Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2-е издание, 2004) (1092039), страница 25
Текст из файла (страница 25)
При байссавском подходе к ре- 133 ) Основы тесрнн обннрускннин н рнмнчннн» свснансн шению задачи обваружения параметры )н и йе рассматриваются как случай- иыо величины, распределения и ()ч) и и (Ле) которых известны. При этом можно найти усредненные плотности вероятностей: и(н~Н<) =- ) и(гс~Н~,)ч)и(Х,)бл,! л, и(н)Не) = ()и(и!гг)н )се)кО а)с!)е* л (3 44) (3.45) 1ш(и~но Л,)ш().,)б)., )(и) = — -- — = — ' — и(и/Н) л, > < )О* и(~~Н~) ~ (н)Н,)с )ж(й )с0.„ л„ (3.46) где порог ), зависит от выбранного критерия. Неизвестные параметры )н и Хе могут бьггь векторами, при этом интегршы в выражениях (3,44) — (3.46) будут многократными.
3.3.2. Обнаружение детерминированного сигнала ! )усть наблюдаемое колебание имеет аид н(Г) — Вн(Г) н н(!), тле  — случайная величина, принимакицая значения 1 и 0 с вероятностями Р, и Рс = ! — Рб н(!) — полезный сигнал с известныьси паРаметРами; н(Г)— гауссовский белый и!ум с нулевым математическим ожиланием и корреля- ционной функцией й„(т) = — б(т) 2 Найдем алгоритм работы оптимального обнаружителя. Вначале рассмотрим дискретную обработку, когда наблюдения ведутся в дискретные )34 где Л, и Л л — множества значений параметров )и и Лс соответственно. В результате перехопим к случаю проверки простой гипотезы против простой альтернативы, когда распределение вероятностей наблюдаемого колебания зависит только от типа гипотезы.
Таким образом, рассматриваемая задача обнаружения сводится к ранее рассмотренной. Оптимальный алгоритм обнаружения записывается следукиним образом: 33 Об лру. пшеси:ламм лф б г мужа моменты времени гн гз... г„, а решение принимается на основе выборгзч- ных значений и(г,) -. н, —. Ог, ь н„г = 1, 2, ..., и. Дня принятия решения необходимо ычислить опюшение правдопо- добия ы(нн ..., и„1)1< ) н(н1Н, ) н(нн,,.,и,1Н ) гс(гз Н,) (3.47) и сравнить его с порю ом 1я Найдем распределения н(н,Н,) и н(и1Не). Пусть справелливд гипотеза Ня. 3'осла набаюдаеиое колебание предстаю~лег шум, г, е, н(г) = гг(г).
Поскольку в качестве помехи рассматривается гауссовский белый шум, та распределенно любою отсчета наблюдаемого колебания является гаусоовским м(н,К)= -р,—,~ 12по т 2оз ) ( (2ко)' ~, 2оз,, (3 48) При справедливости гипотезы и имеем и, -г, т л, Используя формулу преобразования плотнгюти верояззюьчи и учитьн еая, по я, — доз ернииированная величина, находим распрсде. е не 1 ( (н,— г) ы(гг, Н.,)= — еяр1 — — ' чгйкп ( 2о 1(оскольку отсчеты ио ! — 1, 2,, », па-прежнему оказываются стати.
стичсскн независимыми, то распределение и(л, и„1Н,) — — - — ехр — 2 (и, — г,) ~ ( г2лп)" ( 2о (3 49) 135 Учитывая, что отсчеты белого шума статистически независимы, находим рвспредешние 3. Освоен теории обнаруженил н различение еогнгиое Подставив выражения (3.48) и (3 49) в формулу (3.47), получим отношение праидоподоби» 1(п) — схр — э~и~э -- з з~ з, Соответственно, алгоритм работы обнаружителя примет вид Н( 1(~) = хр — ~ и..б — — ~ з, ~ < 1„. (3.
50) Учитывая монотонную зависимость показательной функции от аргумента, алгоритм работы обнаружителя (3.50) можно записать в виде нера- венств 1н|(ц) = —,~ и,з, — — ~з < 1п1е а;, 2аз,, не или Н, о,, но 2о (3.51) Из выражения (3.51) следует, что существенной операцией, которую необходимо выполнить при решении задачи обнаружения, является нахождение суммы произведений отсчетов принятого колебания и полезного сигнала.
Перейдем к рассмотрению непрерывной обработки сигнала. При переходе к непрерывному времени можно воспользоваться зависимостью 1уо 12 о Ы=1 — 1;,, Лг (3.52) где Фо 12 — опектральная плотность мощности шузов. Подставляя выраже- ние (3.52) в формулу' (3.51) и переходя к пределу при Лг -+ О, находим алго- ритм работы обнаружителя непрерывного сигнала 2 > Е г= — (,и(1),( У(1 < йз(с+ — = о, зно о (3.53) где Т, — длительность полезного сигнала, а Š— его энергия.
