В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 109
Текст из файла (страница 109)
В этом отношении особое положение занимают стационарные случайные процессы с аналитическими корреляционными функциями вида (5.3.49) и (5.3.53), а также некоторые другие процессы, которые нельзя получить при помощи физически осуществимых фильтров. Назовем случайный процесс я (1) аналитическим в отрезке [О, Т1, если почти все выборочные функции (реализации) процесса допускают аналитическое продолжение в отрезке [О, Т). Из аналитичности процесса $ (1) в окрестности точки 1, следует возможность представления выборочных функций этого процесса рядом Тейлора со случайными коэффициентами: ер ч~)~ рю(1) (~ ц) (5.6.38) е=о В дальнейшем будем предполагать, что математическое ожидание процесса М Я (1)) .== О. Аналитические случайные процессы появляются в ряде случаев приближения одних случайных процессов при помощи других, более простых. Так будет, например, при каноническом представлении процесса (разложении Карунена — Лоева), когда функции, по которым ведется разложение процесса, являются аналитическими и в качестве приближения к процессу рассматривается конечное число членов разложения.
Укажем другие примеры аналитических процессов. 1. Многочлен У-.й степени со случайными коэффициентами 5~ (1) =- ~ $~ ~~. л=о 2. Тригонометрический многочлен Аг-й степени со случайными коэффициентами Ен (г) = ~~ (Як 51п пг.+ ъ~л соз пг). л=о 3. Процесс я (1) с корреляционной функцией йц (1„1,) == Оз х Х ехр [ — а' (1,, — 1,)'1. 4. Процесс Ц (() с ограниченным спектром.
5. Процесс $ (~) с непрерывной корреляционной функцией, обладающей свойством Ке (1„1,) =- йц (г, + 1,). Если в первых двух примерах очевидно, что почти все выборочные функции являются аналитическими, то в остальных случаях положительный ответ дают приводимые ниже теоремы [185]. Отметим, что из аналитичности случайного процесса, вообще говоря, не следует аналитичность корреляционной функции. Можно построить примеры, подт- 564 верждающие этот факт.
Однако по корреляционной функции удается иногда определить аналитичность процесса. Достаточные условия аналитичности процесса дает следующая теорема. Теорема 1. Пусть корреляционная функция Р~ (1„1,) — аналитическая функция двух переменных в окрестности точки (1„1,). Тогда случайный процесс я (1) аналитичен в окрестности этой точки. При доказательстве воспользуемся установленным выше результатом (12): если корреляционная фукция И~ (1„1.,) имеет частные производные до порядка 2п включительно в некотором квадрате [а, 5[ х х [а, 5), то почти все выборочные функции процесса $ (1) дифференцируемы и раз на отрезке [а, 5[. В рассматриваемом случае й~ ((ь (,) бесконечно дифференцнруема при [1, — (,[(з и [1, — 1,[(з и, следовательно, почти все выборочные функции бесконечно днфференцируемы для [1 — 1,! ( з, Из условия аналитичности Ят (1„1,)следует, что для [1г (о[ ( з [1я ~о! ( з Р (! 1 = '~» Э+ ~Х~"'') .
(' — 'о)'(' — 'о)' (5639) и с=о в!ь эл 1 2 [а=и=6 Рассмотрим аналитические случайные процессы й в (!) чп еь!ы (! ) (~ о) а.= о Воспользовавшись выражением (38), можем написать м([Б(!) — ~„(!) [') = дгх де~ к ~=и+~ ~и=н=ц Здесь правая часть представляет собой остаточный член сходящегося ряда (39) и поэтому 1.!. ш, М ([ $ (!) — $„(1) [') = О. Следовательно, $ (!) = 1 !.ш. ~„ (1), (5.6.40) л-~ Можно показать, что !л.ш. $„(1) существует с вероятностью единица и поэтому для любого ! прн !1 — 1,[ ( з с вероятностью единица справедливо равенство й(1) == !Зли, ~„(1) — ')' $!ю (1з) ' .
