Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2-е издание, 2004) (1092039), страница 23
Текст из файла (страница 23)
йв)= — < "=!о. н (и)Н>) ~ (1 — р) -(~Н.) . р (3.24) В соответствии с выражением (3.24) необходимо вычислигь опюшенис правдоподоб>ия и сравнить его с лоро> овым уровнем (1 — р) 1„.= р Из формулы (3.24), предполагая, что вероятности наличия и отсутствия сигнала равны, т. е, 1 — р = р, находим алгоритм работы обнаружителя сигнала, построенного на основе критерия максимального правдо- подобия 124 Воли !(и) М )о, то принимаезся гипотеза Н, о наличии сигнала, а если !(в) < 1, то принимается гипотеза Но об отсутствии си>.на>а.
Отношение 1(и) т к(и,'Н,)ун(и)Н ) называегся оиоо>нениел> правдоподобия, или лоэффиниентом лраодолодобия. Оно показывает, насколько > ипотсза Н, нри принятом сигнале и(!) правлополобнсе гипо>езы Н, При известном распрелелении помехи и(!) и известном способе взаимодействия полезногг> сигнала и помехи отношение 1(н) всегда может быть найдено. Пороговый уровень !о зависит от априорной вероятности нш>ичия сигнала р и значений функции потерь Пви Пон П>о и Пц. Он может быть вычислен заранее.
Важно огмеги>ь, что априорные верояжюсти наличия и отсутствия сигнала и функция потерь не влияют на процедуру обработки снгню>а. При изменении этих данных приходится лишь подстраивать пороговый уровень. Задавая функцию потерь н вндс соотношений ЗЗ Обнару иф б сюиу я п(н(Н, ) п(н(Нс) й, (3.25) В радиалоианни при решении задачи обнару:кение часто применяется критерий Неймана †Пирсо Ллгоритьг работьг абнаружитсля, построенною иа основе этого критерия, чожна запнаать в виде соотношения и, 1( ) = (н(1)') э С, м(п(Не) (3.26) гле порог С находится из условия, па верояпяють выполнсни» неравснапш !(н) ж С при гягкпам Н, не превышает наперед заданной величины Р„п т.
с. Р(1(н) С',Нс)=Р;, 125 Таяиьг образом, лля ааех раааматрснных критериев: байесовакого, идеального наблюдателя, максимального нраелогюдобия и Неймана— Пирсона, пропедура принятия решения (рис. 3 2) сводится к вычислению отношения правдоподобия 1(в) (блок ОП) и сравнению ега с паратовым значением 1„(блок ПУ вЂ” пороговое устройство), равныи соответственна (! — р)(Пм -Г!ю)/р(Пщ -Пн), (1-р)ггр, 1 и С Структура сбнаружшеля сигнала не зависит от выбранного критерия оптимальности Рааамотрнм работу абнаружитсля, построенного на основе критерия последовательного анализа (наблюдателя) или крншрил Вааьда. В ранее рассьгатренных решающих правилах решение лринимаатая паоле получения выборки сигната ип,,,,и фиксировамного обьема ш Посяедаеяншьняя процедура обнаружения характеризуется тем, по папыпга принять решение в ппвьзу гипотезы На или Н делается юакдый раз по мере получения очередного элемента выборки. Пронесс принятия решения соатогп е следующем.
При получении элемент» выборки и, = и(г,) на основе сто анализа принимасгая регнснис либо в лолюу одной из гипотез Нс или Н, (решение ус илн тД, либо о прплопжснии наблюлсни» за сигналом (решение уз). Если иа первом шаге по элементу выбпркл и, принимасюя решение уь нли Тн то пронссс обнаружения на этом заканчивасгся Еали принято решение тз, то продолжают на- т блюленнезаси~нвяам.При получении второ- !ьоп и ~~плут (л го элемента выборки и, =и(г,) на основе т анализа лвумерной выборки иь из вновь проер е с аз ожнасгь принятия рснюний е 3 Освавы теории вбввружевьв и различения сигнаевв зе(в1Н>) и,(ио...,гг,(Н>) /,(в) =- ' )-ж(.~ „),(й,...,.,~н,) (3 27) и сравнивать его с лвумя порогами: верхним А и нижним В (рис. 3.3).
Если отношение 1(ц) превышает порог А (вектор ц попалаег в область П,), то принимается решение в пользу гипотезы Нь Если отношение 1(и) окюывается меньше порога В (вектор в попадает а обласп Нс), ю гзринимается репюнис в пользу гипотезы Пс Наконец, если отношение 1(ц) удовлетворяет неравенству В < 1(п) < А 126 пользу одной из гипотез. Процесс обнарузкепия заканчивается на том шаге, иа когоРом пРииимаетсл Решение ус или Уъ При последовательной процедуре обнаружения механизм принятия решения можно прелставить следующим обрюом.
Пространство принимаемых сигналов Н на каждом шаге наблюдения разбивается на три области: Юе, Нь Нг. Если анализируемая выборка пои, ..., и, на 1 м шаге наблюдения попадет в допустимую область Пе, то принимается решение уе об отсутствии сигнала. Если выборка попадает в критическую область Пь то выносится решение 7, о иазичии сигнала. Наконец, если она попадет в область 11ъ та принимается решение у, о продолжении наблюдения. Эффективность последоватшшной процедуры обнаружения зависит от способа разбиения пространства 11 на области Юм Н, и Вн Так же, как и при рассмотрении непоследовательных процедур, возникает вопрос: как наилучшим образом произвести разбиение пространспи Ну Ответ на зтот вопрос зависит от того, какой смысл вкладывается в понятие оптимальности процедуры На практике часто одной из важнейших характеристик решающего правила является средняя цена наблюдений, необходимых для принятия репзеиия при обеспечении заданных условных вероятностей Р;, и р „.
