В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 103
Текст из файла (страница 103)
В качестве оценки корреляционной функции на практике часто применяют два выражения: г — 1х ( Йг(т)= — ~ Ео (/) Бо (/+[т[) б/, 0([т[ ( Т, (5.4.42) о г — ~х) /Сг(т) = ~ $о (/) $о (/+[с [) б/, 0 ( [т [ ( Т, (5,4.43) о где со (г) = в (г) то — центрированная реализация процесса. Введенные оценки в литературе часто называют выборочными или кратковременными корреляционными ц/ункциями. По известным правилам находим математические ожидания оценок (42) и (43): г — ~х~ ( (1 — [т[Т-') И~ (т),6 о- [т[< Т, [т[> Т, (5.4.44) 627 т — !с! М Йт(т)) = ( Йз(!) Й=1 ~ ' ' (5.4,45) Видно, что ест (т) является несмещенной оценкой корреляционной функции Ро (т), в то время как Кт (т) только асимптотически несмещенная оценка при Т -в- оо.
Однако смещенная оценка (42) имеет меньшую полную среднюю квадратическую ошибку (см. рис. 5.22), Вычислим дисперсию оценки (42): Рис. 5.2!. Области иитегрироваиия В ((от (т)) = М (()от (т) — М Рт (т)))') = т — с а =и (( ' )" (ь д с о ~о-. а, ~о! ж о т — с т — и ! с — 1ьоаьо,.~ ~ — я,оыи,ооьа,+.!— о о т — гт — о -и, оа а, аа~ = — ', ( )" ю а оо а о,-:- е ь оа ь я ~-.ив о о — К!в (т)) с((, гуа. Дальнейшая конкретизация этого выражения возможна лишь для частных видов стационарных случайных процессов, для которых известно выражение четырехмерной центральной моментной функции четвертого порядка. В частности, для гауссовских стационарных процессов согласно выражению (2.5.22) можно написать т — я т — с 0Р.()) — „~ ~ (йо((, (,)+Я!((,— (,+ ) х о о ~ )~$ ("а ~1 т)) с("1 с(~2' Если здесь перейти к новым переменным г =- !и — тм з= 1т (рис.
5.21) и выполнить интегрирование по з, то получим 528 0 (Рты) = Ь ) (Рь Я+Ръ ((+т) Рь (( )) г(' у -<г-т> г — т т — т г — ~ — ! х ~ ~Ь+ — ~ (Р~(()+Рь((+т) Рь(( — т)) Й ~ Й= -с о о т — с — Г 11 — ) (Рь (()+ Рь (.'+т) Рь (У вЂ” т)) й. (5.4.46) -<г-ю Учитывая смещение оценки (44), полная средняя квадратическая ошибка смещенной оценки Рг (т) будет определяться формулой М ([Рг(г) — Рь (г))а) 0 (Рг (т)) +(т/Т)' Р~ (т). (5.4.47) Для несмещенной оценки Рг (т) результат, аналогичный (46), выгля- дит так: Т вЂ” с — <г — ~] х (Рь (Г)+ Рь ((+ г) Рь (г' — т)) г(г. (5.4.48) При очень больших Т и конечных т вместо точных формул (46) и (48) можно пользоваться приближенным асимптотическим выражением 0 (Рг (т)) — 0 (Рг (т)) = — ( (Рь (() + Рь ((+ т) Рв (( — г)) г((. т (5.4.49) Из формул (44), (45) и (49) следует, что при больших Т математические ожидания оценок Рг (т) и Рг (т) равны истинной корреляционной функции Рь (т), а их дисперсии пропорциональны ИТ.
