В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 101
Текст из файла (страница 101)
По определению для корреляционной функции приращений можно написать Яа! (тд, 'тд) ™ ((т (!д+тд) — $ (!д)] [С (!д+тд+тд) — $ (Сд+тд)]) = =Рй [г (тд)+гй(т,) — г (тд+т,) — 1], (5.3.64) Воспользовавшись для дисперсий формулой (5.2.16), записываем выражение для нормированной корреляционной функции между приращениями: гй (тд)+ гй (тд) — гй (тд+т,) — 1 гд (тд, т,)— (5.3.65) 2 ([1 — гй (тд)] [1 — гй (тд)]) д /э Это выражение принимает очень простой вид для.процесса с экспоненциальной корреляционной функцией вида (18): 1 тай(тд, т)= — — [(! — е "т)(1 — е "т)]'дэ. 2 Можно убедиться, что 11ш гдй (тд, тд) = — 1/2, 1!ш га (тд, тд) =О, т,,д, тп т -то Формулы (64) и (65) показывают, что приращения стационарного в широком смысле случайного процесса всегда являются стационарными в широком смысле: их корреляционные свойства зависят ие порознь от рассматриваемых моментов времени, а только от их разностей.
Кстати, приведем выражение для спектральной плотности случайного процесса т) (!) = ь (!) ш ь (! — Т), Т = сонэ!, получающегося на выходе схемы, изображенной на рис. 5.15. Корреляционная функция процесса т) (Г) равна ЯЧ (т) =2Я1 (т) Ь дтй (т+ Т) ~ 1С4 (т — 'Т) . 513 17 Здк. зэз Находим спектральную плотность (со) -, )" /» (т) а — !ит «С«=231(ю)(1 ш созюТ). (5 3 66) п и Вычислим нормированную корреляционную функцию между «площадями» под случайным процессом И (С) на примыкающих интервалах времени тс = тз —— =т)0: с«+« с,+зт «)с= )г «! (з) с/з, «!»= [ «! (з) с/з. (5.3.67) с« с«+« Рассмотрим частный случай, когда стационарный в широком смысле случайный процесс И (С) имеет нулевое математическое ожидание и корреляционную функцию (31).
Рис. 5.14. К вычислению кор- релированности приращений Рнс. 5.15. Линейное устройство полу- чения суммы нли разности Выполнив по известным правилам вычисления, получим Р»=М.[«)!) =Р«=М(т!з) =) [ )7и (з« вЂ” з») бзг с/зз= о 'о 2Р, — [!)з(е а«1+ат) — аз(е Р« — 1+5«)), (5.3.68) аз 5« (5 — а) /7„-М(Ч, Ъ)- " [6 (1 — -"')' — (1 — -Р') ), аз [)з (() — с») ф/а)з (1 — е а«)з (1 — е Р«)з [/сР~ Р, 2 ([)/а)з (е "« — 1+ат) — (е "т — 1+[)т) Из последней формулы следует, что 1!пг гс»=0, 1!гп гс«=1. '«-» т. е В дальнейшем нас будет интересовать промежуточный случай, когда выполняются неравенства 1/() )) т )) 1/а, т. е.
[)т (( 1 ((. ат. (5.3.69) В этом промежуточном случае гсз ом !/2 а«ся О. (5.3.70) Применительно к конкретному примеру, для которого была получена формула (31), величину т„= 1/а можно трактовать как время корреляции входного процесса н тс = !/6 как постоянную времени линейной системы, на которую воздействует этот процесс. Тогда можно сказать, что «площади» под выходным стационарным случайным процессом на примыкающих интервалах длительностью т, удовлетворяющей неравенствам (69), практически некоррелированы. Если же входной процесс гауссовский, то эти «площади» будут независимыми.
