В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 99
Текст из файла (страница 99)
При стационарном воздействии на любую физическую систему с затуханием, имеющую конечное число устойчивых состояний, по истечении времени, определяемого наибольшей постоянной времени системы, в системе установится стационарный процесс, характеристики которого не зависят от начального состояния системы. В настоящее время в связи с развитием цифровой техники часто используют описание процессов в дискретном времени. Проиллюстрируем процедуру перехода от непрерывного времени к дискретному на примере линейного дифференциального уравнения с(л/г(2 = — сел + и (2), (6.3.26) где л (2) — по-прежнему нормальный белый шум с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией М (п (11) п (1,)) =' (Ю!2) 6 ((, — (,).
(5,3,27) Уравнение (26) полностью аналогично (12), но изменены обозначения: $ (1) — Х (1), ип, (1) — п (1). Согласно формуле (!8) дисперсия стационарного процесса ). (1) теперь равна Ок = М!4и, т. е. Л' = 4аО„, Будем брать отсчеты дискретного времени 1„ т = О, 1, 2, ... через постоянный интервал времени: г,з, — 1, = Л = сопя(. Принимая значение Х, , = Х (1„ ,) за начальное, найдем ), = — ).(1,). Согласно решению (13) Х(1,.)=к(1,,)е "(' ' — ')+ ~ е "(" ')п(т)дт=- и — ! ь = ).
(1 ~) е — ~а+ ~ е — ч'и (г' — з) дз. 0 Этот результат можно записать в виде разностного уравнения ) ), =-рк, 1+и„ (5.3.28) где Ь р = е - ', и, = (г е — "' и (1, — з) с(з. о Так как случайные величины п„получены в результате интегрирования гауссовского белого шума на неперекрывающихся интервалах времени, то они образуют последовательность независимых гауссовских случайных величин', которую принято называть дискретным белым шумом. Каждая из величин распределена нормально с нулевым математическим ожиданием и дисперсией Р,=-~ ~ е — ("тп~ — 8(з,— з ) дз, дз,= — (1 — е-'"д). о о Видно, что дисперсия дискретного белого шума ограничена.
При малых Л (иЛ « 1) справедливы приближенные равенства 1 — аЛ, О, УЛ!2. (5.3.29) Эти приближенные соотношения останутся справедливыми и для переменного коэффициента а((), если только он существенно не изменяется на интервале длительностью Л. В этом случае их следует записать К вЂ” 1 ~ 1 ич — 1 Л )-1ю ~ Л(Л(2. (5.3.30) Дискретный случайный процесс Л, можно сформировать из дискретного белого шума п, с помощью дискретного формирующего фильтра, приведенного на рис.
5.7, который является аналогом интегрирующего фильтра РС в случае непрерывного времени (рис. 5.5). Стационарный случайный процесс $ (1) с корреляционной функцией (18) и спектральной плотностью (20) часто используется в качестве модели некоторых простейших сообщений в системах передачи информации. Приведем еще два примера случайных сообщений. 504 Пусть стационарный процесс я (1) с корреляционной функцией (18) воздействует на интегрирующую цепь )7дСд с постоянной времени 8 = 11)7дСд. Процесс д) (1) на выходе этой цепи можно сформировать путем пропускания белого шума пе (1) через две последовательно соединенные (без учета взаимной реакции) интегрирующие )дС-цепи с постоянными времени 1ды и 1д[) (рис.
5.8, а). Найдем корреляционную функцию процесса д) (1) в стационарном состоянии. На основании формулы (5.2.8) имеем Рч (1д, 1з) =[)з Рй е а11' Ьд'1 ~ ~ ехр [[) (ад+и,) — сд [нз — ад [) Ыид д(из. 'о 'о 01 и) 00(ар 0,0 О,б 00(йа) 04(0) 0,0 0,0 0,4 0,7 0,4 0,7 О 0,0 1,0 1,0 г,рш ~ О 7 4 0 В го Рнс. 5.8. Схемы формирования из белого шума случайных процессов ц(1) (а) и их относительные спектральные плотности (б) При вычислении интеграла целесообразно сделать замену переменной из согласно равенству и' — -- нз — ид. При этом прямоугольная область интегрирования по переменным ид, иа перейдет в параллелограмм для новых переменных ид, и' (рис. 5.9).
Учитывая знак переменной и' в каждой из заштрихованных подобластей, можем записать Гдд — ад Д (1д, 1,) = 8з Р е 8 11' 4 ~'1 )г еэйа' д(ид )г е(" а) " д(и' + д 3 о е о ()Рь [' е10+а) а' 1н ° ~ е [(, ян) — р (1,-1-1,) — 0 (дд — 11 [Р— ыа [) [ — а (1,— 1~1 — ад» вЂ” 81, — ад,— 01~)[ Если положить здесь 1з — — 1д+ т и устремить затем 1д -ь оо, то с учетом четности корреляционной функции в стационарном состоянии получим Рч ы[) )дч(т) [['е '1 — е Р ), Р = Рй -— — 4(ы+[)) ~ (5.3.3!) Такой корреляционной функции соответствует спектральная плотность 1 1 о (Ю) =, йдз (5.3.32) '4 [1+(ш/ы) ) [1+(м)[))Ч иг 32 -г -/ () у 3,52 Рис. 5.!О.