(5,6 41) Л в! л=О Этим завершается доказательство. Из теоремы следует, что стационар- ные в широком смысле случайные процессы с корреляционными функ- циями (5.3.49) и (5.3.53) являются аналитическими. Применительно к гауссовским процессам условия, сформулирован- ные в теореме 1, являются не только достаточными, но и необходимыми, т, е. справедливо следующее утверждение [185[, Теорема 2. Для того чтобы гауссовский процесс был аналитическим в окрестности точки гы необходимо и достаточно, чтобы его корреляционная функция Рг (гь /») была аналитической в окрестности точки (г„г<).
Приведем без доказательства дополнительные сведения об аналитических случайных процессах. 1. Пусть $ (/), — со( (( со, — процесс с ограниченным спектром, т. е. процесс, двусторонняя спектральная плотность 34 (м) которого отлична от нуля только в диапазоне частот ( — ы„, м,). Тогда для почти всех выборочных функций процесса справедлива формула ~» 6 (' Вл ') Мп (« — <л) (5.6.42) со / <и — «к »=в где в» '- <в„— любое фиксированное число.
Для стационарных гауссовских процессов с ограниченной и непрерывной спектральной плотностью Яь (ы) формула (42) справедлива для почти всех выборочных функций и при в» = в»„. 2. Необходимым и достаточным условием того, чтобы аналитический процесс представлялся в виде ь(/)= ~ $»г', (5.6.4 3) »=о где $д — некоррелированные случайные коэффициенты, является требование, чтобы корреляционная функция была функцией произведения своих аргументов, т.
е. Рг (г„г») = Яг (/, Г»). Следовательно, процессы, допускающие разложения в ряды Тейлора с некоррелированными случайными коэффициентами,"нестационарны. Назовем процесс $ (г) с корреляционной функцией йг (/ь Г») нормируемым до стационарного, если процесс т) (/) = $ (г)/)/йг (г, г) стационарен в широком смысле. В классе аналитических случайных процессов, допускающих разложение в ряды Тейлора со случайными некоррелированными коэффициентами, нормируем до стационарного только процесс, имеющий корреляционную функцию Кг ((, '»») = О» ехр ( — аЧ,(»).
3. По сколь угодно малому участку выборочной функции аналитического процесса можно восстановить все значения выборочной функции, пользуясь методами аналитического продолжения. Поэтому, например, корреляционная функция и спектральная плотность эргодического аналитического стационарного процесса определяются по сколь угодно малому участку выборочной функции процесса. Выборочную функцию аналитического процесса можно с наперед заданной точностью как угодно далеко экстраполировать (прогнозировать) в «будущее» по небольшому участку <прошлой» реализации.
В этом смысле выборочные функции аналитических процессов подобны обычным детерминированным функциям. По-видимому, поэтому аналитические случайные процессы в л итературе часто называют также вырожденными или сингулярными. 666 Рассмотрим дна примера. (5.6.45) Пример 5.6.1. Пусть значение $ (1+ Л) дважды дифференцируемого стационарного случайного процесса $ (Г) с нулевым математическим' откидзнием и корреляционной функцией Яй (т) = Рй гй (т) аппроксимируется выражением (линейное приближение) .
$ (1+ а) ок Б (1) + а бил. (5.6.44) Покажем, что дисперсия ошибки такой аппроксимации е (1+ а) = В (1+ л) — В (1) — абй (1)(а приближенно равна 71 =М(ез (1+А)) ое (Лз(4) вч)7 (т))бтз( =о (5'646) Действительно, М ( '((+а)) =М(5 ((+а))+М(йз (1))+аз М ~~ — ) ~~ (7 б5(1) 1з1 1~.
