Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2-е издание, 2004) (1092039), страница 10
Текст из файла (страница 10)
При дискретном временном предстаазеиии используется система весовых функций ш,(г)=ь(г — г,), 1=1,2,...,Ф, где б(г — г) — дельта-функция. Координаты, как это видно из соотношения (2.25), определяются сле- 24Д .ревю а чср хс г аса дующим образом:, =х(г,), з — 1,2,...,Ф. т, е, совпадают с мгновенными значениями (отсчетами) непрерывной функции т(О в днсь)мтпые моменты г, Представление называется рг уаярвым, если шаг диск)кп извини Т, --г, -г,, являетса постоянным В противном случае оио называется агрегуааркы (ой птиеяыи).
Для прслотавлсння сигнюов регулярными отсчетами необходимо выбрать частоту дискретизации К, =.\гТ, и базисные функции ц,(г). Особенна валсно найти иннимальную частоту дискрюизации, при которой еще имеется вюможнссть воссгшювлени» непрерывного сигнала с заданной пагрешносзью При решении этих задач следую у~взывать аюйсша исходных сигнатюв, способы их воссшношмния и требуемую точность восстановления Для модели сигналов с ограниченным спектром решение указаннык зад од р.
зрс, е Кгпсльни о а, сгорая уг срждает, что юбу о непрерывную функцию со спектром, ограниченным полосой частот (Оу..р .),можно одиознвчнс опрелелизь последовательностью ес мгновенныхзн четий,вз ~ьх срез интервалы времени Т =1)(2К ). Восстановление непрерывной функции осуществляется с помощью ряда яп(2кр (г-)Т,')) х(г) — У «( Т„)— 2лд (г — !Т,) (2 27) который называется ряг)ьш Ксшельниясва Базисными функциями а данном случае саужат функции ото мтов ззп(2крь, (г- (Т,)) гр,(О= — "' — ', г=...,— 1,0,1,....
2хй' (4 -гТ,) 49 Опи образуют ортогонаш ную на бесконечном и~гюрваче о < г < систему функций. любую функцию граб мовсио получить на выкоде идеального фильтра нижних 'тастот, подав на его вход сипом 6(г — гТ ). В соответствии с выражением (227) восстаиоюение непрерывного сипзала соуп!ест властев подачей на вход идеального фюгьтрн нижних частот с полосой щюпускания 0 .Х, „ последовательности 6-функций 6(г — 1Т,), з †..., — 1,0,1, , уиноженных на коэффициенты хОТД, Однако ни сигнхч в виде б-функций, ни идеальный фильтр нижних частот фнзичеаги не реализуемы Поэюму на практике вместо 6-функций используют короткие импульсы, а вместо ндеалыюго фияьтра нижних частот — филыр нижних частот, по, естественно, приводит к погрешност.и аоссшновленив сигнала 2.
Сигаазы и ьамахк а радиогяаха чгскьх сксмгмах Теорему Кошльникова можно обобщить и на случайные сигналы [9]. 1)ри этом она формудируется следующим обрезом; лля случайного процесса с односторонней спеьтральзгой плотностью мощности, удовлетворяющей условию С,( Г) =0 при Т >К ма ряд я|п (2яд „(г — 1Т,)) 2Т(1Т„)— 2яР „„(г — 1Т'1 где Л(1Т,) — случайные величины, представляющие отсчеты случайного процесса, взятые через интервалы времени Т =11(2К „), сходится в среднеквадратическом смысле (см.
(2.22)) к процессу Х(г) Теорема Котельникова справедлива для идеализированных условий, срели которых следует отметить ограниченность спектра по частоте и бесконечное время наблюдения. Все реальные сигналы конечны во времени и имеют неограниченный по частоте спектр. Использование модели с ограниченным спектром и конечное время наблюдения приводит к погрешности при восстановлении непрерывного сигнала. Тем не менее теорема Котельникова имеет большое пракгнческое значение. Спектр сигнала так или иначе ограничивается (например, при передаче непрерывного сигнала спектр б(Т) целесообразно ограничить частотой К, „при которой С7(7) «ьу(Т), где Лг(Т) — спектральная плотность мощности шума на выходе канала). В зюм случае теорема Котельникова позволяет сориен гирошпься в отношении частот дискретизации.
Обычно частоть дискретизации определяю~ по приближенной формуле [10] Рл е 2ХР'„, где Х вЂ” некоторый коэффициент, выбираемый из интервала 1,25 — 2,5. Ограничение спектра сигнала частотой Тг „посредством фильтрации приводит к погрешности восстановления, относительный средний квадрат которой определяется формулой (2.28) т. е равен отношению мощности о~фильтрованной части спектра к средней мощности исходною сигнала При отсутствии предварительной фильтрации сигнала в процессе его восстановления ошибка дискретгпации возрастает. Пусть 5, (Ул) — спектральная плотность сигнала х(г).
