В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 106
Текст из файла (страница 106)
е. функции К Ош) или П (1)), который обеспечивает получение наибольшего возможного в условиях задачи пикового отношения сигнал-шум. Будем называть такие фильтры согласованными. Сформулированные задачи допускают многочисленные обобщения, в частности, шум и, (() может быть не бельпл, а стационарным гауссовским процессом с известной корреляционной функцией.
Можно показать [70), что вторая задача имеет решение общего характера, причем пиковое отношение сигнал-шум на выходе согласованного фильтра равно )Г2Е!И„ г)(е Š— энергия сигнала в (1). Первая же задача должна решаться самостоятельно применительно к каждому конкретному фильтру. Проиллюстрируем методику ее решения прн разных условиях на двух частных примерах. Пример 5.5А. Воздействие видеоимпульса и белого шума на интегрирующую цепь ЯС. Пусть на интегрирующую цепь йС воздействует напряжение, представляющее собой сумму (1) белого шума не (1) и сигнального видеоимпульса а (1) прямоугольной формы с амплитудой Ае и длительностью т„(рис. 5.26). Начальное напряжение на конденсаторе полагаем равным нулю.
Найдем отношение сигнал-шум (отношение амплитуды сигнала к среднеквадратическому значению шума) на выходе цепй,йС в конце видеоимпульса в двух случаях: цепь ЛС включена всегда; осуществляется сшробированне импульса, что можно ин- 546 терпретяровать кзк подключение цепи )7С к источнику напряжения з (1) на время Л + гн, т. е. в момент времени Р = 1» — Л, где 1» — момент появления видео- импульса (рис.'5.26; а, б). Рассмотрим первый случай, когда шум воздействует на цепь задолго до момента 1» появления видеоимпульса.
Очевидно, что наибольшее отношение сигнал-шум получается в конце импульса, причем напряжение сигнала иа конденсаторе равно з (ти) =А» (1 — е "), а =1ИС. (5.5.2) « Дисперсия напряжения шума л (1) на конденсаторе в данном случае определяется формулой (5.3.18): 0 оз — а»У 74 л л (5.5.3) 8(1)+9[8) а) Рис. 5.26. Воздействие видеоимпульса и белого шума на цепь )7С Поэтому отношение сигнал-шум равно (1 е и) — р(ат ) Л, ~ ) Р' Л», л Г 2 г — а«т р( г)= — (1 — е и) атн (5.5.4) (5.5.5) ршах — 0,9 при ати ж 1,25. Учитывая, что полоса пропускания цепи ЯС на уровне 0,5 по мощности равна Лу = а)2п, находим оптимальную полосу пропускания Л/е ек 0,2)ти.
Таким образом, прн воздействии на вход интегрирующей цепи )7С суммы прямоугольного вндеоимпульса н белого шума иа выходе цепи будет получено пиковое отношение сигнал-шум, приблизительно равное 0,9]»'2Е/»у», если выбрать полосу пропускания Лу» 0,2/тя. Качественно наличие оптимальной полосы пропускания легко понять из рассмотрения рис. 5.28, на котором изображены энергетические спектры входного сигнала ]Е« (]е»)[з и шума Л" !2, а также квадрат модуля передаточной функции цепи ]К (]о»)]з = [1 + (ю!а)»]-т. Передаточная функция при оптимальной полосе пропускаиия обеспечивает большое «усиление» наиболее интенсивных участков спектра сигнала и рациональное ослабление слабых его участков; в противном случае вместе со слабыми 18" 547 где Е = Аезтн — энеРгиа видеонмпУльса.