Следовательно, если подынтегральные выражения в (46) и (48) являются абсолютно интегрируемыми функциями в интервале ( — оо, оо), то рассматриваемые две оценки являются асимптотически состоятельными, а процесс $ (1) эргодическим относительно корреляционной функции. При выполнении этого условия корреляционную функцию Р~ (т) можно оценить с произвольно малой ошибкой по единственной достаточно длинной реализации стационарного процесса. Применительно к гауссовскому стационарному процессу с корреляционными функциями Рт (т) = 0ь ехр ( — сс 1т~), Рг (т) = Рг ехр ( — р2т~) 529 вычисления по формуле (46) приводят к следующим результатам: 2е —" < ' — "> + Л (1 — х) — 1+ е — '" ~Л (1 — 2х)— — 1+ Ла х ~! — — х)~, О < х < 1/2, е — ьп "!+Л(! — х) — 1+ — Л'е ' х 2 Х (1 — х'),1/2<х<1, 0 (йт(т)) =— 2В~ где Л = 2иТ, х = г/Т; 0 Яг(т)) =- — а (1+е — "'"'))(У л Л(1 — х) х Х ~Ф(Р'2 Л (1 х)) — — 1!+ — (е-ып-"И вЂ” 1) ~, 21 2 г-т Кгва(т)= — ~ 5о(/) т(0(1+т) й, (5.4.5О) о то дисперсия такой оценки в случае совместно гауссовских процессов $, (/,) и т), (/,) будет определяться формулой т — т 0Ягь (т)) ~ ~! )Я~ЯИ (/)+ — (г — к! + КЬч (1+ с) Я~я (/ — т)) й.
(5.4.51) До сих пор рассматривался случай, когда математическое ожидание процесса тт точно известно. Если математическое ожидание заранее неизвестно и его оценка производится по формуле (1), то в полученные формулы нужно ввести исправления. Теперь за оценку корреляционной функции вместо (42) целесообразно принять выражение 530 где Л = )~'2 5Т; х = т/Т; Ф (х) — интеграл вероятности. Аналогичный результат для несмещенных оценок К~ (т) получается заменой в этих выражениях перед скобками Т на Т вЂ” т, т. е.
Л на Л (1 — х). Результаты расчетов дисперсий оценок для Л = 5 в зависимости от т представлены на рис. 5.22. Там же для экспоненциальной корреляционной функции изображена штриховая кривая полной среднеквадратической погрешности (47). Видно, что полная средняя квадратическая ошибка смещенной оценки всюду меньше дисперсии несмещенной оценки. При т = О они совпадают, а при т -~- Т дисперсия смещенной оценки стремится к нулю, в то время как дисперсия несмещенной оценки стремится к бесконечности. Это свойство несмещенной оценки Йг (т) делает ее неудобной.
Если за оценку взаимной корреляционной функции двух стационарно связанных процессов в, (/) и т), (1+ т) принять выражение п,п пп Рис. 5.22. Относителъные дисперсии смещенных и несмещенных оценок корреляционной функции: — ой е о!е1, нот=о; — — ой е В ',т е Рт=к п,г )]г) и п,г „04 п,п пд х=т/т т-!е! д' (т) = ! ~ [р,(/) — тт] Я (/+т) — /пт] /[/, (5 4.52) о где /лт определено формулой (1). Запишем это выражеение иначе: т — гп Кт (т) = — ~ [к (/) — тк — (/пт — тй )] [$ (/+т) — тй— 1 Т о т — !х! — (тт — те)] /(1 — = ! ~~ К(/) — тй] В(/+т) — ]с[/+ 1 — [) Х [т[ т т о т — !е! х (тт — те)' — (тт — те) —.
) Д(/)+$(г+ с) — 2тй] с(/. Т о Если для сравнительно небольших т можно приближенно принять т — ! с! т — !1е ! — У $ (() /(1 — П! [$ (т+ ) с[/ Ы(1 — — ~ /пт, 1 Г! 1 Г ./ [т] 1 т П;,;е!, т — т! то предыдущее выражение упрощается: й;. (и) = Йт,(т) — [1 — — ~ (ат — лтк )'.'! (5.4.53) ]т]1 Отсюда с учетом формулы,(44) следует, что М Рт (т)) = ~~1 — ) ]~В (г) — ~~1 — ) 0 (и!т), (5.4.54) где 0 (тт) определено формулой (3). Следовательно, центрирование реализации при помощи выборочного среднего значения дополнительно увеличивает смещение оценки корреляционной функции.
