Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2-е издание, 2004) (1092039), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Укажем два положения, касающихся существования и построения матриц Адамара. 1. Матрицы Адамара имеют порядок либо М =- 2, либо Дг .= 4/г, )г = 1,2,.... 2. М:прина А,, порядка А', х й и полученная из матрицы Адамара А„подстановкой мшрицы Адамара А„вместо элементов +1 и матрицы 2 7 С смг. н гнл«мсв Ас вместо элементов -1, есть щкже матрица Адамара.
Таким образом мшкно легко строп ~ ь матрицы Аламара белее высоких порядков Рассмотрим в качестве примера матрицы Адамара ! 1 ! Используя указанный способ, негру,зно ползчить матрицу Аламарв порялка Аг=й ! 1 1 1 1 1 1 1 1 †! †! 1 1 -1 -1, 1 1 -1 ! 1 — ! — 1 А,=, ! 1 ! Если первая строка и первый столбец матрноы Адамара сасюят из единиц, то отворят, что матрица записана в нормальней формс Ортогонвльные коды монне настроить на основе системы функций Уолша 112), которые достаточно просто генерируются. Система функций Уолша впервые была описана математиком Успп~ем Рй тра!*О) в 1923 !.
В настошнее время существует ряд определений, позволяющих строить различные модификации этой системы, отличающиеся ин~ервалом определения и порядком следования функций Приведем сначала опрелелснис системы, праигически совпадающей с системой, введенной Уолшем, в коюрой упорядочение функций производите» по числу пересечений иии нулевого уровня Сисшма обычно обозначается как !ма1,19)). я=0,1,2,..., где 0 О =ыу <1, Т - период функций Далю будем рассматривать конечные системы, состоящие из Щ = 2" функций Июлем предварительно ф>нкции Радсмахера(12) гв!О) — \, г 19)--ззбп! ззп т2кбз), ! =1,2,..., з2 597 77 2. Сиена и и помехи в ра!)иове ппчееепх гиене в ее)8) ! где 1, хнО; в)дп (х]=е, :',— 1, х<0. с г0) ! Из выражения (259) следует, что эти функции являются дискретными и принимают только два значения: +1 на подынтераалах ()е)2', (Де!)72), )г =-2!', ! =01,..., и — 1 на осильных подынтервалах.
На рис. 2.!2 представлены первые четыре функции г, (6). Система функций Рааемахера являекя ортогональной на интервале (О, 1), но неполной, твк как на том лге интервале существуют другие функции, о ргого пел ыеыс им. 2.12.
Графики функпий рваемахере Система функций Уолша (иа1,(0)), ! —.0,1,...,2" ', является ы функций Радемахера до полной системы и определя- о!6) 1 г!) 8) ! Рис расширением систем ется как Ус (О) -: жа)с(8) =1; о, (О) = теа1, (9) П(г! (О)]', (2 бО) где !' — значсниеу-го разряда в записи числа !' в коде Грея. Получение первых восьми функций Уолша в ссютветствии с выражением (2 60) наглядно показано в табл. 2 3, а иа рис. 2 ! 3 приведены их графики. Функции Уолша являются дискретными (прииимают значения 61), периодическими с периодом, равным ! Они удовлетворяют условиям орто- гоиальноши, нормировки и мультипликативности: '1, если !=у) ) хча1, (6) в а!, (О) е)9 = ( ' хча), (9) хеа1, (6) =. хпа!,е) (6), 10, если )н ), где ! Ю / — условная запись числа, двоичное представление которого полу- 76 чается поразрядным сложением по модулю два двоичных представлений чисел ! и !'.
Следующий пример поясняет нахождение )г = ! Ю 71 Пусть ! = 7, ) = 10. Запишем ! иу в двоичной системе исчислений и сложим их поразрядно по модулю два: 2 Скггигы и помехи пдадиптиуиичегкэи писпгсиш Другая система функций Уолша, упорядоченная по числу пересечений нулевого уровня, — это система (ша1и(8), са1,(О), за1,(0)), у=1,2,.... Здесь буквосочетание а! связано с фамилией Зца1а1г, а первые буквы указывают на ангьзогиго, в смысле четности и нечетности этих функций, с функсгнями соз О и згл О.
Функции са1,(О), ! -- 1,2,..., являются четнымн,а за!,(8), у =1,2,...,— нечетными. Параметр г равен половине числа пересечений нулевого уровня соогвегствуюшими функциями на интервале единичной данны. Функции системы (тиа1,(0)) связаны с функциями са1,(6) и ва1,(0) следующими соотношениями: са1, (О) = уиа!ь (О), за1, (0) = уиа1г, г(0), г=!,2,.... На рис. 2.14 в соответствии с соотношениями (2.68) представлена структурная схема простого устройства для генерирования первых !б-тн функций Уолша.
На выходах триггеров Тп,Тс формируются функции ца!, (6) =аа1, (В), ига!у(6) =за!, (В), ша!у (6) = ва1„(0), ца!,у (6) = за1„(0). Псремноя<ители образуют из них систему функций Уолша от на! (О) до уиа!ы (8). Функция уиа! (В) тождественно равна елинице. Функции Уолша не обладают хорошими корреляционными свойствами. Многие из них имеют большие боковые лепестки как КФ, так и ВКФ. По этой причине они применяются, в основном, в синхронных многоканальных системах.