График функции р (ат„) приведен на рис. 5.27 (кривая, соответствующая т = со). 4)з него находим оптимальное значение безразмерного параметра атн,:при котором пиковое отношение сигнал-шум достигает максимального значения: спектральными составлшощими сигнала через цепь проходили бы интенсивные шумы, Естественно, что при этом форма сигнала на выходе искажается. Однако это не имеет значения, так как задача фильтра в данном случае состоит ве в точном воспроизведении сигнала, а в получении наибольшего пикового отношения сигнал-шум. а,7 д (гу - гл уп юг„ Рис. 5.28. Соотношения между спектральными плотностями прямоугольного видеоимпульса, белого шума и квадратам амплитудно-частотной характеристики цепи )гС при оптимальной полосе пропускания Рис. 5.27.
Зависимость пикового отношения сигнал-шум на выходе интегрирующей цепи )(С при стробироваиии и без стробнрования (ч оо) — ат„ е / 25 ( звт Он м!)~/э дя ри ( и), ( . ° ) ! — е з (ти) Ае а- (Л+ти) и где р (итн) = ~/ — (! — е и) [1 — е / 2 ет эет 1~5 ! !7з сета (5.5.8) Графики функции р (сгти) для шести значений т приведены на рис. 5.27. Допустим, что осуществляется идеальное стробирование (Л = ч = 0). Если постоянная времени цепи 77С достаточно велика, так что выполняется неравенство сгти (( 1, то, применяя приближенные равенства ехр ( — ах) 1 — сгл, )г 1+х гм 1 + х)2, из формулы (7) получаем з (г„)7п (т„) = )72ЕДЧэ. (5.5.9) я 548 Рассмотрим второй случай, когда осуществляется стробирование импульса с некоторым упреждением Л (рис.
5,26), причем длительность строба равна тс = — Л+ти = (1+ т) тя, где т=б)тн. В данном случае напряжение сигнала на конденсаторе в конце импульса по-прежнему определяется выражением (2), а дисперсия шума находится по формуле (5.3.17): пу оэ (Л+ти) =оз(1 — е ( и)) = — (! — е и ) (5 5 6) а 4 где оз = ст)Уе/4 — дисперсия напряхгения шума в стационарном состоянии. По.
этому отношение сигнал-шум равно Таким образом, при выполнении условия сгтя сб 1, обеспечивающего хоро. шее интегрирование в течение длительности импульса, пиковое отношение сигнал. шум определяется только отношением удвоенной энергин сигнала к спектральной интенсивности шука н не зависит порознь от амплитуды и длительности импульса. Этот результат имеет фундаментальное значение в теории оптимальных метадон приема.
Он показывает, что путем интегрирования можно выделить из и~ума импульс даже очень малой амплитуды, лишь бы он имел большую длительность (энергию). Из графиков рнс. 5.27 видно, что без стробпрования (ч = со) величина р О, 9 при сетя 1,25. При идеальном стробировапии (т =-. О), т.
е. когда цепь )1С подключается иа время тс = тя в момент времени 1з появления импульса, рз шах — ~ 1 при сг — ~ О. Прн других т получаются промежуточные случаи; в частности, для них р = 11Г 1 + ч при сг — О. з(1) ги 1 1(21'=г Рнс. 5.29 Воздействие радиоимпульса и белого шума на колебательный контур Увеличение пикового отношения сигнал-шум при стробировапии объясняется тем, что при Л,меньших времени установления напряжения на конденсаторе, нестационарный выходной шум за время Л + тя ве успевает нарасти до максимального стационарного значения, которое получается в отсутствие стробировавия. Этим же объясняется наблюдаемое на рис.
5.27 уменьшение оптимальной полосы пропускання при уменьшении ч. Выше было рассмотрено несколько вариантов, относящихся к частному случаю стробироваиия, когда окончание строба точно совпадает с концом сигнального импульса. Разумеется, можно анализировать другие варианты: разное детерминированное и случайное взаимное расположение строба длительностью тс 'и импульса длительностью тн, сигнал з (1) имеет форму, отлвчнуго от прямоугольной, шум пз (Г) является коррелировапным с заданной корреляционной функцией. Пример 5.5.2. Обобщим полученные результаты на детерминированные радиоимпульсы. Пусть на колебательный контур, составленный из параллельного соединения конденсатора емкостью С, сопротивления )1 и катушки индуктивностью Ь (рис. 5.29), при нулевых начальных условиях воздействует сумма (1) сигнала з (1) и белого шума пз (1). Сигнал з (1) представляет собой детерминированный прямоугольный радноимпульс амплитудой Аз и длительностью ти: а(1) =4зз1пюо1, Гз ~(Г~()ч+ти (5.5.!О) Резонансная частота колебательного контура предполагается совпадающей с яастотой сигнала, т.
