В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Из обратного преобразования Фурье имеем Йт(т) = — ~ Бт(а) е~ 'На, — Т(т(Т. (5.4,60) 1 Таким образом, выборочная спектральная плотность и выборочная корреляционная функция связаны взаимными преобразованиями Фурье. По аналогии с предыдущим казалось бы, что предельное значение выборочной спектральной плотности Бт (ы) при Т о- со можно принять за оценку истинной спектральной плотности Бо (а). Однако в общем случае (в частности, для гауссовских процессов) применение такой процедуры не оправдано, так как Бт (ж) ни в каком вероятностном смысле не сходится к предельному значению. Функция Бт (оо) при каждой частоте сильно колеблется от одной реализации процесса к другой, обусловливая неприемлемую дисперсию оценки. Для уменьшения дисперсии необходимо применять сглаживание оценки. Существуют два способа сглаживания: по ансамблю'и по частоте.
Им соответствуют два способа экспериментального определения спектральной плотности. Вначале убедимся, что сама выборочная спектральная плотность (периодограмма) (58) не может быть принята за определение истинной спектральной плотности. Для этого вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной функции Бт (ю). Согласно (58) имеем т т 534 то ! пп М (Зг (в)) = ~ йь (т) е — ю" Ит = Яа (а).
г Следовательно, асимптотически несмещенная оценка спектральной плотности дается формулой Яа (а) = 11ш — М (~ Рг (1а) Ц. (5.4.64) г Т Эту формулу часто принимают за исходное определение спектральной плотности. При практическом определении спектральной плотности по реализации случайного процесса конечной длительности Т за оценку следует принять допредельную формулу (61). По существу она дает первый способ экспериментального определения спектральной плотности. Определение спектральной плотности согласно формуле(61) предписывает следующую процедуру. Располагаемая длительность реализации случайного процесса Т делится на а отрезков одинаковой длины 6 = = Т(п (организуется ансамбль из а реализаций).
Для каждого отрезка вычисляется величина Т ' ~Рг (1в) 1', а затем на каждой частоте производится осреднение этой величины по разным отрезцам (по ансамблю а реализаций). Пока остается открытым вопрос о выборе целесообразного числа отрезков и и, следовательно, длительности 0 отдельного отрезка. Соображения по этому поводу будут приведены ниже. Вычислим дисперсию выборочной спектральной плотности Зг (в) для гауссовских стационарных процессов. По определению имеем 0 (5г(ы)) =М (5,'(ы)) — (М (5г( ))1', где согласно (58) т г г т М (Бт (а)) = ~~~ Ц М ($ (() $ (з) 3 (и) $ (оИ х ао0 о х е — зе и — и+и — о) я~цдцдо а М (Зг (а)) дается формулой (61).
Воспользовавшись выражением (2.5.22) четырехмерной центральной моментной функции четвертого порядка гауссовского процесса через корреляционную функцию М (з0 (() $0 (з) $, (и) $а (о)) = йе (( — з) й~ (и — о) + + Я~ (( — и) йа (з — и) + йа (Š— о) Яа (з — и), можно написать ггг т М (5т(в)) = —,~~ Ц Я~ (( — з) Йа.(и — о)+Яа (1 — и) Яа (з — и) + са еа + Й~ (Š— о) Ка (з — и)) ехр [ — 1в (~ — з+ и — о)) сИзИигЬ = 535 гг =2 [М (5г(в))]'+ — ] ~ йь (1 — и) е — и'и+"' йг(и т Следовательно, г т 0Рг (ы)) = [М (Вг (м)) ]~ + — ~ ~ й~ (1 — и) е — и0 и+ ) ~Ыи ) а о ) [М (Вг(ы))]'. (5.4.65) Можно показать, что если ) Яз (т)] г]т( оо, то второе слагаемое в пра- 0 вой части написанного равенства стремится к нулю при Т-~- со.
Поэтому 1]т 0(5г(в)) =1пп [М (Зт (ы))]' = ЗГ (ы). г г Для гауссовского стационарного процесса $ (1) с нулевым математическим ожиданием периодограмма Зг (гз) согласно (58) представляет собой сумму квадратов двух независимых гауссовских случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями. Поэтому Бг (в) имеет Х'-распределение с двумя степенями свободы. Таким образом, сама выборочная спектральная плотность Яг (в) не является состоятельной и эффективной оценкой истинной спектральной плотности, поскольку дисперсия 0(3г (е)) не меньше квадрата математического ожидания даже при Т вЂ” ~ оо.
Иначе говоря, Зг (в) является примером выборочной функции, для которой эргодическое свойство не имеет места, если даже для выборочной корреляционной функции оно справедливо. Оказывается, этот результат имеет общий характер. Если имеется состоятельная оценка некоторой статистической характеристики, то ее преобразование Фурье не является состоятельной оценкой для преобразования Фурье этой характеристики.
Итак, в качестве оценки спектральной плотности можно принять математическое ожидание выборочного спектра (61): М(Бг(в))= ) кг(т) е-~""г]т= ) ю(т) Я~(с)е — ~"'Нт. (5.4.66) т — г Оценка (66) представляет собой преобразование Фурье от произведения корреляционной функции Яз (т) и функции и (т). По существу это означает, что исходная реализация случайного процесса $, (1) умножается на финитную функцию времени ) (1) длительностью Т (применительно к (62) — на прямоугольный импульс единичной высоты), причем и (т) есть свертка функций )'(1) и ) (1+ т). Подставив в (66) выражение (2.3.33) корреляционной функции через спектральную плотность, получим 536 М (Бг (са)) = — ~ )Р' (ч) Яе (са — ч) !/ч, (5.4.67) где йу (са) = ~ са (с) е — 1"' с(т (5.4.68) и, наоборот, Ш(С)= — ~ В' (Са) Е1"с Йа.
