В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 105
Текст из файла (страница 105)
2л 0 (5.4,82) Допустим, что спектральную плотность 5~ (а) можно дважды дифференцировать по а. Имея в виду, что окно является узким, воспользуемся разложением 52 (а — т) ~ 5ь (а) — 5к (а) т + 5~ (а) (те72) 540 Г где штрихами обозначены производные по частоте со. Тогда с учетом свойств спектрального окна (78) для смещения оценки получим Л (со) = Кд84 (со), (5.4.83) где коэффициент Ка = — ( сов В' (со) йо (5.4.84) 4л характеризует величину смещения оценки.
Он не зависит от характера спектральной плотности и полностью определяется выбранным окном. Рис. 5.24, Типовые спектральные н корреляционные окна Можно показать! 174, 182), что при больших Т для дисперсии оценки справедливо соотношение (по крайней мере для гауссовских про» цессон) (5.4.85) 0 (Ят(со)) (Кп 1Т) Я (со), где коэффициент Ко = ~ ш' (т) с( т = — Р"' (со) ысо, (5.4.86) 2л,1 характеризующий величину дисперсии оценки, не зависит от оценивае- мого спектра и полностью определяется окном. Введем дополнительно величину 7к !пп )ьт (со), (5.4.87) ы-ь которая характеризует ослабление спектрального окна при больших частотах.
Значения Ка, Ко и 7н для четырех наиболее распространенных окон приведены в табл. 5.4. Из формул (83) — (86) следует, что для уменьшения смещения оценки необходимо брать узкое спектральное окно (большое 9), а для уменьшения дисперсии оценки — широкое окно (малое 9). Зги требования противоречивы. Задачу выбора оптимального окна можно сформули- 541 ровать по-разному: можно стремиться минимизировать смещение оценки при заданном значении дисперсии или наоборот, а также можно для заданной спектральной плотности Бь (а) определять окно, минимизирующее полную среднюю квадратическую ошибку оценки.
В качестве итога можно рекомендовать три возможные процедуры определения оценки неизвестной спектральной плотности Яь (а) стационарного случайного процесса по единственной реализации процесса длительностью Т. 1. Согласно (58) вычисляется выборочная спектральная плотность т э $т(а)=- — ( Р,(1) е '"'й (5 4.88) т а а затем по формуле (79) находится ее свертка с заранее подобранным спектральным окном Ю'(а). Получающаяся сглаженная выборочная спектральная плотность Зт(а) = — ' " Р'М 8т(а — ч) г(» (5.4.89) 2з принимается за оценку неизвестной спектральной плотности Я~ (а). 2.
По формуле (42) находится выборочная корреляционная функция т — ~~1 Кт(т)= — ~ ч,(() Е ((+!т() й, (т( ( Т, (5.4.90) о а затем согласно (76) определяется сглаженная выборочная спектральная плотность т Зт(а)= ~ гэ(т) Йт (т) е — ~"'Ыт, (5.4.91) -т где в (т) — выбранное корреляционное окно. 3.
Сначала вычисляется выборочная спектральная плотность (88), по ней в соответствии с (60) находится выборочная корреляционная функция и она подставляется в (91). Такая процедура содержит только операции умножения и преобразования Фурье и не требует вычисления свертки, что имеет вычислительные преимущества. До сих пор рассматривались в основном вычислительные методы определения спектральной плотности. Приведем обоснование аппаратурного способа экспериментального определения спектральной плотности. При этом стационарный случайный процесс $, (() по-прежнему считаем центрированным, а его спектральную плотность Яе (а)— плавно изменяющейся функцией частоты. Схема спектроанализатора приведена на рис.
5.25. Процесс $,(1) воздействует на перестраиваемый по частоте узкополосный линейный фильтр, выходной процесс фильтра ) (() возводится в квадрат и затем осредняется за достаточно большой интервал времени Т. При некоторых условиях последние две операции выполняются приближенно в 542 термоприборах или раздельно при помощи двустороннего квадратичного элемента и осредняющего фильтра. При таком способе осуществляется сглаживание по частоте (в пределах полосы пропускания узкополосного фильтра). Такое сглаживание согласуется с физическим принципом измерения спектра.
Из-за конечной разрешающей способности спектроанализаторов практически невозможно определить значение спектра на единственной фиксированной частоте, а можно лишь определить «интегральное» значение спектра в достаточно малом, но конечном диапазоне частот.
Рис. 5.25. Функдионнльная схема измерителя спектральной плотности Ограничимся рассмотрением стационарного режима работы. Пусть комплексная частотная характеристика узкополосного фильтра сконцентрирована в узкой полосе частот (а — Ла/2, в + Лв/2). Спектральная плотность стационарного процесса Ч (/) на выходе фильтра согласно (5.2.19) равна ~„(в) = 85 (в) !К ()вЯ'. По спектральной плотности находим дисперсию Рн = — ' (' ~5 (а)! К (/а) ~ Ьв. 2п,1 Если полоса пропускания фильтра Ла настолько мала, что в пре= делах ее спектральная плотность Яе (а) почти не изменяется, то Рч — 55(в) ( ~К(1в)~з т(а= — Яе(а) К~Ла„(5.4.92) 2п и где Ке — коэффициент усиления фильтра на центральной частоте; 2Лв,=К, з ) ~К()в)1»Ыа — эффективная ширина квадрата амплитудно-частотной характеристики фильтра.