е, ы, =- (ЬС) — Чз. Найдем пиковое отношение сигнал-шум (отношение амплитуды сигнала к средпеквадратическому значению шума) в конце импульса в двух случаях: 1) колебательный контур включен всегда; 2) осуществляется стробирование, т. е, контур подключается к источнику тока з (1) на время Л + тя в момент времени Р =- Гз — Л, где 1з — момент появления радио- импульса.
При выполнении условия юз )) 172)тС импульсная характеристика контура приведена на 6-й строке табл. 5.1, Поэтому для выходного напряжения на контуре можно написать 549 1 т!(1)= е "~ ~еехсйп ыо(1 — х) 5' (х) бх. (5.5.1!) юос о Известно, что для линейных систем справедлив принцип суперпозиции. Поэтому можно раздельно находить сигнал и шум на выходе системы. Из (11) для напряжения сигнала и шума на контуре имеем соответственно в 1 .в (1) = Ао е "в ~ е~" з1 и юо (1 — х) сов юо х «/х = Ао /т (1 — е "~) з)п юо 1 (5 5 12) С о в л /1)= — е "~ ( ее» ыпю,(/ — х) л,' (х) Нх. ю«С о (5.5.13) Для определения дисперсии напряжения и (1) нужно подставить в (5.2.16) вместо /7 (т,, тв) корреляционную функцию производной от стационарного белого шума, которая равна /т в (тв тв) ="т (тв 'г») = /Уо 5 (тв 'г»)/2 .
оо Воспользовавшись при вычислении получающегося интеграла формулой (1-34), получим ~~-(1)=О-(1)=(а'о/С/4С) (! — Е Ве~). (5.5.14) Если колебательный контур подключен к источнику тока о (1) задолго до момента /ш то шумовое напряжение на контуре а (1) к моменту действия радио- импульса будет стационарным с дисперсией и- =/!'о Ф4С. (5.5.15) А(тн) 1 Г 2Е о- (»»+ти) о' »уо = р Рт (соти) (5.5.20) 550 Согласно (12) «амплитуда» напряжения сигнала з (/) в конце импульса равна А (т ) =А )7 (1 — е и) (5.5.16) Поэтому пиковое отношение сигнал-шум в отсутствие стробирования А (ги) о-=Ъ 2Е/гоо Р ('*та) где Е = А,'тв/2 — энергия радиоимпульса, а коэффициент р (сот ) дается выражением (4), График функции р («втв) был приведен на рис.
5.27. Поэтому по-прежнему ршах — 0,9 при «втв — 1 25. (5.5.!8) Отличие от цепи /«С состоит в том, что полоса пропускания контура иа уровне 0,5 по мощности равна Л/ = и/и и, следовательно, оптимальная полоса пропускания контура Л/о 0,4/ти в два раза больше, чем для цепи /«С. Пусть контур подключается в момент времени 1' = /о — Л, а радиоимпульс появляется позже, в момент Го ж Р. Амплитуда сигнала в конце импульса нопре»кнему равна А (ти), а дисперсию шума находим из (!4) ов (Л+ти)=(//оЯ/4С)11 — е и ), т=ц/ти, (5,5,!9) о Пиковое отношение сигнал-шум равно где беэраэмерный коэффициент р (ят ) определен формулой (8) и представлен графически на рис. 5.27 длп нескольких значений т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
