Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2-е издание, 2004) (1092039), страница 22
Текст из файла (страница 22)
а и(ур) и н(кЬ) — соответственно условные плотности вероят- сопя! при гой П(я„! ) = О при у=!. (3.8) !!8 ности случайных величин у и и. Со~ласло минимаксному критерию наилучшим считается решакэщее правило, которое обеспечивает наименьшее значение максимал~ного условного риска г. Минимаксный критерий позволяю найти наилучшее решение лля наихудшею случая. Он гарантирует, что максимальное значение условного риска не будет' больше некоторого значения даже при самом неблагоприятном распределении и(в). Па практико часто встречаются случаи, котла ошибочные решения одинаково нежелательны, например при передаче лискретных сообщений.
При этом целесообразно функцию потерь задать следукхцим образом: / г1 3/ Ош Я = С~~ м(з,. / ), г /, (3.9) гле С- любая постоянная. Из выражени» (3.9) слслусг, что величина Я с точностью да постоянного множишля совладает с пояной вероятностью ошибочных решений.
Позтому бяйссояский критерий при зачанин функции потерь в виле выраже н» (3 8) имеет смысл назвать кришерпем мкпинуыо о ной есроятлосши ошибки. Бго часто называют григвсрнсм илепзьпсго ноблюдавзаш, а также «ритерпсы Кот»лег~»косо — 3 ггржо Другим критерием, кшорый минимизирует полную вероатнссть ошбачных решений, является крш ерин максимума апостериарной веровтности з(я) (и)ь) (в) (3 10) в соотвсг стени с которыьз решение принимается в Пользу сигнала з„если н(з )зз) (а зз), / =1 и /»з' (3 П) Действительно, все, по можно узнать о полезном сигнале я, на основе принятого калсбани» п, заключена в апошсриориай вероятности н(я,)в), «ш.ора» представляет ообой не что иное, как веро тносзь правильно~о приема сигналов.
По»гому если решение принимать в соответствии с выражением (3 П), то гарантируема, что полная вероятность ошибки будет минимальной. При отсугс вни априорцык озеленив не ~олько о функции потерь, на но распределении сиги»лови(з) с~итают, что н(в) = сопы, т.е, принимают распределение сипгююе как равномерное.
При зтом апостериорная верояж нязь (3 10) с точностью до постоянного множител» совпадает с функпией правлоподоби» (и)з). Дл» обеспечения минимального срслнего риска решение принимается в пользу сигнала,юзв каюрого функция правлополобия мвксимазьна, т. е в пользу сигншш з„если и(и)з). (в)з ) /=1,. и /гг (3 12) 1!9 Обычнгз .шк же функция потерь задается и в тех случаях, когда ее обоснованный выбор затруднителен. Например, это имеет место в радиолокации Действительно. при решении задачи обнаружени» сигнала, как правило, трудно оценить потери, связанные с пропуском сигнала (пропуском цени) и лажныч обнаружением (лажной тревоюй) Д/з» функции потерь, определяемой вырюкенисм (3 8), средний риск определяется формулой 3. Основы теории обнару«гения н различения си:нанон Критерий (3.12) целесообразно назвать критерием максииаяьиого праедоладобия.
Он часто используется а математической статистике при оценке нензвестньсх величин. В задачах обнаружения сигнала часто применяют критерий Неймана — Пирсона, который гарантирует, что вероятность ошибки типа «лажная тревога» ие превысит заранее выбранную величину, а вероятность ошибки типа «пропуск сигнала» будет минимальной. Критерий Неймана — Пирсона ие требует знания априорных вероятностей присутствия и отсутствия сигнала, а также функции потерь.
В рассмотренных выше решающих правидах выбор решений проводился иа основе т-мерных векторов принимаемых сигналов, причем значение т оставалось постоянным. Существует правило выбора решений, при котором размер выборки сигнала в случаен и зависит от результатов наблюдения за сигналом на предыдуШих т — ! шагах (т. е. в моменты времени сс, ..., с„.,). Зто правило предложено Вальдом и называется лравиааи последовательного анализа. Оптимальность критерия Ваяьда закшочаеюя в том, что он при заданных вероятностяк ошибочных решений шраитирует минимум среднего размера выборки сигнала, или, что то же самое, минимум среднего времени наблюдения, необходимого для принятия решения, Рассмотренные в настоящем параграфе критерии будут использованы далее при синтезе оптимальных устройств обработки сигналов.
