В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Вычисления, приведшие к формуле (17), т. е. в отсутствие стробирования, можно выполнить для других линейных фильтров. Обозначим через р отношение максимального пикового значения сигнал-шум по напряжению на выходе рассматриваемого линейного фильтра с комплексной частотной характеристикой К Оо1) к максимально возможному значению этой же величины на выходе согласованного фильтра, равной )'2Е2'г)э: р =1з(гэ)1(о„- и 2Е11чэ ° (5.5.21) Здесь Š— энергия входного сигнала; з ((э) — выходной сигнал в момент времени г„соответствующий максимальному пику; и-'„— дисперсия стационарного выходного шума.
Если Е, () со) — спектр входного сигнала, то Е = ~ зэ (1) с(( = — ~ ~ Е, (1 со) ~э с(со, 1 г 2и,) з ((е) = — ( Е, ()со) К ()со) еии Иоэ, 2н 3 (5.5.22) (5.5.23) о-'= — ' — ' 1" ~К()м)(э«м 2 2п (5.5.24) Подставив эти выражения в (21), получим Вычисления по этой формуле приводят к следующим результатам 1184). Если прямоугольный радиоимпульс воздействует на фильтр с идеальной прямоугольной амплитудно-частотной характеристикой, то 2 (дг )-1у231(и дт ) (5.5.26) где д7 — ширина полосы пропускания фильтра, Я! (х) — интегральный синус.
Результаты вычислений по этой формуле представлены на рис.'5.30 (кривая 1). Величина р имеет максимум р„эх ~ 0,91 при Ц = 1,37йа. (5.5.27) Расчетам по формуле (17) для колебательного контура соответствует кривая 2. Если прямоугольный радиоимпульс воздействует на фильтр 551 ,=/1 т.э.1хс.1." ~/~ х 11кэ 12~1 ) ~Е,()то)!'г(оэ х — 1/2 (5.5.25) Таблица 5.5 Основные характеристики квазноптимальных фильтров З1ртрр Радрровьрпульс Фальта ямах Прямоугольный Прямоугольный Гауссовский Гауссовский Прямоугольный Прямоугольный Идеально-прямоугольный Гауссовский Идеально-прямоугольный Гауссовский Одиночный резонансный контур Двухкаскадный резонансный усили- тель Пятикаскадиый резонансный усили- тель 1,37 0,72 0,72 0,63 0,40 0,91 0,94 0,94 1,0 0,90 0,61 0,93 0,67 0,94 Прямоугольный с гауссовской резонансной кривой К (1 оз) =- К, ехр ~ — 1,4 ( '") — ) от1; ~, (5.5.28) р — -2 ц'( " ) $ л ( — '") — — '~, раа.ррр то р =- ып (пЛг тв)/лЛг т„.
(5.5.30) где ЛГ' — ширина полосы фильтра на уровне 0,5 по мощности; Ф (х)— интеграл вероятности. Результаты вычислений по формуле (29) изображены кривой 3. При ЛГт„= 0,72 величина р имеет максимальное значение р „, = 0,94. Из графиков рис. 5.30 следует два вывода: 1) при оптимальной полосе пропускания Л7е максимальное значение р ., заключено между 0,9 и 1; 2) в окрестности максимума кривые изменяются очень медленно, т. е. максимум выражен не резко. В табл. 5.5 для нескольких пар радиоимпульс — фильтр указаны значения р „и приведены оптимальные значения Лгзт„, при которых достигается р „,.
В радиоприемных устройствах супергетеродинного типа комплексная частотная характеристика усилителя промежуточной частоты в принципе должна совпадать с комплексной частотной характеристикой квазиоптимального фильтра. Однако на практике полосу пропускания усилителя промежуточной частоты (УПЧ) выбирают в 1,5 — 2 раза больше оптимальной. Главная причина этого — нестабильность частоты принимаемого сигнала и частоты гетеродина приемника. Принципиальную целесообразность расширения полосы пропускания УПЧ при наличии расстройки Л вЂ” Ге — Ге между частотой радио- импУльса Гз и центРальной частотой фильтРа 7'; можно УЯснить на следующем частном примере. Пусть прямоугольный радиоимпульс (10) воздействует на согласованный фильтр 170], расстроенный относительно частоты радиоимпульса на величину Л,.
В данном случае отношение (25) равно На рис. 5.3! приведена зависимость р от Л т„(кривая 1), Можно показать, что при воздействии прямоугольного радиоимпульса на расстроенный колебательный контур с комплексной частотной характеристикой К (1 оз) = К,, ш,' = 2!у";, +1 (ш — ',) с праведлива формула — ят ! -зат„ 3!/3 2 '" — ~Л~ (5531) (ити)з+ (2яДу ти)' В отсутствие расстройки (Лг — — 0) эта формула переходит в (4). аа 04 Рис.
5.31. Уменьшение отношения сигнал-шум в зависимости от иостоянной расстройки Рис. 5.30. Относительное уменьшение отношения сигнал-шум на выходе квазиоитимальных фильтров Результаты расчетов по формуле (31) для двух полос пропускания контура: Л~ = Л(а = 0,4/т„(кривая 2) и Л(" == 2Л(е (кривая 3), представлены на рис. 5.31. Из графиков видно, что при значениях Аут„) ) 0,6 отношение сигнал-щум на выходе фильтра с полосой пропускания Л)". = 2Л(".а больше, чем в двух других случаях, имеющих оптимальные полосы пропускания.