Нормированные корреля- ционные функции Рис. 5.9. Области интегрирова- ния По формуле (5.2.21)с учетом (!8) находим взаимную корреляционную функцию между входным процессом $ (Г), воздействующим иа интегрирующую цепь /ггСг, и процессом т) (/+ т) на выходе этой цепи в стационарном состоянии )гйч (т) =-) Ь (и) /с„(т — и) Ии = [)Пй ) ехр ( — [)и — гх [т — и [) Ии. о о Выполнив вычисления, получим — ат 2к — ал) ' (-"- — -") р — а а+р /гйч (т) =— (5.3.34) е"т, г С О.
сг+ [) При гт =- р это выражение упрощается: (01 /2) (1+2ят) ехр ( — ат), г ) О, /г (т) = (В /2 ) ехр (ыт), т ( О. (5.3.35) Для этого частного случая на рис. 5.10 приведен графин нормированной взаим- ной корреляционной функции А'йч (т) [ (1+2ат) е..Р ( — ат)/)/2, т ) О, г „(т)= (5 .3,35) )г/1 О ехр (сгт)/)/2г, г ~ О, Этот результат легко получить по формуле (5.2.19). При и = р выражения (31) и (32) принимают вид Л„(т) =Пч (! +гх [ т [) е "!'1, Пч = муз/8; оч (ге) =0,5Уо [1+(ю/я)з) (5.3.33) На рис. 5.8, б изображен график нормированной спектральной плотности Вч ( )/Вч пмх=ЯЧ ( )/Яп (О) =[1+( / ) ) Ширина спектральной плотности процесса т)(1) па уровне 0,5 от максимального значения Лю 0,64а.
Для сравнения на рисунке изображены также нормированные корреляйиоииые функции стационарных процессов $ (1) и Ч (1), которые легко находятся из формул (18) и (33). Наглядно видно, что поведение нормированной взаимной корреляционной функции двух стационарно связанных процессов существенно отличается от характера нормированных корреляционных функций самих процессов.
Другие примеры взаимных корреляционных функций будут приведены в 4 5.6. Если процесс я (1) воздействует на дифференцпрующую цепочку. ЙтСх (рнс. 5.8, о), то прн тех же условиях для корреляционной функции процесса ч (1) на выходе двух последовательно соединенных цепочек (без учета взаимной реакции), первая из которых является интегрирующей, а вторая — дифференцирующей, получим )2ч ао )с (т) = ( — )т1 [) — 81 1) р ч = и+5 ие —. е, „= о. Лго (5.3.
37) Соответствующая спектральная плотность равна 1 (ю1[))' 2 11+(ы!и)о! 11+МР)Ч В частном случае и =- р зти формулы упрощаются: )с (т).=ГО„(1 — и~ т[)е "1 1, 71, =-а Уо!8; 1 (ы) = — )Уо (ы7а)о 11+(ы/и)о) 2 (5.3. 39) На рис. 5.8, б приведен график относительной спектральной плотности о (О) о (Оъ) 4 (ю(а)о Зч (и) 11+ (ю)а)Ч Ширина спектральной плотности на уровне 0,5 от максимального значения аы ск 2и.
Пример 5.3.3. Корреляционная функция стационарных узкополосных процессов. Линейные радиотехнические системы, работающие на высоких и.промежуточных частотах (например, усилители высокой и промежуточной частоты), как правило, являются узкополосными. При воздействии на такие системы белого шума процесс на выходе согласно формуле (5.2.19) оказывается узкополосным. При этом под стационарным узкополосным процессом по-прежнему (с. 145) понимается случайный процесс, спектральная плотность которого сосредоточена в сравнительно узкой полосе охг около некоторой центральной частоты 7„ причем 507 д© «©о (5.3.40) Под охг можно понимать эффективную ширину односторонней спектральной плотности оч (7) или ширину на уровне 0,5 от максимального значения (рис.
5.11). Покажем, что корреляционную функцию стационарного узкополосного случайного процесса $ (г) всегда можно представить в виде Рй (т) = Вйр (т) соз [юот + у (с)), (5.3.41) где р (т) и у (т) — медленно изменяющиеся функции по сравнению с соз вот. г'й Рнс. 5 1И Спектральнап плотность уакополвснмх процессов Если в формуле (2.3.13) перейти к новой переменной т =-1 — 1„ то можно написать Ре(т)= ~ 3+(~)соз(2п~т) 4= ~ Я+Да+т)сов 2п()в+т)тс(т. в — ь Используя обозначения Рз р, (с) = ) о" ((в+ т) соз (2птт) с(т, — ь (5.3.42) Рера(т)=- ~ ~+Ь+т)з(п(2птт)сМ имеем Яз (т) =- Рз (р, (т) соз (2п1вт) — р, (т) ейп (2пДвт)) = =- Ртр (т) соз (етвт + у (с)), (5.3.43) где р (т) = (р,' (т) + р,' (т))'" 1яу (т) = р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
