В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Из приведенных результатов видно; что почти во всех случаях увеличение числа отсчетов и больше 15 †: 20 не приводит к существенному уменьшению дисперсии оценки. в тгф 3 г,а 0 О В 1г я гв гв гз л 4 0О тв(п)-а "т йв мт-гг7 55,Ф а' цг 177 01 а,г О В и 15 го га га л ~ВЦ ав а,б г б б 7 га га ба бои по гаа сбтлгат Рис.
5.17. Зависимость относительной дисперсии оценки дисперсии от длительности реализации 0,5 аа цв вг 01 Рис. 5.15. Зависимость относительной дисперсии оценки математического ожидания от числа временных отсчетов В гг и гв гв гв л Рт = — Г [$ (г) — тт)о Й. т,) о (6.4.17) Беря математическое ожидание от обеих частей равенства (16), имеем т. е. оценка несмещенная при любом значении Т. Дисперсия оценки равна т т О(Рт)=М((Р,— Рг)')= — ', ~~М(К(г) —,)'Х о о х 15(з) — та)о) пИз — Рц. Применительно к гауссовскому стационарному процессу $ (г) стоящая под интегралом двумерная центральная моментная функция дается выражением (2.6.17').
Подставив ее, получим 520 в~а„1 ав в,б ав в,г 0,1 М (Рт) = — ~ М (К(г) — тг)') Й=Ра, (5.4.18) 1 1' о 0(Рг) = — ~ ~ Ц(( — з)~Из= — а ~1 — — ) Я~(~) й»=- 2 г Г "1) т)( т~ о 40 аз = а~(1 )„(»)». (5.4.19) о Отсюда видно, что гауссовский стационарный процесс эргодичен относительно дисперсии, т. е. 11.ш. — 1 [$(~) — та)ай= Ра, т Т о (5.4.20) (5.4.21) т +(тг — та)а — 2 (тг — т~) — ( Б(() — та1 Ж= тй о т г = — ~ (ч (г) — та1а й — (тт — та)а. т ) о Беря математическое ожидание от обеих частей этого равенства, имеем М (Рт) = Ра + 0 (тт), (5.4.23) где 0 (т„) дается формулой (3).
Таким образом, оценка дисперсии при неизвестном математическом ожидании по формуле (17) при ко- 52! если и только если выполняется условие т 1нп — ~ ~1 — — ) Яо(») о(»=О. г Т1~ т) о Это условие выполняется, если функция.»Яа (») абсолютно интегрируема на интервале (О, оо). При этом для больших Т дисперсия оценки (19) приближенно равна 401 с 0 (Рг) — — ~ йь' (») д» = — ~ га (»)»(».
(5.4.22) т,) т о о Итак, оценка дисперсии гауссовского стационарного случайного процесса по формуле (16) при выполнении условия (21) является несмещенной при любом Т и асимптотически (при Т-а-оо) состоятельной и эффективной. Не всеми из этих свойств обладает оценка (17), в частности, она оказывается смещенной. Действительно, запишем выражение для Рг иначе: т т Рг= — ~ К(() — та — (тг — та)1'Й= — ~ (э(1) — та] Й+ г а т,) т,) о о печной длительности реализации смещенная. Она будет асимптотически несмещенной при выполнении условия (5). В случае оценки дисперсии (при известном математическом ожидании) по временным отсчетам, взятым из реализации через одинаковый интервал времени Л, вместо (16) следует пользоваться формулой л — 1 Эл = — '~' [$(ЙЛ) — та)а.
(5.4.24) а=а В1О,! О! Об а,в О,б О) ОД Об Ог ОД О,г а 8 б В !г О !В г! г! г! л И В !В И гб гг л в(аг) Об Цб Т Т Т ' / 1 мт !г! ' О,б б) ад Рис. 8Л8, Зависимость относительной дисперсии оценки дисперсии от числа временнйх отсчетов а,г а 8 б О и В В г! г! гг и Дисперсия такой оценки вместо выражения (19) определяется форму- лой л — ! а !о! — — ' [л1<- — ' т ( --!) а! иы~ = а=1 2гае Г л — 1 — 1+ — эа (и — й) гав(И) 1 мч и ~ и ь=! (5.4.25) На рис. 5.17 приведены кривые, рассчитанные по формуле (19) для трех корреляционных функций (15), а на рис. 5.18 — аналогичные кривые, рассчитанные по формуле (25) для разных длительностей реализаций, указанных в табл.