)1 — 2м (5 (1+6) $ (1)) — 2лм ~$ (1-)-л) — ~+2ам ~ (1) пь(1) 1 ( т(с(1) 1 б( ) '( а Подставив сюда отдельные величины, с учетом формул (16) и (17) получим йй (т) г(з )(1 (т) о,=2 (к, (6) — П, (а))+га „~ — д т=о )т=з Для дважды дифференцируемого стационарного случайного процесса при малых Л справедливо приближенное равенство и, следовательно, ~Я1(Л) Г Н~ Яй (Л) ) аз 1 г(з Я (Л) ба ~ баз ~а а 81 ~ газ Воспользовавшись этими равенствами, приходим к выражению (46), Таким образом, если применим критерий относительной ошибки 11!Рй, то е линейным приближением (44) можно пользоваться для малых интервалов времени Л, удовлетворяющих неравенству а аз гй (т) — — « 1 (5.6.47) ~4 4 "тз т=з пример 5.6.2.
требуется определить производную процесса а (с), когда непосредственному наблюдению доступен процесс т) (1) = 5 (1) + ~ (1), (5.6.48) где ь (1) — шум. пусть в (1) и ь (г) — стационарные в широком смысле дифференцируемые случайные процессы с нулевыми математическими ожиданиями и известными корреляционными функциями 171 (т) и )11 (т). Рассмотрим следующий способ оценки производной: к' (1) = оз (1)/вг ск ац (1) + Ьт) (1 — Л), (5.6.49) где а — достаточно малая величина. Постоянные а и Ь подберем из условия минимума дисперсии ошибки и =М ((ь' (1) — г) (1) — ЬЧ (1 — Л))з) = — 171 (6) +а' Кч (О) + 567 +ы йч (0) — 2айй,, (0) — 2ьймч.(л) +2аьй, (Л), Приравняв нулю производные по а и Ь от правой части, для определения постоянных а и Ь получим систему из двух линейных уравнений ай, (0)+Ьй„(Л) =йь, (0), .й, (.)+Ьй„(0) =й,, '„(,).
Отсюда находим а и Ь, а затем и дисперсию ошибки. Если а (1) и Ь (т) не коррелированы, то й„ (л) = й (л) +й (л) й „ (л) = йй й (л) = й (л) й „ (о) = о. При этом й~ (л) й, (л) -- — й4 (л)-йЛ(0) и выра>кение для дисперсии ошибки принимает вид о,= — й," (0)-ьй; (л). Отсюда видно, что дисперсия ошибки зависит от Л и для конкретно заданных корреляционных функций можно определить значение Л, минимизирующее дисперсию.
Однако для дифференцируемых процессов при малых Л справедливы приближенные равенства й (Л) =й (О)+й" (О) Л)2, й (Л) =й;(О)+й;(О)Л=й" (О)Л. На основании их получим 5= й,-(Л)!йп (0) Л, Ое=]й,(0) — й„"(0)]~;",(0)!й„(0) = — й~ (0) [1+й" (0))й." (0)] — 1, (5.б.бо) Если выполняется условие — й,"(о)=м((й у)р) << м((5 Н)р)= — й,(о), то а= — Ь 1!Л, О =- — й" (О). 5Л. ЛИНЕЙНЫЕ ФЛЮКТУАЦИОННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Пусть случайный процесс Ч (1) задан линейным дифференциальным уравнением и-го порядка с постоянными коэффициентами аа т)1"1 (1)+ а„, т)1" — '1(1)+ ... + ао т) (1) = 5(1), 1) О, (5.7.1) где сй — постоянные величины; й (г) — случайный процесс с заданными вероятностными характеристиками. Предположим, что начальные условия для т)(1) нулевые: и (О) = и (О) = „, = Ч вЂ” 1(О) = О.
(5.7.2) Так как й (1) — случайный процесс, то т) (1) будет также случайным процессом, и поэтому дифференциальное уравнение (1) названо (Ьлюктуа1(ионнььн. Линейное дифференциальное уравнение (!) описывает поведение некоторой линейной системы с постоянными параметрами. Случайный 568 процесс и (1) можно рассматривать как процесс на выходе этой системы, когда на нее, начиная с момента времени ( = — О, воздействует входной случайный процесс в (1). Ясно, что при заданных коэффициентах а; каждой реализации процесса $ (1) будет соответствовать своя реализация процесса Ч (1), определяемая решением уравнения (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