Если расстройка Лу медленно и случайным образом изменяется во времени по нормальному закону 1 / да р (Лу) = ехр оу )/2я ~, 2о(~ (5.5.32) то естественно интересоваться средними значениями: М(р)= ~ рр(Лу)с(Лу, М(р')= ~ рад(Лу)г(Лу. (5.5.33) Результаты численных расчетов величины М (р') для колебательного контура при нескольких значениях оут„приведены на рис. 5.32 и 5.33. Из графиков рис. 5.33 видно, что прй заданной величине аут„сущест- 553 зо 10 00 0,0 00 00 0,0 0 04 00 (05%а'гн О ад ! !д я гг з йу л та 0,5 0,5 0,4 п,г 0 2 4 б 2рг пути ПД 0,5 П,б аг луг„ Рис. 5,32. Уменьшение'отношения сигнал-шум при случайной расстройке ЬС т — согласованный $нльтр; т н  — колебательныа контур Ы -Е,Е/та н 0,8/та соответственно Рис, 5.33. Влияние полосыпропускания на отношение сигнал-шум при случайной рас- стройие вует свое оптимальное значение саут„, при котором М (р') имеет максимУм.
С Увеличением оп оптимальное значение стучи меДленно возрастает, а максимальное значение М(р') резко уменьшается. 5.6. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА. ' АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ Пусть задан случайный процесс 5 (г) с математическим ожиданием тй (г) и корреляционной функцией )че (г„гв).
Нужно, найти математическое ожидание тй (г) и коРРелЯционнУю фУнкцию Яй (г„гв) для производной 5' (г) = (1 = 1ллп. ~ ( + ) ~ 1 . (5.6.1) пг и о аг Конкретным примером сформулированной задачи может служить определение математического ожидания и корреляционной функции напряжения на индуктивности по известным характеристикам флюктуационного тока, протекающего через индуктивность.
Бели бы предел справа в выражении (1) существовал для всех реализаций случайного процесса 5 (г), то 5' (г) была бы производной в обычном смыйле. Однако такое допущение является слишком ограничительным. Будем предполагать, что производная (1) существует в среднеквадратическом смысле. Говорят, что случайный процесс 5 (г) имеет среднеквадратическую производную в точке г, если можно найти такой другой процесс 5' (г), что выполняется соотношение 554 !.1.ш. М 11 ~ (+ 1 ~ () — $' (1)~ ~=0. (5.6.2) ь).
о Ц лг Допуская пока существование производной, для достаточно малого, но конечного отрезка времени ог можем написать приближенное ра- венство тз (г) = М ($'(/)) М ~ ~ ( + лс и!'' = — [ть (/+ М) — ль (/)). ' лг) Возможность такой записи объясняется тем, что математическое ожидание является не случайной, а детерминированной функцией времени и к нему применимы все операции обычного математического анализа. В результате перехода к пределу при /11-»- 0 приближенное равенство перейдет в точное: глз (/) = ать (1)/й.
(5.6.3) Следовательно, математическое ожидание производной от случайной функции равно производной от ее математического ожидания. Иначе говоря, операции дифференцирования и математического ожидания можно менять местами. Получим правило вычисления корреляционной функции производной случайного процесса. Рассмотрим сначала подробно случай стационарного в широком смысле случайного процесса с нулевым математическим ожиданием (тз — — 0) и корреляционной функцией Д~ (т). При нахождении корреляционной функций для производной возникает следующее затруднение.
Процесс $' (1) в выражении (2) не задан. Поэтому нужно сначала ' выяснить условия существования такого процесса и лишь затем вычислять его характеристики. Для получения условий существования производной можно воспользоваться правилом Коши (5.1.10), согласно которому в данном случае дело сводится к проверке выполнимости соотношения 15, М~~~«+.Д-~() ~С~+.,>-~(~) =О. (.6., е,, е, 0 е~ зд Докажем, что необходимое и достаточное условие дифференцируемости стационарного процесса $ (1) в среднеквадратическом смысле заключается в том, чтобы корреляционная функция процесса Яз (т) при т = 0 имела производные до второго порядка включительно. Напомним, что корреляционная функция вещественного стационарного процесса является четной. Поэтому если она дифференцируема, то Р1 (О) = с%1 (т)/гй), „= 0 н, следовательно, для малых т РЬ (т) — РЗ(0) =Р" (О) т'/2, й" (0)= — ЯЬ (т) ~ .
(5.6.5) Если выполнить операции, указанные в фигурных скобках, затем почленно взять математические ожидания и учесть равенство (5), то. нетрудно убедиться в справедливости следующих соотношений: ! Г „ц+е) — ~ (2) 1'1 з (Ра (о) — д', ( )1 г ее е О Так как 5 Ие+г)--5 (22) 1 ~'~ (11 12+2) "иа (11 11) М ~ (11) то при г -е- 0 получим д Йи (~1, (2) = — 7ОО (~1, ~2) д~е (5.6.8) Аналогично из соотношения М ' ' ' ' — '5(12))- ! е (11+2) — О (111 1 '~$2 01+2 ~2) НЦО' (~1 ~21 е е при г — 0 следует д д' Ра' ()1 )2) = )21а а (~1 ~2) = — Ры' (11 )2) = )1'а (11, 12).
(5.6.9) д21 ее ' д11 д22 Ьаа я 0+21) е 0) $ (2+ге) О О) г, ее д (...1 — Хц ( 0 — х, ( — ее)+ ч, (о) 21 ЕŠ— я (г,) — Л~ (о) — К' (0). е, О 21 е, О е Воспользовавшись этими соотношениями, из (4) получим Б 0+21) ее О) ее (~+ ге) — ее (21 ~ ~ 2121 (0)+2)О (0) 0 21 ее ~е,,е, О Е что и завершает доказательство достаточности. Необходимость сформулированного условия (при существовании среднеквадратической производной $' (т) значение второй производной корреляционной функции Я;" (0) должно быть конечным) следует из (6), а также из определения (2) и последующих формул (8) и (9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
