — помеха типа белого гауссовского шум» са спектральной плотностью мощности )те 12.
Отношение правдоподобия (ОП) здесь так же, как и в задаче обнаружсии» сигнгша со случайной начальной фазой (см л. 3.33), ывисит от нв- 3. Основы ге варин обнаруисенин и различения сигналов ехр(-Е,131,) 1, (22, 179,) 1(и) = сир( — Ео 1Ус )(о (22о г гул) гле 1о() — молифицированная функция бесселя нулевого порялка; Ео,Е,— энергии сигналов.
Величины 22, !г5Го и 22о1Фе совпалыот со значениями огибающих на выходах согласованных с сигналами л,(г) н ее(г) фильтров. В ссютветствии с критерием максимума апостериорной вероятности решение а пользу сигнача л, (г) принимается, когда — схрИЕс — Е1)1Уо)(о(22~!Ус) Ро или йз(е(22,)Уо) (п(о(22о(Уе) Л (Ез Ев)»(гол йе(ро1Р~)ыСы (3.135) гаер„р~ — вероятности появяеиия сигналов л,(г) и е,(г) соответственно. Для симметричиопз канала Р, =Р, =0,5, Ео =Е~ =Е, порог С, равен нулю, а алгоритм различения принимает вид йг!о(22,13!в) ~( (п!о(27о!Уо).
(3.136) В силу монотонности функции 1а(„(.) неравенство (3.136) эквивалентно неравенству (3.137) 2 <Ео. Оптиматьный приемник, щпоритм работы которого описывается формулой (3.137) (рис. 3.27, а), состоит из двух каналов, вычисляющих по принятому колебанию и(г) значения огибающих, сумматора и порогового устройства (ПУ). Каждый из каналов являешься оптимальным по отношению к соответствующему сигналу н реализуется по схеме, изображенной на рис. 3.10. Возможна реализация приемника на основе корреляторов (рис.
3.27, б), где е,(г), 1=0,1, — преобразование! ильберта от е (г). При этом каждый канал представляет собой корреляционный приемник, схема которого показана на рис. 3ей Оценим помехоустойчивость различителя, предварительно отметив, что в данном случае для перепачи информации нельзя использовать проти- 174 34.Р нг в афо Б гоыум Рнс. 3.27. Структурная схема на ая нь» фап, я — оррсяяо он игг гыюою рюз яаук /Яг(г)зс(г)йг = ~ьг(г))о(ГУ)Г = б а о (3 138) 173 воположные сигналы, отличающиеся сдвигом фаз на и, так как нри случайной начачьной фазе звкне сигналы будут неразличимы. Обычно прюгеняют ортог опальные в усиленном омысле н амплнтудно-маннпулированные снмплы, Рассмотрнм сначгша случай, котла исполюуются ортогональные в усиленном смысле сигналы Дпя таких снгнвяов справедливы соотношення 3 Огнооы теори обнаружен н и розниненин аигноюо где )о(г) — преобразование Гильберта от з„(г).
Примером таких сигналов ЯвлЯютсЯ чм-сигналы з (г) =Босов(воз+9), з (г) =Косов(ый+сз), где гР— произвольная начальная фаза, а частоты ы, и ыа удовлетворыот соотношениям ы, =2яlг)Т, ыо = 2яйо)Т; 1П и lг, — натуральные числа. Характерная особенность ортогональных в усиленном смысле сигналов состоит в слеЛующем; если на вход согласованного фильтра, насгроенного на сигнал зо(г), подать сигнал з,(г), то значение огнбаюшей выходного напряжения в момент г = Т равно нулю.
Исследования показывают, что оргогоншгьные в усиленном смысле сигналы с активной паузой обеспечивают в канале с неопределенной фазой и аддитивной гауссовской помехой минимальную вероятность ошибки, т. е. являются оптимальнымн для указанных уоловнй. Положим, что р, = ро, Е, = Ео = Е. Пусть для определенности передается сигнал з,(г). Тогда с учетом алгоритма (3.137) ошибка возникает, если выполняется неравенство Ее > 2, или (3. 139) "о э и~ где и, — 2,)п, 1ы 0,1, — относительное (нормированное) значение огибающей.
Можно показать, что в рассматриваемом случае величины Еа и Еь а следовательно, ио и и, независимы [23) Поэтому с учетом неравенства (3.139) верояпюсгь ошибки при передаче з,(г) имеет вид Р„„,(о) = )й, )нз(инно)г)ио = )эи(и) ) н(ио)й гЬг (3.140) о о Учитывая, что огибагощне у„и и~ распределены по закону Рэлея (3.86) н Райса (3.87) соответственно, находим Р (з ) = )и ехр . ' ' о 1 ) — и ~)и ехр — о й' й ='1"-(-""'") И-" )-(-').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