Учитывая, что цена наблюдений пропорциональна длительности наблюдений, оптимальной пРи заданных веРоатностах Ре, и Р„„бУдет пРоцедУРа, которая обеспечивает минимальную среднюю продолжительность наблюдений, или, что то же самое, минимальный средний объем ьй выборки принимаемого сигнала. Л. Вальдом совмесжю с Дж. Вольфовитцсм в работе [27] было доказано, чзо для обеспечения минимального среднего размера выборки при условных вероятностях ложного обнаружения и пропуска сигнала, ие превосходящих соответственно значений Г„и р„„, необходимо на каждом гзм шаге, г = 1, 2, ..., вычисля з ь отнопзенис правдоподобия 33 Ог! ру лшк лфля аея о ун а ! с 1 ! ! я 5 а 7 а 9 г(дэ Р с.33.
!!ос еющш, я роцелура ~ рине их релюжя (» Н,) 1(о)= ' - А, ж(и(Нв ! или э (н)Н,) - Аи(н(Н,). (3 28) Псокольку условие (3.28) справеддива для любой выборки, попадающей в область !1,, обе части неравенства (3.28) можно проннгецэировать по этой области ~~ (н!Н)Аи ж А /г (нН )Ан е, (3 29) Левая ас~ь неравенства(3.29) есть не что иное, как вероятность правильного обпвруягения В = !†р, „, а интегргш в правои эасти неравенства (3 29) равен Рят Ст!едсватотьно, получаем р„.
- А(:„, 127 (вектор и попадает в область Ст), та принимается решение о прололлгснии наблюдения Процесс обнаруж р р ерес ен функции 1(и) однопэ нэ порогов Па рис 3 3 в привеленнык примерах процесс обнаруксния заканчивается принятием пят~ать Н, (пример 1) и Н„ (пример 2) сощвею~венно на девятом н пятом шагах Пороги А и В находят я по латанным веров~настям ошибок Ея, и р„в на основе сяедующих рассуждении Запишем услонне принятия решения в пользу гипотезы Н, 3 Нснсем теории обнаруаее ннр и ро:риненин сигнанон или Рррр Р А< — — "=— р,, р;„ (3.30) Неравенство (3.30) является оценкой сверху порога А.
Анаэогично можно получить оценку снизу для порога В. Запишем условие принятия решения в пользу гипотезы Ни: !(и)=- ' < В, рр(и)Н,) ~(рр)Н ) ж(и )Н, ) < Ви (и !Нр). (3.3 ! ) Неравенство (3.31) справедливо для любой выборки и, попадающей в область !!р, поэтому обе части неравенства (3.31) можно проинтегрировать по области ()е'- (и (и)Н>)сШ < В (ю (ю~Нр)рйр. (3.32) сн Рир < В(! !' ) или ) Рр 1 — Р 1 — Р„, 1 — Р„, (3.33) Неравенство (3.33) является оценкой снизу порога В.
Оценки решающих порогов (3.30) и (3.33) определяются только заданными вероятностями Р„н рн и и не зависят от вида распределений и(и~Н,) и и(и)Нр). В случае близких гипотез, т, е, когда распределения и(и)Н,) н н(и(Не) мало отличаются друг от друга, что имеет место при малых отношениях снгнай — шум, неравенства (3.30) и (3.33) переходят в приближенные равенства Р, (3.34) !2Я Леви часть неравенства (3.32) являшся вероятностью пропуска сигнала р„, а интеграл в правой части — вероятностью правильного необнаружения р„=! — Ре о Поэтому Прн независимых элементах выборки вместо отношения правдоподобия удобно пальзовкгься его логарифмом При зтам выражение (3.27) можно переписать в еидс 1п)(и) =2, =2 г, = 2 Ьз м(и (Н,) н(и (Нс) (3.35) Верхний и нижний пороги берутся равными а —.
1и А н Ь вЂ” )пй соответственно.Напракти еус а е еро о ш бо р ают0,5и пора н удовл«творяют неравенствам а>0, Ьсб Звметим, чю прн докаттсльсгве оптилгальности рлссмагривасмой процелуры в работе (27( предполапиюсь, по гиггоюзы И, и Н, явлжотая простым, ныборка ип ..., и, — нсзавиаимой и однородной, т е. н(ин,,.,и(Н,) =Пж(иь~(Нг), мщг(Н,) = ж(и(Н,), 8=1,,г, г=О 1, гы ожидания числа шагов имеют вид =М(т(Н ) = М(2 т, =М(т(Н,) = М(2 (Н,()М(зл(Н,(, (3.36) (3 37) где М (хл Н,( = Уг — ( йл ' ж(гл(Н Рйл, 2 =0,1, (3 38) 129 — пззг наблюдаемое распределение точно совпадает с ожидаеыыми для гипотезы Е)с нлн Нь л перескоком решающей статистики 1,(н) или йзЦи) через пороги можно пренебречь (гипотезы Не н Н, близки). При нарушении одного ити неюкатьких из указанных прешю.юхгений понте онтимаш ной последовательной процедуры усложняется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