Из (92) следует, что (5.4.93) 55 (а) =1пп (пРч /Ке Лвь). ле,-~о В качестве оценки дисперсии процесса з) (/) примем среднее значение квадрата случайного процесса т) (/): 543 Т~г = — ) Ч'(г) ог. ! Г т,) 0 Выражение (21) показывает, что если т)Ц (т) — абсолютно интегрируемая функция, то такая оценка являетея несмещенной и состоятельной, т. е. г Вч=М(Пг)=11ш ' (' 2(()бГ. г - т,) 0 Следовательно, т 1!ш ( Ч2 (() ог = 1пп ЗЕ (в), т К,'даат „~ г Ьа;0 0 Ьаааа (5.4.94) а0„ 5е (н) = 1'пп Ьаь '0 до даа где т ~~г (5.4.95) К да т,) д!(д ~ 1 0 М(9Ь(ы)) = М(Вг)= ~ Яа(о))К()о)!2Ь0 (5.4.96) в общем случае не равно Яа (ь), т. е. оценка 80 (в) является смещенной. Дальнейший анализ характеристик оценки возможен при конкретизации вида амплитудно-частотной характеристики фильтра и спектральной плотности 50 (00).
Для получения ориентировочных оценок рассмотрим в качестве примера идеальный полосовой фильтр с прямоугольной амплитудно- частотной харатеристикой ! Ко ~ 02 — д00/2 ~ (02 ~ -~ и+дк012, ! К (100) ! = ~ 0 при других 00. Считая спектральную плотность четной функцией частоты, из (9б) имеем а+Ьа/2 ~ (5~(а)) = — ~ Зг(о) йо.
(5.4.97) а — Ьа/2 544 есть оценка спектральной плотности нри конечных значениях Т и Л00,. Математическое ожидание такой оценки Оценим смещение. Если функция 5; (в) изменяется достаточно плавно с частотой (не содержит пиков), то в пределах малой полосы Лв ее можно разложить в ряд Тейлора в окрестности центральной частоты в и ограничиться только первыми тремя членами. Тогда с использованием (97) получим смещение оценки М (54 (в)) — 54 (в) (Логгс24) 5" (в), (5.4.98) где 5-, "(в) — вторая производная функции 54 (в) по аргументу в. Для дисперсии оценки согласно (95) можем написать 0 (5;(в) ) = 0 (Вг ) |Ко (Лсоа(п)г. (5.4.99) Применительно к гауссовскому стационарному процессу ео (1) выражение для 0(0г) было получено ранее (22): 0 (0г ) — ( Ц ( ) с(~.
Т,) о Если в пределах полосы пропускания фильтра Лв спектральная плотность 54 (в) приближенно постоянна, то корреляционная функция будет определяться формулой (5.3.49): Мп (Лвт!2) Йп (т) = Ог| соз вт. Лвт/2 Поэтому 0 (Вг) — ~ ' созгвтс(т= — — и 4Рй Г г1пг (Лвтс'2) г 4Рй Г Мпг (Лвт12) Т ~ (Лвт/2)г Т,) (Лвт!2)г о о 1+оса 2ол 2Рп Г а(пг (Лвт!2) Х с(т 2 Т,) (Лвт(2)г Т(Лв12и) о После подстановки сюда выражения 0 „из (92) (при Лва =- Лсо) формула (99) для дисперсии оценки примет окончательный вид: 0 (54 (в)) 54г (в)(Т (Лвс2п).
(5,4,100) Полную нормированную среднюю квадратическую ошибку оценки согласно (98) и (100) можно приближенно представить в виде (( 54(в) — 54(в)) ) 1 Лва 54(в) (5.4 101) 5г(в) Т(ЛвС2и) 878 ~ 5 (в) ) Эта формула позволяет сделать следующий качественный вывод общего характера. К величине полосы пропускания (разрешающей способности) Лв фильтра предъявляются противоречивые требования: для уменьшения ошибки смещения необходимо брать малые значения Лв, тогда как для уменьшения случайной ошибки Лв следует увеличивать. Поэтому нужно брать компромиссное значение Лв. Для спектральной плотности, плавно изменяющейся с частотой (5;" (в) мало) 18 заа, обо 848 допустимо брать большие значения Лш, чем для быстро изменяющейся спектральной плотности. Следует также учитывать, что с уменыпением Лш увеличивается длительность переходного процесса, что приводит к увеличению времени анализа Т при каждой фиксированной частоте.
Количественное определение оптимального значения Аш зависит от вида амплитудно-частотной характеристики узкополосного фильтра и характера спектральной плотности 55 (ш). Здесь имеется аналогия с экспериментальным определением плотности вероятности. 5.5. КВАЗИОПТИй)АЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ФИЛЬТРЫ Предположим, что имеется сумма детерминированного сигнала в (1) конечной длительности ти и гауссовского белого шума и, (1) с известной спектральной плотностью Уе: $ (1) = в (() + и (1), О ( 1 < Т. (5.5.1) Такая сумма воздействует на вход линейного фильтра с комплексной частотной К ()ш) или импульсной характеристикой и (г).
Нас интересует, при каких условиях отношение наиболыпего пика сигнала к среднеквадратическому значению шума на выходе фильтра достигает наибольшего значения. Для краткости назовем это отношение пиковым отношением сигн л-саум. Необходимость решения таких задач возникает при обнаружении сигнала на фоне шума, когда не требуется точное воспроизведение сигнала, а нужно лишь зафиксировать сам факт наличия или отсутствия сигнала в (1) иа интервале времени (О, Т). Сформулированную задачу можно решать в.двух, несколько отличных постановках: 1) линейный фильтр задан и максимизация пикового отношения сигнал-шум достигается лишь подбором отдельных параметров фильтра; назовем такие фильтры квазиоптимальными; 2) сразу отыскивается линейный фильтр (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