3.3. Обнаружение сигналов ня фоне белого шума 3.3.1. Оптимальные алгоритмы обиаружеинв сигналов Задача обнаружения (ее формулировка дана в б 3.1) является частным случаем обшей задачи проверки статистических гипотез: необходимо на основе анализа принятого колебания и(с) сделать выбор между гипотезой Но (утверждение, что сигнала на входе нет, т. е, параметр О равен нулю) и альтернативной гипотезой Нс (утверждение, что сигнал на входе присутствует, т. е параметр О равен единице). Поскольку в задаче обнаружения возможны только два решения: у» (принимается гипотеза Нс) и у, (прннимается гипотеза Н,), она называется двоичной (деухалылерлатиелой).
Если распределение наблюдаемого колебании и(с) зависит только от того, какое значение принял параметр О, то гипотезы Нз и Н, называются простыми. Такой случай имеет место при обнаружении детерминированного сигнала. При этом и(с) = Оз(с) ь л(с), 120 3.1 Об дужг ее е а е»аф еб о зт где з(Г) полезный сигнал. все параметры ксторога известны, и приходится репзшь задачу проверни праатй птпотвты Н„против простой альтернативы Нь Более типичным дл» задачи обнаружения »власте» случай, когда распредел р й б дае б и(т) зависит не юлька от вида огсз, о и от неизвестного нарамюра Х (нли вектора Х). При зюч гипотезы Не и Н, называются сложнымв и задача обнаружени» сошоит в проверке сложной типот»вы прОтив слоткной альтернативы. Рассмотрим задачу обнарухгения, когда гипотеш Н, и атьтсрнатива Н, являютс» простыми.
Задача заключается в нахождении правила Ь(у)в), се~ звено коюрому любой наблюлаеной выборке вн, н, ставится в соответствие решение уе или уе Процесс принятия решения в данном свучае можно представить следующим образом. Прострннство принимаемых сингпшов П разбивается ва дас непересекающиеся области Юе и Пь Боли сипзал на входе приемника я(!) попддаег в область Ие, та принимается решение уе (гидотеза Е)е), при попадании сигнала и(г) в область 1) принимается решение у, (гипотнш Н,).
Об»лезь Пе называется бозйсшнной, а область 11, — кршлической Поскольку пометы л(г) имеет случайный характер, принимаемое решение не всегд» яюястся лоставерным Поэтому при решении задачи обнаружения возможны следующие четыре случая. ! Справедлива гипошза Н, Принимается решезше уь. Эпн случай называется»р«е ыым несблпрулгснвсч Вероятность такого события определяется формулой р„= ~ ( ) Н„1О . с, (3.13) 2 Справедлива гипотеза Нь Принимается решение уь Этот случай называется лравнтьлым обнаружением Всроятносп, такого события П = ')н(и)Н,)а».
и, (3. 14) Р„, = )м(н)Нсрйт (3 15) 4. Справедлива гипотеза Нь Принимштсв решение уе, т с. ошибочное решение. Этат случай называется р у и юю. Всрп пность такого события 3 Справешзива гипотеза Нс Принимаетс» решение уь т. е ошибочное решение. Этот случай незывается .заленым обнаружением (лаве»ой шрееогой) Вероятность такого собьпия 3 Ословы теории обнаружения и различепи» сигиагов (3.16) и«)=бз«)ч(! -О)ла«) ьп«), (3.17) где л)«) =.
5«), лч«) — О. Случайная величина О принимает значения 1 и О с вероятностями р и 1 — р соответственно. Функцию потерь зададим следующими выражениями: 1ЦлоУ,) =Пш>О, П(з,У,)=Пп! П ( лч 7!) = Пс~ > 0' П(ле ув) = Псе причем Пю > Пп и Пм > Пвв.