Поэтому процессИ (С) на интервалах времени порядка тможно рассматривать как простой марковский, заменив входной процесс эквивалентным белым шумом. 514 54. ЭРГОДИЧНОСТЬ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЪ|Х ХАРАКТЕРИСТИК Пусть в нашем распоряжении имеется запись выборочной функции (реализации) стационарного случайного процесса 5 (7) конечной длительности Т и по ией нужно получить оценки следующих основных неизвестных статистических характеристик процесса: математического ожидания ты ковариационной функции Кз (т), спектральной плотности 84 (а) и одномерной функции распределения г ($) или плотности вероятности р (5). Здесь возможны разные комбинации, например: математическое ожидание тз заранее известно и нужно определить лишь корреляционную функцию Яз (т) и т.
д. При этом естественно стремиться к тому, чтобы получаемые оценки обладали свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности. В 4 2.1 указывалось, что определение статистических характеристик случайного процесса по его одной реализации возможно лишь для стационарных процессов, обладающих эргодическим свойством. Конкретизируем теперь условия, при выполнении которых возможно экспериментальное определение перечисленных выше характеристик стационарного процесса и приведем некоторые конкретные результаты. При оценке характеристик случайного процесса, являющихся детерминированными функциями аргумента (например, Яз(т), 54 (а) и др.), следует различать два случая: 1) известна функциональная зависимость рассматриваемой характеристики от конечного числа определяющих ее параметров, которые неизвестны или частично известны; 2) функциональная зависимость характеристики от определяющих ее параметров и аргумента заранее неизвестна.
В первом случае оценка характеристики сводится к задаче оценки неизвестных определяющих ее параметров и для ее решения применимы оптимальные методы оценки параметров, изложенные в Э 4.4. Второй случай более сложный, а требования к оценке более многообразны и жестки, так как теперь они должны выполняться при разных значениях аргумента. Ограничимся рассмотрением второго случая. В инженерной практике часто применяются достаточно простые и легко реализуемые способы оценки, которые представляются естественными, но выбраны по интуиции и не имеют глубокого теоретического обоснования. Проанализируем некоторые из них.
Математическое ожидание В качестве оценки (выборочного значения) математического ожидания примем среднеинтегральное значение реализации на интервале (О, Т): (5.4.1) Ясно, что тт является случайной величиной: она будет разной для разных реализаций одного и того же стационарного процесса 5 (7) 17* 515 длительностью Т. Беря математическое ожидание от обеих частей ра- венства (1), убеждаемся, что оценка тг несмещенная при любом зна- чении Т: т М (~~) = — ( ть й = ть. У3 (5.4.2) 0 Дисперсия оценки определяется формулой (5.3.61): т О (гпг) = М ((глг — ш~) ) = — ~ 1 1 — — 1 Яь (т) Ж = т 31 т) о т 2Р~ ~~ о где гз (т) — нормированная корреляционная функция. Если 11ш 0 (тг) -э- О при Т вЂ” оо, то оценка тг будет стремиться к неслучайной величине ты При этом оценка тг, естественно, является аснмптотнчески эффективной и состоятельной, что непосредственно следует из неравенства Чебышева (1.3.24).
Следовательно, стационарный случайный процесс з (1) эргоднчен относительно математического ожидания, т. е. т 13.ш — ~ $ (() Ш = М (в(1)) =тз, г- Уп о (5.4.3) (5.4.6) з!6 если и только если выполняется условие т. 1нп — ~ ~1 — — ~ Дз (т) Ж = О. (5.4.5) ,.т~( у) о Для проверки эргодичности стационарного в широком смысле процесса относительно математического ожидания необходимо знать корреляционную функцию процесса. Таким образом, при выполнении условия эргодичности (5) принятая нами оценка математического ожидания (1) обладает хорошими асимптотическими свойствами.
Однако на практике приходится иметь дело с реализациями случайного процесса не бесконечной, а конечной длительности Т. При этом всегда желательно получить эффективную оценку при заданном Т. Кроме того, при выполнении статистической обработки на цифровых вычислительных машинах (т. е. в дискретном времени) возникает вопрос о выборе целесообразного интервала дискретизации по времени. Кратко обсудим эти два вопроса. Ограничимся классом линейных оценок и примем за оценку математического ожидания среднеинтегральное значение взвешенной реализации на интервале (О, Т) 11711: т т г = Г) Ь (Г) $ (Г) бФ, а Отсюда видно, что при большой длительности реализации Р(тг) Р(л«г) 20~!иТ, иТ>>1.