5.3. На основании этих результатов можно заключить, что во всех случаях увеличение числа отсчетов и больше 20 не приводит к существенному уменьшению дисперсии оценки. 522 Функция распределения и плотность вероятностей Рассмотрим эргодичность стационарного случайного процесса $ «) относительно функции распределения вероятностей Р (х)-= Р ($ «) ( х). Предполагается, что величина х является произвольной, но фиксиро- ванной.
хых/г -ахи Рис. 5.19. К определению функции распределения и плотности вероятности Введем случайный процесс т1 «) (рис. 5.19, а) ( 1 при $(1)(х, ч (т) = ~ ~ О при $«))х. Математическое ожидание и ковариационная функция процесса 11 «) по определению равны ип = М (т1«)) = 1 Р (9 «) ~ х) + О Р (9(т)) х) = Р(х), (5.4.26) К„(.) =И(Ч«)11«+.)) =Р(В«)<.. В«+.) <.) = =Р(х,х;т), (5.4.27) где Р (хт, х„р) — двумерная функция распределения вероятностей процесса $ (г). За оценку функции распределения вероятностей примем величину (5.4.28) т Чг= — т)(1) й. 1 р т~ Г ! ~й 'г Очевидно, что М()г)= — '['М(П(()) ((=ш,=Р(х), т 3 о т.
е. оценка (28) функции распределения вероятностей несмещенная при любом значении Т. Для дисперсии оценки согласно формуле (5.3.61) можем написать г 0(т1 ) = — [ [1 — — ~(К„( ) — М ~(г= т ~[ т)' о т = — [ (1 — — 1 (Р (х, х; т) — Р' (х)) бт. о Следовательно, при заданном х г 1.1 лп — 1 т) (г') Ж = Р (х), (5.4.31) г Т ~ о (5.4.30) если и только если г 1пп — [ (1 — т 1(Р (х, х; т) — Р'(х)) ай=О. (5.4.32) г т1( т~ о Это условие будет выполнено, если 11ш Р (х, х; т) = Р' (х).
Таким образом, достаточное условие эргодичности стационарного процесса $ (1) относительно функции распределения вероятностей состоит в независимости значений процесса $ (1) и $ (1+ т) при достаточно больших т. Заметим, что случайная величина т)г представляет собой относительное время пребывания процесса з (г) ниже уровня $ (1) = х (см. рис. 5.19, б). Обозначим через 1; интервалы времени, на которых $(() (х.
Тогда условие эргодичности будет выполнено, если для достаточно больших Т справедливо равенство Вт = ((т + (з + ". + („)(Т ~ Р (х). (5.4,33) Вычисление дисперсии функции распределения вероятностей по формуле (30) для конечных Т предполагает предварительное нахождение корреляционной функции й„(т) = К„(т) — гп' для процесса В ((). На основании формулы (3.4.23) для гауссовского стационарного процесса $ (1) с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией )т4 (т) = Вь гт (т) получим Я„()- х [а< ) [ — *)~ — ', (5,4.34) л=1 ~Ь где от — — )~ 04', циЮ (з) — и-я производная от интеграла вероятности.
Подстановка этого выражения в (30) при конкретно заданной корре. 524 г Рг(х, Лх) 1 Р Рг (х) = — ' = — ) 2)„(/) !(/, ах Т/Ьх,~ а (5.4.37) где величина Лх достаточно мала. В дальнейшем будем предполагать, что истинная плотность вероятности Р (х) есть непрерывная и плавно изменяющаяся функция аргумента. Заметим, что случайная величина Рг (х, !ьх) представляет собой относительное время пребывания реализации процесса $ (1) в окне (х — Лх/2, х + Лх/21: Рг (х, Лх) = — ~ Л/ь = Т„/Т, 1 ~ч 2=1 где Т„ = 2;Ию Иь — отрезок времени, в течение которого значения реализации процесса находятся внутри указанного окна (рис. 5.19, б). При этом оценка плотности вероятности принимает вид рг (х) = Т,/ТЛх.