Тогда спектральная плотность дисьретизироваиного сигнала х,(1) [7] имею вид 50 2.4 2( Ч»юмм хедер -шг„а г г, зпгг, Рнс. 2.?. Спек разьнвв план ость янскретюированного с 1 " ~,У 2»п 5м(уш)= — У 5„~2 ы — — ~ . (2.29) з. е оиа равна с точностью до несущественного множю с»я (Г Тз сумме бес- конечного числа кколийв спектра исходного сигнала (рис 2.2). Эти копии расподашются на оси частот через равные промежутки 2»ГТ, При воссшновлении сообщения идспчьным фи»ьтром нюкних час~от с к х па»осой пропусквния — к ю < — возникает ошибка, стноситальнь~й сред- Т, Т, ний «наврат которой с учшом выр»жени» (2.29) опредс»яегс» соотношением / )5 ( ))25 / ~ (5„~)(О- — //) Иы /)5,(рге)) пш /)5,()ы))'Нм 51 Первое слагаемое в выражении (2.30) характеризует ошибку, обусяовяенную тем, что составляющие сигнада ь(г) о часготал~и )ш( «(Т, не попа- лают в полосу пропускания фичьтр», и совпадает с (2.28) йторое сяагаемое в выражении (2.30) характеризует ошибку, обусловленную попаданием в поносу пропусюния фильтра сею»в»яюших боковых яспссшов 5, '13(ю - 2»п) Т„$~, п=.»1,»2..., спектра сигнала к,(г), Если ограничитьс» влиянием тошко двух боковых деоесткав при н = П, то нетрудно видеть, что второе слагаемое закжо совпючает по значению с (2.28).
Таким образом, бз е --28»., 2. Сигналю я лоигхя е радиотепямгсхиг гягясг, о хгс) х(с) О г, с„, сюм с О с. с+с с 2 а б Рис. 2 3. Диаграммы, нллям грируюшие сгу ленча сую (а) и я и ней ную (б) интерполяции с)ш б; =2, 1 — — ~ г,(т)с(т, ) с„сс (2.32) и, следовательно, прсдааризельная фильтрация сигнала с целью ограничения его спектра целесообразна. Заметим, что обеспечить выполнение условн» (г,( с) = О при 7 > )г фильтрацией физически невозможно. Сигнал на выходе любого реализуемого фильтра будет содержать спексральные составляющие на частотах Т > В . Поэтому ошибка (2.28) является минимально возможной. В общем случае воссшновление (интерполяция) непрерывного сигнала х(с) по его отсчетам выполняется в соответсз'вин с формулой (2.26).
При зточ в качестве базисных функций обычно используют алгебраические полиномы В частности, на практике применяют ступенчатую и линейную интерполяции Дяя ступсггчатой интерполяции (рис. 2.3, а) используют базисные фУнкции фс(с)=1, ф(с) =О, с =2,..., пРи этом х(с) =х(с ), с < с < с е Т„.
Для линейной игггерноляции (рис. 2.3, б) используют базисные функции ср,(с).=1 — с/Т„р)с (с)=т(Т~, ф,(с)=О, с=3,4,..., при этом х(с) — "х(сс)б т [х(сьч ) - х(с )) т Т,, с, < с < с е 7'„= с„ь т.= с — с,. Относи сольный средний квадрат погренсности восстановления сигнала зависит от нормированной корреяяционной функции г,(т) исходного процесса Х(с), способа интерполяции и частоты дискрегижции. В работе [11) показано, что для любых стационарных процессов с нулевым математическим ожиданием при ступенчатой интерполяции погрешность вшхзвновлсния определяется выражением гядшр» я рере г л прилинейной интерполяции — фармуяой г, г, 6„— — э - „(Т„)- — ) г, (т)йт — ) тг„(т)дт 5 1 4" 4 (2 33) значения Т, ийг,не швисят лнндекса !(т.е Тя =Т„М =.Дг э Рошая рассмазрнваеную задачу, важно правильно выбразь ляительи кть подынтсрвала аныгизе Т.
Прн этом необходимо иметь в внлу, что с у сличением длительности этого подынзсрвгша расшт число «оордннат Лг, необхолимых лля представления сигнш~а Соатвшственно, услажнлетсл аппаратура, увенчивается сс объем, масса и сшичость. В связи с этим значения Т, ис должны бань слишком большими. На практике лля непрерывного сигната Х(г) часто вполне приемлема длитшгьиость интервала Т„= (5 ..6) т„, где т„— интервал каррсляиии процесса Х(г) (! 1]. Другой важной задачей являешься выбор щсовых и координатных функций. Вызыеекн интерес ~акис операторы А и А', которые обеспечивают минимальную погрешность 6 при заданном числе координатД илн миг нимшэьное числа координат гг при зааанной погрешности б .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
