Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2-е издание, 2004) (1092039), страница 13
Текст из файла (страница 13)
и Омриода). нли М-после совлекл сггяии Очевидна, что каракгсристичсскии мнагочлен М-пссле- довательности должен делить двучлен 19 х Неприводимасть характеристимского чнсючлена является необходимым, но не сгоьпаточным ущюаисм полу~ения М-последовательности Действительно, с>щсстеуют не р пдичые полиномы, «огорым согт~вщсгвуют послелонательности немаксимальной „дины Например, много~лен ,Г(х)=хе Юх 91 являгпсл непрннодимым Однако максимальный период ссю~вщ~:тв>зогцих ем> ненулевых последоватцчьностей равен 9 2 Сиглалгы и аачлхи в радиатал тле<лиг гастева» Найдем достаточное условие получения М-последовательности. Известно, что любой неприводимый многочлену(х) степени и является делителем многочлена !Зх . Тогда, учитывая, что !Юх делится также на 2"-2 г" ч любой много*шеи !ах', если только л является делителем числа 2" — 1, можно утверждать, что период ЛРП с неприводимым харакюристическим ыногочлеиолгу(х) степени и должен совпадать с одниьг из делителей числа 2" - 1.
Очевидно, что для получения М-последовательности характеристический многочлен 7(х) степени и не должен делить никакой двучлен 1З х' при а<2" — 1. Неприводимые многочлены Ях) степени л, которые делят двучлен 1шх' ' и не делят никакой двучлен 19х', а<2" — 1, называются лрлтшлиалымы. Таким образом, необходимым и достаточным условием существования М-последовательности является примитивность характеристического миогочлена. Каждому примитивному многочлену соответствует вполне определенная М-последовательность. Соответственно, чис.зо различных М-последовательностей памяти л равно числу примитивных многочлеиов степени л, которое определяется как Д--82(2" — 1)7п, где ф(2У) — функция Эйггера из теории чисел, равная количеству целых чисел, включая единицу, меньших числа 722 н взаимно простых с ним. Приведем значения Д лля некоторых л. и ....
.... ! 2 3 4 5 6 7 8 9 !О 1! 12 !3 !4 15 й ......... ! ! 2 2 6 6 !8 16 48 60 Лб !44 638 756 !ВОО В работе (14] ланы все примитивные многочдены степени и < 16, а также примитивные многочлеиы с минимальным числом ненулевых коэффициентов степени 17 < и < 34. В табл. 2.1 приведены примитивные много- члены по одному для и = 3, 4,..., 10. Тиблаиа 2.1 Укажем основные структурные свойства М-последовательностей [12, ! 5 — 17]. 64 26 С лег мы Пер од М-паслеловатсльнпсз и равен 2" — 1, где л — степень ее характеристическогомнагочле а 2 М-послеловательносгь имеет наибольший период среди ЛРП с равными степенями их таракшристичсских мнпгочленов 3 В М-носледовательности с периодом 2" 1 содержатся все л-значима,гваичные комбинации. кроме комбинаций из одних нулей, причем шждая л -значнвя комбинация встречается один рез.
4. В М-последовательности ~испо елиничных символов ранна 2"', а ~испо излей равно 2 — 1, г с. на единину чен»ше 5. Если М-последовательностг,(аб сложить по модулю два с последовательностью (л,,), обрюованной из (а,) цикгическим сдвигом на Ь символов, то получим исходную М-последовате льность, ио с нскгпорым другим циелнческим сдвигом 6 Пусть (а,) — М-последовательность памяти и. а г( — лгобос пожжительное число Тогда послсдоватевьносн, ',л,ь), полу ~вина» из (а,) вы- боркой гЬ х ~левов, г -0 1, , имеет период равный (2" — 1)1(2" — 1 4), ~де запись (2" -1, г() означает наиболылий обший делитшш чисел 2" — 1 и д.
1. Боли (а,) — М-последоватеж,носзь памяти л, а г( — любое иг чисел 1,2.4,,2' 1, то (а,), г=0,1... лыглется исхолной М-послсдованетьнос п,ю с точное ью ле циклического сдвига. Я. Пушь (и) — М-последовательношь амяги л Тогда сушеотвуьч ее циклический сдвиг ((т,) =(ан„), шкой, чю (Ь,) -(Ь,). тле и — некгпорсе ншюе число М-последовательности, инвариангные шносительио операции, мклнзчаюшейся в выборке 21-х членов пош~едовательггости, г = О, 1, 2,, л - 1. называются хара т р л штянн М-лосгедоеажельяосмлмн Очевидно, что лля хараьшришнческих М-последоватеяьнос~ей равенство (Ь„) =(Ь) ос.гаегся справедливым лля всех д .2', где Ь = 1,2,,л-1 9 Если (и,) характеристическая М-пос, едовательность, то ее произволяшая функция имеет вид ((я)(х)) бз)(х)))(у(г) дяя егных степеней /(х), О(х) = (х) (з)) г(т'(х) лдя нечетных степеней т'(г). В качестве примера а табл 2.2 представлены производянгие функции двух характеристических М-последаватсльносшй, а также сами последавательностилля и-5.