(5,4.11) Этот и другие примеры показывают, что для практически часто встречающегося случая о«Т » 1 вместо оптимальной линейной оценки математического ожидания (9) можно пользоваться более простой процедурой оценки (1). При обработке реализаций случайных процессов на цифровых вычислительных машинах определение математического ожидания и других характеристик случайного процесса производится по дискретным значениям процесса, образующим случайную последовательность. Как правило, временные отсчеты реализации берутся через равные промежутки времени Л = Т!(и — 1), где Т вЂ” длительность реализации; п — число точек.
При этом возникает задача о выборе рационального числа точек или, иначе, интервала квантования по времени Л. Выбор большого числа и (малого Л) требует большой памяти ЦВМ и приводит к увеличению времени обработки результатов. При малом п (большом Л) понижается точность оценки, что особенно нежелательно прн дорогостоящих или уникальных экспериментах.
Не касаясь учета квантования случайной последовательности по уровням (предполагается наличие очень большого числа уровней), в качестве оценок математического ожидания последовательности, аналогичных тг и тг, следует принять случайные величины л — 1 л — 1 л — 1 = — Л))ЙЬ), „=ЛИ)йь)1)йь), Лй)ЙЛ)=)). ))л.)2) «=о «=о «=о Нетрудно показать, что дисперсии этих оценок будут равны г« 1 л — 1 л) „)= — '~ -)- — ' т ) — ))л,)л))~, ))).))) л «=1 0(т„) =.О! ~л йл(лЬ)+2 ~', (ЯЬ(л)«) ',', й(1)«)л ((1+к) Л), (54.14) «=о «=1! )=О Применительно к корреляционной функции )1«(т) = Р! ехр ( — а!т!) эти выражения принимают вид [173) Р()лл) ! ) 2 е л~(л(! — е ~ ) — (! — е лл )1 ( (! — е лл) )' г) (и„) )-1-е г) $ л — (л — 2) е — ал Если длительность реализации велика (аТ » 1), число временных отсчетов п большое и они взяты очень часто (яЛ < 1), то предельные значениЯ диспеРсий 0 (т„) и В (л«„) Равны и совпадают с асимптотичел ским значением (11) при аналоговой обработке реализации.
Сравнение результатов расчетов по формулам (3), (8) и (13), (14) для разных корреляционных функций может дать количественное обо- 5!8 Таблица 5.3 Длительности реалазаций нри заданных относительных дисперсиях оценки математического ожидания о (мт))оо длительность реализации еа (т> о,оз ! О,о! 0,1 ехр ( — а)т!) 20 200 40 35,4 ехр ( — иасз) 17,7 177 иц (Лег)/Лмт 31 310 Дисперсия При оценке дисперсии Рс стационарного случайного процесса $ (1) длительностью Т нужно различать два случая: 1) математическое ожидание процесса тс точно известно и 2) в качестве математического ожидания используется его оценка тт (2). Без достаточного обоснования примем за оценки дисперсии при известном и неизвестном математическом ожидании процесса соответствецно выражения т Рт= — ) [ь(Г) — лг11'Й, ! р т3 о (5.4.16) 519 снование рационального выбора числа отсчетов п (временнбго интервала квантования Гз) при фиксированной длине реализации Т.
Для ориентировки приведем результаты для трех нормированных корреляционных функций гс (с) = ехр ( — а )т!), гс (т) = ехр ( — ссзсз), гс (с) = 3!и (Лсот)/Лсот. (5.4.15) В табл. 5.3 указаны значения безразмерных длительностей реализаций, при которых относительная дисперсия оценки математического ожидания, определяемая формулой (3) т т аа(лст) 2 ГГ с 1 2 Г = — ~ ((1 — — ~гс(т) сй — ~ га(с)с(т, (т, т3~ т) Т 3' о о равна 0,1; 0,05 и 0,01. Для полученных длительностей реализаций процесса по формуле (13) были вычислены зависимости относительной дисперсии оценки математического ожидания Р (лс„)ГРс от числа временных отсчетов (рис. 5.1б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