у г,с81 ' г«81 "<гсВ! сну!01 гпг,181 ...!81 и!с!81 ы!,(61 спн(О) г,!81 сггс181 с г,г81 * г,!81 с ггу81 ...г81 у' с пу. Рис. 2.14. Структурная схема устройства шнерирования функций уолта 88 27 Г'кс синс с 2.7.2. Бнортогоиальные сигналы Система из ш биартогональнь~х сигналов формирустсв из гн«2 ортогональным сигналов добавлением к каждому из пик противопояожнога сигнала Простейшей такой системой явл юся система из четырех сигналов с одинаковой энергией. Если в качестве базисз~ых функций р (1) неооль«спать функции э, (г) =з(2«Т, созмяг, Е,(г) = з1211'.
ппсзсг, то цри ю — 4 биартогональныс сигнаяы будут отлнчюъс» только фюой н совпалут с сигнатами, полученными фюовой манипуляцией. 2.7З. С пиексиые сигналы В общем слу~ае снмплексные сигналы палучаюте» из орты опальных сигналов следующим обраюч (10) Пусть (а ), — 1,2,,т, - ортоганальные сигом~и Добавив к каждому сигналу «(1), з=1,2,...,«и, олин и тот ни сигнал «(г), получим новую систему сигнююв «(1) =.т (г) т «(г).
замы им, что обе системы си~палов обеспечивают одинаковую памехоустойчнвосп, Суммарная энергия новых сипталав опрсделястс» сюлующей формулой: „г Ех — у )(«>(П з «(«)) й. не (2.61) Для симплсксных сн~ палов энерз и» Е. должна быть минимальной Мини- мизируя вырюкение (2.61) по «(1), можно пакюю.ь, что симнлексные сигна- лы, псяучюиые иа ссноее ортогоныьных «(г), ~ = 1, 2,, ж, имею~ внл (10) 1 т,(«)=«,(«) — — 2 «,Сф Ш, ! (2.62) Поскольку с учоточ вырюкения (2.62) ) «,'(1) = О, то каждый нз сигналов з,'П) л«ожна представить в виде линейной комбинации остюзьных Счсюда слелуез, по снмплексные сипзаты «(1), 1=1,2,...,ю, иожно представить в вила векторов н«(ю — 1)-мерного евклндового пою«девства При одной базисной функции р(П можно сформировать два сниплексных сигнале, которые совпадут с противоположными сигнюзами.
81 2. Сигналы и немел е реансмелниееельл сеете ел 11ри двух базисных функциях мовсно сформировать три симгц~ексных оигнала. Концы их векторов лежак в вершинах равностороннего трау! ояьника. Симплексные сиенцы и близкие к ннм могут быль получены на основе симплексньж кодов. Рассмотрим равномерный код с основанием 2 и длиной гл. Пусть его кодовые комбинации представляют последовательности из т символов, приниыаюших значения — 1 и 1. Введем понятие коэффициента взаимной корреляции между леобой парой кодовых комбинаций (б,) и (Ь,): 1 -1 ге = — '„Г Ьвдд ш л=с Потребуем, чтобы коэффициенты взаимной корреляции ге были бы равны ге, /, /= 1,...,т, /ыд Можно показать, что -1/(т — 1), если ш †четн число; — 1/т, если м — нечетное число Кол, все пары кодовых комбинаций которого имеют коэффициенты емимной корреляции Г "1/(ен — 1), если ге — четное число; 'с = — 1/т, если ге нечетное число, называется сиилленсным Симплексные коды можно построить на основе матриц Адамара.
Нетрудно показать, что если существует матрица Адамара порядка Ф = 4/г, то можно построить симплексные коды для т=-4й, 4/г — 1, 24 и 2/г-1, где/г —— целое положительное число. Действительно, пусть Ан — матрица Адамара порядка Аг =. 44, записанная в нормальной форме. Тогда, вычеркнув первый столбец, получаем матрицу, строки которой образуют симплексный код для т = 4/е Если, кроме того, вычеркнуть одну из строк, то получим симплексный код для т = 4е — ! Колы лдя т — 2й и т = 2/г — 1 получаются следующим обрюом. Рассмотрим /-й столбец (У и!) и вычеркнем в матрице Ан строки, на которых элементы /сго столбца равны 1 (или — 1). Вычеркнем также первый и У-й столбцы. Тогда окажется, что оставшиеся строки образуют симплексный код лля т = 2К Если вычеркнуть еще одну строку, то получим симплексный код для т = 24 — 1.
Особый интерес представляют симцлексные коды, комбинации которых являются циклическими перестановками одной из них. Выясним, каким условиям должны удовлещорять такие кодовые последовательности. 82 2ВИО р и *» гмин.е» Введем периодическую корреляционную функцию (ПКФ) кодовой последовательности Ье.(),...,Ь„ П Яч (1) = ~ Ь,ьч и ) = О, 1,..., Пожевоаатсльносги, ПКФ «озорых уловлстаоряет условию Я"О) = а, !'=1,ж — 1, называнмся лосмооелтеяыогтя я с да)куроалеаой ПКФ. Можно показать, по [а[ 1 Дяя построения пиклическнх симплексных кодов используют только последовательности с двухуровневой ПКФ, для которых а = -1. К таким по . д ательностям относятся посяедовательносги максимальной лтины (М-послеловюе» ноогн), носледоютельности Лсжанжж, Холла и Якоби [12]. 2.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