Математическое ожидание оценки (37) равно г т м[р,! )1- 1 ~м1„„азх- ' ) х( — ~* м22!м а Ьх х+— 2 ( х+ — 1 й = — ~ р (и) !(и. Лх1 ! (5. 2) Лх бааз ляционной функции Я2 (т) позволяет получить выражение для дисперсии оценки в виде бесконечного ряда, по которому можно выполнить количественные расчеты. Получив оценку функции распределения вероятностей, можно через нее найти оценку плотности вероятности.
Однако можно сразу интересоваться оценкой плотности вероятности Р(х) без промежуточного определения функции распределения Р(х). За оценку вероятности х+Ьх/2 Р (х — /ьх/2 ( В (/) < х+ Лх/2) = ) р (и) с/и (5 4.35) х — Ьх/2 того, что значения случайного процесса находятся в интервале от х — (/!х/2) до х + (Лх/2), примем случайную величину т ( 1, х — Лх/2 ($(/) (х+!ьх/2, г,) ' " ( О при других $(/). (5.4.36) В качестве оценки самой плотности вероятности р (х) возьмем случайную величину Убедимся, что оценка рг (х) смещенная (рис, 5.20).
Для этого разложим плотность вероятности р (и) в ряд Тейлора в окрестности точки х и ограничимсч первыми тремя членами разложения: р (и) ж р (х) + р' (х) (и — х) + р" (х) (и — х)92. Подставив это разложение в (38), получим приближенное выражение для смещения оценки Л (х) = М (рт (х)) — р (х) (Лх924) р" (х). (5.4.39) Рис. 5.2ц Иллюстрвцня снептенности оценки плотности вероятности Выражение для дисперсии рассматриваемой оценки при фиксированных значениях х и Лх имеет вид т 2 о.ов= — ', н~ — '( еле — н~в.лил = Ьлв о т — — ("(') — — '1г„(т) (т, (5.4.40) о где тся (т) — корреляционная функция процесса т),(г). Это выражение позволяет сформулировать условие эргодичности процесса Ч (1) относительно плотности вероятности.
Из (39) и (40) следует, что прн фиксированной длительности Т и одинаковых значениях других характеристик случайного процесса увеличение ширины окна Лх приводит к возрастанию смещения оценки. Применим полученные соотношения к гауссовскому стационарному процессу $ (т), имеющему нормальную плотность вероятности р (х)=(2по6) — ые ехр ( — (х — та )в/2а6). Из (39) получаем приближенное выражение для нормированной ошибки смещения ~л (х) 1 в — 1 л . (5.4,39') Видно, что смещение оценки нормальной плотности вероятности равно нулю в точках'х = та ~ ам являющихся точками перегиба нормальной плотности вероятности, По мере отклонения от этих точек смещение оценки прн фиксированном значении Ьх возрастает. 626 Написанное приближенное выражение для смещения оценки справедливо лишь при малых Лх.
Точное выражение для смещения оценки, справедливое при любых Лх, получается в результате подстановки нормальной плотности вероятности в (38) и имеет внд (х) [/~,~ Г / х — те — Ах/2 1 /х — та +ах/2 '~ ') )~) х р(х) Ьх/о~ ~ ~ во ~ ~ оа Х ехр [ — (х — то )о/2а4[ — 1, (5.4. 39') где Ф (х) — интеграл вероятности (1.4.5). Применение (3.4.23) к нелинейному преобразованию (36) позволяет получить выражение для корреляционной функции процесса о) (/): СО /х — те +ах/2 '1 ОО /х — та — Лх/2 )1о г~ (х) К, (т)=2„' Ф" ~ чх и=1 о а й ° (5.4.41) Для заданной корреляционной функции Ро (т) подстановка (41) в (40) позволяет получить выражение для дисперсии оценки нормальной плотности вероятности в виде бесконечного ряда.
С помощью последующих количественных расчетов по формулам (39') и (40) можно . решать разнообразные задачи по выбору оптимальной ширины окна Лх (минимизация полной средней квадратичной погрешности, минимизация смещения при заданной дисперсии и др.). Корреляционная функция При оценке корреляционной функции, как и при оценке дисперсии, возможны два случая: математическое ожидание процесса то известно или неизвестно. Предположим сначала, что математическое ожидание известно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