Тогда средний риск, в соответствии с формулой (3.4), принимает вид ! 1 )У = ~ ~ П( „у,) (,„у,)= П ш(зв,уе)+ ! с=в "Пв!ш(лс 7!) г!!!сн(б*уа)ьппн(з! 7~) = =Паон(ге)н(ув!ле)+ Па!и(вс)н(7! !зс)+ ' П!о (л!)н(ус М~)+ П!! "(л!)~~(7~ 1л!). 122 Таким образом, из четырех возможных случаев, имеющих место при обнаружении сигналов, в двух решения приниманнся правильные, а в двух— ошибочные. Ошибку ложного обнаружения назывыот также ошибкой первого рода, ее вероятность зй, - уроеием значимости правила выбора рвшепи».
Ошибку, связанную с пропуском сигнала, называют ошибкой вшорого рода, а вероятность правильного обнаружения О =! — р„„— мои!пастью правиш выбора решения. Вероятности ошибочных решений Р"„и р„„, как следует из формул (3. ! 5), (3.16), зависят от характера разбиения пространства принимаемых сигналов В на области !!в и Юь Очевидно, что уменьшая область Юь можно уменьшить вероятность ложной тревоги г", о однако при этом возрасгаег вероятность ошибки пропуска сигнала р„„,„.
Уменьшение области ()л наряду с уменьшением р„, приводит к увеличению Рл, В связи с этим возникаег залача, как наилучшим образом разбить пространство !) на области О л и П !. Рассмотрим сначала байесовское правило иринкою решений. Запишем колебание на входе обнаружнтелж 33 ОЛ Гжжгяв с га ф бсым у. Учитывая, что и(я,) = р, и( „) = 1 — р и '(тс)зо) — Р, ж(т~!эс) Р, ж(тсй) =Р я (т~)э~) полу~им Я = Пн(1- Р)рч ° П,(1-Р)ли ПмРР, ч ~ П»РО (3 10) Полставляя в формулу (3 18) выраагения для Р„, Н, Р,, и рч „из формул (3 13) -(3.!б), наладим Л вЂ” Пм(1-Р) )н(н;Но)(и ьП,(1 — р) )и( )Н У)згь н„ о, + Пмр ) и(н Н)с(в ь !1»Р ) ж(п Н)йп.
(3.19) гь °, Учитывая. что ~ж(п)Н>У(п = 1 — ) и (н)Н,)г!и, о ) и (н)Но)дн = ! — ) тт(н)Не)г(п, оогласно формуж (3.19), средний риск Л вЂ” П, (! Р)ьПнр )(Р(τ— П»)м(п)Н,)— с -(1- Р)(Пм -Пм)г (н)Нс))Дн (3 20) Первые двв члена в ссотногиении (3 20) «кчлются постоянными величинами, не зависяшими от способа разбиении пржтранства П. Поэтому мининазьное значение среднего риска достигается тогда, когда значение интеграла оказывается ма с» алиным. Для этого необкодимо область П, выбрать такой, чтобы в нес вошли все ~очки прссгранства О, для которыя подынтсгральнсе выражение неэгриг!ательно, т, е Р(П,с — П, )ж(в)Н,)-(! — Р)(Пм — П,)ж(и)Нс) ь О. (32П Испотшзуя формулу (3 21), можно залпов», влпэригм рабаты оптимвльнога по кригеринз Байеса обнаружителя сигнале. ж(н)Н,) ., (1 - р)(П, — Пм) (в(Н,) н, Р(Пм — П») 123 3 (>е> осы теории обнорроеелол кразлоеелил <игла>оо По алгоритму (3.22) необходимо вычислить отношение функций правдоподобия 1(н) = ге(и)Р!>)1>г(н)Н ) и сравнить его с пороговым значенисм (уровнем) (1 - р)(п„-и ) о= р(ин, Пц) (3.23) П(лну ) = П(>,у,), П(зну,.) 'П(е,уо) =О, с учетом выражения (3.22) получаем алгоритм работы обнаружителя сигна- ла, построенного на основе критерия идеального наблюдателя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