136 В настоящей главе далее рлительность сигнала Т будем обозначать без индекса вся 33 Ылыж шггягнат ая ф Лажес у Замесим, что отношение пра -, к и«г допадобил лля непрерыаного сигнава имеет вид з 1(н)-ехр~ — дь:)гн(г)г(г) )г ' Не (3. 54) Рнс. 3.5. Отру урна с ема корреляционного обнару н де ермпнированного сн ыь И' фор у: ы (3.53) следует, что при непрерывной обработке необходимо вычислить игпеграв . — — — ) н(г)я(г)НГ 2 Нс с (3 55) 2 з = — — ) л(г)г(г) Нг Нс с (3.56) Из вырюкения (3.56) следует, по всанчина г «власте» лннейныи цреобразаваниеч белого гаусаонакого шума, а следовательно, она имеет гауасавское раапрслсление, казарес полностью определяется математическим ожиданием М(г!Нс) и дисперсией и,.
Первая характеристика находится тривиально: 2 М( )На) — — Мà — )п(г)г(г)г)г~= — )М(л(г))я(г)И=О '")с с Не с Вычисление Лиапсраии и," нсскояько сложнее: !37 и сравнивать его с нзвсстныьг порогом Интеграл (3.55) харакюрюует меру нзанмной корреляции между наблюдаемым колебанием н(г) н повезным сигналом г(г) и называется коррсжчионным. Соопютственно, корреллсиглнмм назьомется обнаружнтель, посцюснный в соответствии с выражением (3.53) н сасюяший (рис. 3.5) нз перамнажитсля, инте ра ора н парогаьапз устройатва (ПУ) Псрсмнажнтель и интегратор образуют коррелятор.
Определим покнзатслн качесзва абнаружител»' вероятноать лажной трава~и Л; „п аероятноать правильного обнаружения П =1- р „. 2(ля зтого нсобхплимо знать раапределсние решшошей статиатики я прн птсугствии и наличии сигнала Иг) на входе обнвружнталя. Пус ~ ь си равеля пав г нпотеза Нс. Тогда 3 Оенллн теорию обнаружения и разлинения тсессассае з 2 ".= 1*'1= 1(„— 1(снн ) )= —, (1(сслссец)сн)*(исн,~= 4 Гс = — '))М(п(сс)п(Е ))и(сс)е(сз)(йс)с . Но ао Учитывая, что корреляционная функция белого шума выражаешя соотношением М(п(б)п(тз)) = — В(Н вЂ” т ), находим 2 2 тт о 5~3(ез — сс)л(с,)л(гз)с(ссуд.
Но оо Наконец, используя фильтрующее свойство В-функции, получаем 2 'сз 2Е ол = — )5 (Сс)е(тс = —. Но о (3.57) Таким образом 1 ~ т (я|но) = — схр— ,~~к 2Е)Йо ( 2.2Е(Но1 (3.5В) Пусть теперь справедлива гипотеза Нн При этом величина з= — ')(л(Е) . п(с))сЯЙ Но о формулами м(я/нс) = м( — )(е(е)-ь п(т)~л(г)ссу ( 2 1 гЕ Но о Нс о, =2Е!Л'о. Теперь можно записать плотность ве)юятности величины з: 1 ( (я — 2Е)'Н ) 1 13В по-прежнему является результатом линейного преобразования гауссовскопс шума н, следовательно, имеет гауссовское распределение.
Математическое ожидание и дисперсия величины з определяются ЗЗОб ру е е ш ое афаебг* т а Используя распределения (3 58) и (3.59), находим показатели качества обнаружения: Гс =Р(г>тс(З)е)- Г)и( (Зге)М— ( ь)л з(2я'2Е)Нс ( 2'2Е)Нст ( ч)2ЕЗНе .) Н = Р ( т з те ( Н, ) — ) и (я(Н, ) тй = ( г'т глс бз(к) — — (ехр~ — Ег — интеграл «сроят нести Величины Р„и р, „численно равны площадям соответствыощнх участков под кривыми распределений и(т(Не) и и(з Н,) (рис. 3.6) Испшгшуя выражения (3 60) и (3.6!), чажно лпя различных Р„получить завнсимости О=~ Ц2Е)Не), которые называются «аракшерисшиками обнорузиеньн (рис.
3.7, сплошные линии). Пользуясь зтнмн характеристиками, моктнс определить необходимое отношение 2Е(На, при котором для заданной вероятности Р;, обеспечивается обнаружение сигнала с требуемой вероятностью правильного сбнаруженн» О. Значение зтого отношения характеризует так называемый лоро оный сшкаг Рис. З.б. Диа рамма ршчеы показателей качества обнаруаеная )39 3. Основы меории обнаружение и рами ~ения согнаны О,з ь' а щ ш .Ббя; Рис. 3 7. Харак| ерисз ики оптимального обиаружителя г нмо(Т) =.
~и(Ф(7 — Г)е(Г. о Гели импульсную характеристику филю ра выбрать такой, что 2 Ь(Т вЂ” г) "- — 5(г), )уо или. что то же самое, Ь(г) = — е(Т вЂ” г), 2 ь" в (3.62) то и, „(Т) будет совладать с корреляционным иншгралом (3.55). Линейный фильтр, импульсная харакшристика которо~ о определяется выражением (3.62], или, в более общем случае, выражением )40 Из получонных резуш татов вытекает следующий важный вывод. иозможность обнаружения сигнала с заданными вероятностями ошибок Р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