~езтт 65 2 Сигналы и есаиехи е радирепе*нинесних сиоп ее ае Таблица 2 2 1О. Пусть (а,) — М-последовательность с характеристическим много- членом ~(х). Тогда последовательности (лей являются М-последовательностями, если (2" !,с/) = 1.
Это свойство позволяет по одной М-последовательности построить все М-последоватедьности того же периода. 1!. Пусть (ай — М-последоватеяьиость с характеристическим многочленому(х) степени л и с/ = сс,2г (щоб(2" — 1)), причем с/1 и с/з — числа, взаимно простые с 2" — !. Тогда последовательности (ае,~ и (ае,! будут сов- е,/ падать с точностью до циклического сдвига. 12 Пусть (а,) — М-последовательносп, памяти л, причем л — четное число.
Тогда последовательность (ае,), / †. 0,1,..., где с/ = 2" е-!, является сг М-последовательностью памяти л/2. Рассмотрим корреляционные свойства М-послеловательнослей. Найдем сначала периодическую корреляционную функцию (ПКФ) и-~ й,"(й)=~а,а„е, й=0,1,..., =е предварительно отметив, что далее все результаты приводятся для последовательностей, которые получаются из последовательностей, состоящих из символов ! и О, заменой ! иа — 1, а 0 на 1.
Тогда с учетом соотнопзсния (2.49) и свойств 4, 5 М-посяедовательностей получаем й:(/с) = Дс, /с=О(лоб сЦ/); — !, /си 0(щоб .9), где /Ц вЂ” период М-последовательности. Таким образом, ПКФ М-последовательности оказалась двухуровневой со значением боковых лепестков, равным — 1. На рис. 2.9, 6 приведена ПКФ М-сигнала (рис. 2.9, а), представляющего собой последовательность вилеоимпульсов, длительность которых равна те, а полярность определяется М-последовательностью 1111000!00!1010 (символу 1 соответствует видеоимпульс отрицательной полярности, а символу 0— видеоимпульс положительной полярности). т з ~о Рис.?9.
Меч гнщ 1 ) и его 1)КФ (Ф На оракзике используются сигззш~ы. получаемые фазовой маиипуляпией высокочастотного кол»баии» по закону М послелоеазельносги У та ких сигналов огибающие корреляционных функций совпадают с корреляционными функциями с отвщщвующнх Мсигззшюв. Периоди какая взаимокор(юляционнвя функция (ПВКФ) М-последовательносщй (а,г и ()з,) с периодами РВ и У сост»кзот»сино имеет вид нок ь„ь»1 ~ й.я(Ь)= х.
ойия. т е, »сдается периодической функцией с периодом, равззыч наименьшему общему кратному чисел тф и Вт (НО К (Юп Лгз ) ) Периодическая взаимокоррслвциониа» функци» лостаточно просто определяется только лл» М-паслеловательнастей с взаимно простыми пе- рнадаМИ МОИНО ПОКаЗатЬ, ЧтО дпя НИХ КЯ (а) = 1 Прн ВСЕХ Ь В друтнх Спучаях ПВКФ не имеет общих закономерностей в своем поведении На практике часпз ласт»Фоно знщь лишь максимальный уровень взаимной оррсляции, а но дегал«нос поведение ПВКФ.
У м ем ри подмножества М- последовательностей с определенным уровнеч взаимной корреляции (16) 1. Пусть (а ) — не»спорая харак~арне»пиеска» М-последовательность о»мази л, где л — нечетное чис.ю. Образуеьз из нее М-пскледоватеяьносгь (Ь ) =(и„,);злееь с( — 2' »1, (Фл) — 1. (2.50) 67 2. Сигнанм и наиехи а радиотехнических системах Тогда ПВКФ последовательностей (а,) и (Ь,) определяется как — 1, если аг =1; — (21""!'2 + 1) нли 2!"'г!'2 — 1, если а = — 1.