1 2я Для конкретной функции (62) имеем %' (а!) = Т (саТ/2) с з!пс (а!Т/2), т. е. (5.4.69) М (Бг (са)) Зс (са) — ( Т ( ) а!ч = Яс (са). (5.4.71) 2н .1 '! чТ/2 Как указывалось выше, фактическое выполнение операции математического ожидания (осреднения по ансамблю) в (66) можно осуществить следующим образом. Запись реализации процесса длительностью Т разделим на п одинаковых отрезков длиной О = Т/и. Для каждого отрезка в соответствии с формулой (59) найдем выборочную спектральную плотность е ое~! (са) = ) )се~в! (с) е — 1 "~ с(т, й = 1,2, ..., и, -е а затем определим сглаженную выборочную спектральную плотность П е Бт(са) — ~ За!" (а!) = ~ Рг(т) е — ! !" с(т, (5.4,72) й=! — е 537 М Яг(са)) = — ( Т (" ) Яе (са — ч) с(ч.
(5.4.70) 2н,) ~ чТ/2 Эта формула показывает, что математическое ожидание выборочной спектральной плотности соответствует как бы просматриванию истинной спектральной плотности 3 е (а!) через спектральное окно Я7(са). Поэтому в литературе принято называть функцию Я7(а!) спектральным окном, а в(т) — корреляционным окном. Грубо говоря, спектральное окно действует как узкая щель шириной 2н/Т, так что при достаточно больших Т окно становится очень узким и стремится к дельта- функции.
Естественно считать плавно изменяющуюся спектральную плотность Зе(а!) приближенно постоянной внутри этой узкой щели. При этом Здесь /сг (т) — сглаженная выборочная корреляционная функция: аэ — т г ()= — ' ~ — ' ~ 5,(г)~,(1+ )(/, ~О, а для т ( О эта функция определяется согласно (42). Математические ожидания таким образом определенных сглаженных выборочных характеристик равны Мбт(в)) = ( 0 ( '" ( 1 ) Ят(а — т) сЬ. (5.4.73) 2в 3 ~ та/2 Следовательно, при разделении реализации длиной Т на и частей каждая длиной 0 = Т/и математическое ожидание сглаженной выборочной спектральной плотности (72) эквивалентно сглаживанию истинной спектральной плотности с помощью спектрального окна Ю' (в) = 0 (в0/2) э з(пэ (в0/2), (5.4.74) которому соответствует корреляционное окно (~)= ~ ~ '~ ' (5475) О,! ~~0.
Спектральное окно (74) имеет ширину основного лепестка 2п/О (рис. 5.23), которая определяется выбранной длиной отрезка 0 или, иначе, числом отрезков п. Описанный способ сглаживания, принадлежащий Бартлетту, наводит на мысль: нельзя ли получить сглаженную оценку Зг(а) за счет надлежащего выбора окна. Иначе говоря, попытаемся подбором корреляционного (и соответственно спектрального) окна выполнить равенство (72): Бт(в)= ) в(т) /7т(т) е — ~ "тг(т =- ) Йт(т) е ~"'дт, (5.4.76) где Кт (т) — выборочная корреляционная функция (42).
При этом потребуем, чтобы окна удовлетворяли следующим условиям: в (О) = 1; ю (т) = и ( — т); в (т) = О, 1т! ~ ~О, 0 ( Т; (5.4,77) — ( К(в)до=1; Ю'(в)=%'( — а); ширина В'(о) 2п/О. (5.4.78) 2и Можно предложить много функций, удовлетворяющих этим условиям (181 — 183). Наиболее распространенные окна приведены в табл. 5.4 и изображены на рис. 5.24. 538 Р~й сР с. СО СР Й Ф Ф сь со Ф с Ф о н В ОС з Ф з СР з в Ф а Ф! !! Ф !! з ь Ф а з 539 ° с Ж о О. М О О Р 3 й О В О М о о о сс сс О О о о О о М ь О. е в Ь О о О о о О И О О Р О е чл Ф Ь Ф -1- !! чл сР з 8 Ф Ф о Ф в сР ' а Ф з сс — Л Чч~— СР сО ! ! Ф Ф Ф ! сс с Ф 3 Ф вЂ” з Чтобы убедиться в возможности записи первого равенства (76) и конкретизировать требования к окну, необходимо рассмотреть статистические характеристики сглаженной спектральной плотности 5т (а), принимаемой за оценку истинной спектральной плотности 5ь (а). Подставив в (76) выражение для корреляционного окна (69) и учи-" тывая формулу (59), получим 5г (а) = — ( Ж' (т) 5г (а — т) с(т.
(5.4.79) 2н Рнс. 5.23. Спектральное окно Беря математическое ожидание от обеих частей, имеем М (5г(а)) = — ~ Р'(т) М (5г (а — т)) сЬ. (5.4,80) Формулы (70) и (71) показывают, что при больших Т справедливо приближенное равенство М (5г (а)) ж 5г (а). Поэтому М (5г(а)) — ( Ю' (т) 5т (а — т) сЬ.
(5.4.81) 2н 9 Очевидно, что это приближенное равенство при 1)т (т)-т- 6 (т) становится точным. Чем шире спектральное окно, тем больше будет отличаться М (5г (а)) от истинного значения спектральной плотности 5г (а). Смещение оценки можно приближенно характеризовать величиной й (а) =М (5г(а)) — 5а (а) ~ — ( (2т (т) 52 (а — т) с(т — 5г (а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