При оценке корреляционной функции по временным отсчетам $„ $„..., з„вместо (42) нужно пользоваться выражением и — /г и )7,®= — '~ (2;:~) (1;+.— $,~= — '~~ой=0,1,..., — 1. ю =! ю=1 (5.4,55) Приближенное выражение дисперсии такой оценки равно Р Я1 (л)) ж — 2,' Ят (/)+ Я1 (1+юг) Рь (1 — я)). (5.4.56) !=в Спектральная плотность (22, 173 — 1831 Хотя согласно формулам Винера — Хинчина корреляционная функция и спектральная плотность содержат одинаковую информацию о стационарном случайном процессе, сложность нх экспериментального определения оказывается разной. Лля низкочастотных случайных процессов, как правило, практически легче создать коррелометры, позволяющие измерить корреляционную функцию.
Однако в радиотехнических приложениях часто приходится иметь дело с высокочастотными флуктуационными токами и напряжениями. При разработке коррелометров для подобных процессов возникают практические затруднения, связанные с получением большого числа фиксированных временных задержек т при небольших разностях Лт между ними. В таких случаях предпочтительнее измерять при помощи спектроанализаторов спектральную плотность случайного процесса, по которой можно однозначно определить корреляционную функцию.
Рассмотрим кратко проблему экспериментальной оценки спектральной плотности Вь (а) по единственной усеченной реализации стационарного случайного процесса длительностью Т. При этом будем полагать математическое ожидание процесса равным нулю и спектральную плотность 51 (ы) непрерывной и плавно изменяющейся функцией частоты. й.-; Представляется естественным следующий способ оценки спектральной плотности. Для реализации случайного процесса длительностью Т (с интегрируемым квадратом) всегда можно записать пару преобразований Фурье: еьо (() =. — 1 Рг (1 в) еим Йэ, 2п,) Рт (1 в) = ) $, (1) е=' Й = ) $, (1) соз а 1Й вЂ” 1 ~ $, Я з(п вЫ. (5.4.57) о о о 532 равна (1) а1 = — ( ~ (Г) г(( — ( Рт () го) Х т д 2н 3 о т — ~ г т (1 в) Йо ~ $, (1) енм Й =- 2пТ Р= — ) ьо т, о Х е'"'ив= где т т Ьт(а)= 1 ( 11 $о(г) $о(з) е — 1" 1'-'1 Ыз= 1 !Рт()в)~о= т,),) Т о о т о — ~ $о (Г) соз вЫ + — ~~ $о(() з(п вЫ, (5.4.58) о Введенную функцию Бт (в) в литературе называют по-разному: выборочная спектральная плотность, периодограмма и др.
Она дает разложение по частоте мощности реализации процесса длительностью Т. Отметим, что первое равенство в (58) можно представить в более привычном виде. Для этого в двойном интеграле сделаем замену переменных г = г — з, г' = — з. Тогда т т Ят (в) = — ( ~ $ (1) к (з) е — 1'> 1' — '> Йдз = ~ е — 1" ' до х т1 о о о т — т о т х — ( $((') $(('+т) Й'+ ( е — 1"'ат — ( $(Г) $(1'+ г) Й'= Т .) Т о — т т т — к =~ е — 1"' дт — ~ $(1') а(1'+т) й' + Т о о о т-1- о + ~ Š— 1н,(т — ( $(1") $(1" — т) Ф'-' Т т о или иначе Ят(оо) = ) Йт(т) е — 1"' Нт, — оо ( е ( оо, (5.4.59) т 333 Если под $о (() понимать флюктуационный ток или напряжение, то средняя мощность, выделяемая на единичном сопротивлении потерь, М (Бт (ОО)) = — ( ~ КЬ (à — З) Е-1э Н вЂ” П НЫЗ.
т ) о о Перейдем от з к новой переменной т = 1 — з. Получим т т о т+о М (Бт(оо)) = — ~ ~ йь (т) е — ~ 'дат + — ~ ~ )г- (т) е — 1"'гИт = г г 1 т,) .) 'т Ь о -т о т о 1 Г = — ) (Т вЂ” т) Йь (т) е — «о'г(т+ — ~ (Т+т) йь (т) е — ~"'о(т= ! т,) т — т = ~ ~1 — — ~йь(г) е — ! 'г(т= ) Кт(т) е — 1"'г(т, (5.4.61) ~т( т где Ят (т) = ш (т) РЬ (т), 1 — !т(Т ', (т((Т, О, )т()Т, Из (61) следует, что если (т( Кз (т) Йо ( оо, (5.4.63) где Кт (т) — выборочная корреляционная функция (42).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