(2.51) 2. Пусть (а,) — характеристическая М-последовательность. Образуем М-последовательность (Ь,) = (аа ), где 1 2 "' ! г 1, если л — нечетное число; 1, ° грг г2 = 2!"' !'2 ч1, если л-четное число, ни 0 (пюб 4). Тогла ПВКФ удовлетворяет неравенству йгг (й,"ь(Ь)! < 2!"' «1, если н-нечетное число; 2!"' ! 1, если л — четное число. 3. Пусть (а,) — характеристическая М-последовательность памяти н, причем нн 0 (пюб 4дг). Образуем последовательность (Ь ) =(а,), где гг'=21"' !' - !. Тогда ПВКФ последовательностей (а,) и (Ь,) принимают только следующие четыре значения: 2" — 1, 2" — 1, — 1, — (2" ь!).
Та! +грг 22 22 кнм образом, (2!",(Ь)! < 2!""!' — !. На рис. 2.10 изображена Т!ВКФ сигналов, соответствующих М-после- довательностям (а,) = -!1111-11 11 — 1-! †11 †1 †1111 в-1 — 1 — 11! — 1 — 1! †!11, (Ь,) = †!11-111 †1 -1! 111-!1-1-11 †!1-1!11 — 1 — 1 — 11 — 1 — 1 — 1 — 1. Я,"(Ь)= ~ па, !ы б8 Сформулированные правила позволяют выбирать пары М-последовательностей с гарантированным уровнем взаимной корреляции, что имеет бодьшое практическое значение. Так, для н = !3 существует 630 М-последовательностей.
Среди них имеются нары, для которых значения ПВКФ достигают 703. Однако согласно формуле (2.51) нлгеются также пары с максимальным значением ПВКФ, равным 129. В общем случае максимальный уровень боковых лепестков ПВКФ М-последовательностей одинакового периода лежит в пределах (1,5...б) И [17]. Непериодическая корреляционная функция (НКФ) М-последовательности опрепеляется выражением 26 Фюшеье г«н я„зт) о Рнс.
2.!О. ПВКФ снпямов, о в вую о М-поспел аа льнссгяи, лринаяленашнм первом> полииожестеу Одной из ее характеристик являегс» также максимшьный уровеш боковых лепестков Для ряззичных М-последовательностей он оказывается различ- ым Последовательности, для которых наибольший уровень боковых лепестков НКФ сказывается неимсныаим, называются мпянмикснымь. Дяя таких снгнююв максимальное значение Я," (Д), ! т О, несколько меньше и Ч и стрсиигса кмой вели~и есростомУ Непериодическая корреляционная функция обладает следующими двумя свойствами Я,"(2)зЯ,"(27-2) .
1; '> Я" (уг)=. 2 Непериодическая взаимокорраляпионнея функция (ПВКФ) М-после- иова с.шносшй не подчиняется каким-либо общим закономерносгам Согласно (17) максимальный уровень лепестков НВКФ лежит в пределах (1,4. 5,1) ~Ч. 2.6.2. Лимонные рекуррентныс иоследввательпосги немакснмальвой длины Среди линейных последовательностей немаксимельной длины наибольшее значение имеют пооледонатшшиости Галла и Касами (16! На их основе могщ быть пестровым ботьшие системы сигналов с мавьгми значениями периодических взанмокорроляционных ф>нкцнй 69 2 Г:игиахм и ломики и радиатек ичегиш систсчат Образованные последовательности и называются последовательностями Голда. Последовательности Голда можно получить почленным суммированием по модулю два циклических сдвигов М-последовательностей (а,) и (Ь,), порождаемых исходными многочленами 7',(х) и 7„(х).
Действительно, производящую функцию О(х) =!7(х)7(Г (х)рь(х)) любой последовательности Голда (с, ) мохгно представить в виде 4,(х) г)г(х) Г,(х) /„(~) (2.54) где г),(х) н г(г(х) — многочлены, степень котоРых меньше л. Из выРажениЯ (2.54) непосредственно следует, что с, =а, бгЬг В множество последовательностей 1олда входят и сачи последовательности (а,) и (Ь,). Па рнс 2.1! изображена ПВКФ сигналов, соответствующих последовагельностям 1 олда (с,) = 1000000000100101001001!11010101, (к() = 11111!1111000110001110101100110, формируемым сдвигыощнм регистром с функцией обратной связи Г(х) = Г, (х) г (х) = (!Ю к Ю х )(!Ю х Ю х Ю х Ю х ) = = к~с Ф хз Ф х" ш»' т хз Ф хз Ф !. В данном случае получается 33 сигнала с максимальным значением модуля ПВКФ, равным 9. 70 Последовательности Голда образуются следующим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
