Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2-е издание, 2004) (1092039), страница 17
Текст из файла (страница 17)
/)руги преимущеатвом указанных алгоритма является простота оодпповительной рабаты, твк как преобрюованн» равномерного закона )ияи нормальнога) в цжбуемый опись!ваютс» аналитическими зависимостями,'!'акого вида алгоритмы позволяют. легка изманять форму распределения в процссас моделирования случайных величин, закон распрелеления ктп арык минеи~ щ оарамщров Основнь л ал орин»ав мел»сто» сравнительно нищее бис~рад»пашне, поскольку гюущестюение иа ЭВМ незииейных прсабраюваний часто требуе~ повально большого количества элеммпврных операций. В задачах, ие предъявляющих высоки» требования к точности распрел лени» формируемых случайных величин, для сокращения количества элечентарных операций рекомендусгс» использовать более экономные приближенные методы, например метод кусочной аппроксимации.
2.8.2. Моделирование случайны» векторов Существуют два основных чсгопа ьюлелирования случайнык векторов с заданной шютносгью распределсни» «еро»тнасщй !. Мемад условных раслределемнм. Алгоритм аснонан на рекуррентном вычислении усдовных плотностей вероятностей ллн координат слу~айного вектора. Рассмотрим сначала двумерный отучай, когда вектор имеет лне ксорлинаты У, и У, Одномерную цчотность вероятности величины У, можно представить через двумерную платность вероятности величин У, и У, слелующим образом ')у)= ) )уоуэ)дуэ )2.62) Испщ~ьзуя описанные выше способы моэтыгирэввния случайных величин с заданным законом распределения, сформируем реализацию уы случайной величины У, с плотностью вероятности )2.бб).
Затем найдем условное распределение случайной величины Ук бй Сигналы и иоиопи лрааиатек ичееких систетал "'(Уг(У( ) т'о(уо Ут)(ю(У( ). (2.69) Произведем выборку уота случайной величины Ут с плотностью вероятности н (у 1У,' ). Полученная таким образом последовательность пар чисел ,ОЮ у~ ', ут', 1 = 1, 2, ..., будет иметь совместную плотность вероятности и (уп ут ). Ю 1П Пример. Составить алгорити моделирования двумерного случайного вектора с плотностью вероятности вида и(уи ут) = су ехр( — у у ), 0 и у, ж 2. уг и 0 (2.70) По выражению (2.68) находиьг одномерную плотность вероятности величины У, ж(у ) = )»(го у )г)уг = )су ехр(-уу )г1У =с, 0 еу| ж 2.
о о Находим значение с из условия нормировки (»'(у,)иу, = )Ыу, --2с=!, о о откупа с = 0,5 и» (у, ) = 0,5, О а у Л 2. Из табл. 2.4 получаем следую~лил алгоритм моделирования У, у," =2(х, ). По выражению (2.69) находим уоаовное распределение случайной величины Уг.' ж(уг(У( ) = "'(У~ Уг'11 и(у~ ) = У, ехР( — У~ Ут) откуда видно, «то при полученном значении уоа случайная величина У, имеет показательный закон распределения. Алгоритм моделирования такой случайной величины привелен в табл.
2.4: ую = - (11уои) 1л(х1'1). Таким образом, окончательна ж~гаритм моделирования случайного вектора с коорлииатами У» 1; и пчотностыо распределения, определяемой выражением (2.70), будет иметь следующий вид. ( 2х1'1, 90 2Я М д юр ес г аягм» юе з,' ',,' — -я пара выборок, полученная из ип и а слу ~айн с равноер ым закс ам распрелске а июервале 10,1) диалогично, если задюга совмещная плопюсть верея ости н (у;,уз,у,) трехмерного вектора, то выборка трех чисел осуществляется в соответствии с плотностями вероятностей н(У,)= ) ) н(УВУз,Уз)дузбзз1 (уз!у )= ) н(у) 12 уз)оуэн(у (уз)у(',угп) —.
(у(',у!',уз)' (у)п) (уз1ч(ущ) Описанный прием позволяет модедировать, в принципе, многомерные случаиные векторы с произвольно заданной плотностью вероятности Однако использование этого способа связано с весьма громозггкими вычислениями. 2. Мемед Не ' «апп, обобигю имй и мисюмеряыа сзу ай Идея метода такая мс, как и в одномерном случае (см.
п. 2.8 1), с той лишь разницей, что здесь имизируются случайные точки, равномерна распределенные ие на плоскости под кривой н(у), а в (Л'+ 1)-мерном объекте под Ьлмерной поверхностью (И, уз, Ук) ПУсть н(Уп Уз, ..., Ут) — УбмеРнаа гшотность веРоатности слУчайного шкура Ъ' Ояучайные коорлинаты Уь а —. 1,2,, И, имеют область опре. деления (аз,Ь„). По анюгогни с одномерным случаем лля формирования реюизации вектора У с помощью ЭВЬЗ находят Ь е 1 случайных чисел 4 Уг уз*у»п, раяноиерно распредююнных на интсрвюгах (и,,18), (а,,Ь,),, (аюЬя), (О,м„„) соответствевно.
Их реализации моделируются следующим образом. г11=цэ(гд а)х11, х11с(а,„тз]; згз=аз+(Ьз — аз)я)п, яе1е(ат,Л,), зло =он ь(ая — пя)хгз, гт в(а .Ь„); ю гк ~ ='г,хьм «,',зпе(й,м ), 1) 91 2 Сисиилы и намеки и радиитсхнииескик сисмаиса где и„,„„— максимальное значение функции ы(у„уз,..., у„); х((,х(',.. ., к"(„-- реализации случайных независимых чисел ХнХ,...,Х„м с равномерным законом распределения на интервале 10, 1). В качестве реализации случайного вектора я, распределенного по закону (и(у(, уз,..., уи ), принимакгг реазизации случайного вектора 7.
с координатами 2,', 2, ..., 2 ', удовлетворяющими условию ('2 Реализации случайных чнсся 2('(, (,...,х(',(, не удовлетворяющие () (( этому условию, отбрасывают. Модеяирование случайных векторов с заданной матрицей корреляционных моментон может осущесты(яться методом линейного лрсобразоаанил Основная илея метода состоит в том, чтобы, получив Д( независимых случайных величин Хц Х,, Л „с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями, равными 1, подвергнуть их такому линейному преобразованию Д, после которого полученные величины 1ы), ..., Уи имели бы наперед заданную коррсляцнонну(о ма(рицу В=!л„]='!М]У хУ )], У=АкХ, (2.71) тле У, Х вЂ” матрицы-столбцы с элементами у(,уз,...,у,, хн хз, ,х„ соответственно; А = (а,ы] — квалраз ная матрица преобраювания.
Выберем матрицу преобразования А треугольной. Тогда в развернутой форме выра(кение !2.71) можно записать следующим образом: у,1 "а(, У2 ~ (22( О ... О" ~х,; Р22 ... О х2 х (2 72) (ки2 '" (клл' ] (.Х~ ) Из формулы (2.72) следует, что 92 где М вЂ” символ математическогоожидани», и=1,2,,Л', л=1,2,...,Д'. Известно, что произвольное линейное преобразование Д(ьмерного вектора Х своди (с» к умножению его на некоторую матрицу А Л'-го порядка: 2 В Мшю»рава г«ииа . ет У, — аилб тг =агэ э "эаг кг ул — ' ю"э ч аи" .
аш"л Учитьэаю, чю случаиные величины Л'оХ,,Х„независимы, а их дисперсии равны ), элементы матрицы А олрелеляипся выражениями й М)У') =а' ртг = М ) уэ х уг ) = аээ х аг Яж ™)Уг ) =а,э ьагг* .. )2.73) Из соотношений )2.73) можно опрелслип злемен ты айн ггэ й г )чй э агг т)йгг 'чг)йээ ,.))гэ йэг))п)))п. а,=й, ГД,, а ~этгг — йэг)4э "ээ '= 93 Таким образом можно последовательно определэпь вас злемснты матрицы А.
Тогда алгоршм молапирования случайных векторов с заданной корреляционной матрицей авсдегся к умножению реализаций вектора с незавиаимыми случайныии координашми на мацэицу А Саставллюшие аекюра У будут имен нулевые средние значения. Вектор В с аснулсвым срслннм значением пшэучается суммированием векторов У и С, где С - вектор сродник значений «оординат вектора 2.
Отметим, что раасмотрешэый процесс моделирования позволяет получить лишь необходимые коррсляпионныасе з е ду «аэрдээнагами случаииош «ектора Законы распределеии» координат ис учитываются. Они мог)т быть арэнзаол иь ми, например равномерными. Требуется только, чтобы «аординаты Хп Хг,Хэ были независимы и их лиаперсин равны! Вали законы распределения координат исходного векгора привять нормюэьнымн, то искомый вектор также будет нормальным )нормальный закон, как извешно, инварнантен по отношению к линейному преобразованию) 2 Сьелагы и лонеги е радксмегнлчеглиг сисменаг 2.8.3, Моделирование гауссовских случайных процессов Стационарный гауссовский случайный процесс 9(г) однозначно определяется математическим ожиданием т и корреляционной функцисй Я(т). В задачах моделирования можно предполагать, что математическое ожидание равно нулю, так как случайный процесс с произвольным щ может быть получен следующим преобразованием: Ц(г) — пг ь 9'(г), где ",'(г) — гауссовский случайный процесс с нулевым математическим 1 [ х-'] н(х) =.
— схр[ — —; 2л 1, г]1 ]'1, lг= О, Л',[/г] = М[з[л]х[л+)г) ] = 1 [О, А г О. (2.74) Возможные метолы формирования на ЭВМ нормированного дискретного белого ~!гуьга х[л] рассмотрены в и. 2УИ1. Здесь и палее значение целочисленного аргумента, сгояшего в квалрагных скобках, овна'гает, по речь идет о дискретной функции 94 ожиданием. Обычно задача моделирования формулируется следующим образом. По известным характеристикам процесса (математическому ожиданию, корреляционной функции или спектральной плотности мощности) требуется опрелелизь вычислительный алгоритм, позволяющий получать на ЭВМ лискретные реализации Цниаг]=з[л] случайного процесса Цг), где ы— ию ерзал дискретизации, л = 1, 2, Известны два основных метода моделирования стационарных гауссовских случайных процессов: метод скользящего суммирования и метод рекуррентных алгоритмов [! 8, 19).
В основу этих методов положено линейное преобразование стационарной последовательности х[л] независимых гауссовских случайных чисел с параметрами лг„= 0 и (Э„= 1 (нормированный дискретный белый шум) в лискретные реализации 9[л] случайного процесса с заданными корреляционно-спектральными характеристиками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
