В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Этот результат позволяет легко проверить, будет ли процесс дифференцируемым. Например, корреляционные функции 1, 2 и 7 в табл. 5.2 недифференцируемы. Точно так же можно показать, что нестационарный процесс $ (1) будет дифференцируем в среднеквадратическом смысле, если при 21 = ~2 существует вторая смешанная производная де)~О (г„ге)!дгед)2. Перейдем теперь к фактическому вычислению корреляционных функций. При этом-для сокращения записей будем полагать математическое ожидание процесса равным нулю. Найдем сначала взаимокорреляционную функцию между процессом и его производной ЙОе (~1 ~2) ™ (ь (~1) г (72)). (5.6.7) (5.6.1 1) и ~< ~ (1) == М (й" $ Я)г(1" ) =- гг' гл~ (1)/Й", ш" ш", ~ д~" д~" В том случае, когда процессы $ (1) и д (1) стационарно связаны, последняя формула принимает вид Применим полученные формулы к стационарному в широком смысле процессу в (1), для которого т~ — = сопз1, Лт (1„1,) = Л~ (т), т = — 1, — 1,.
(5.6.15) Из формулы (3) следует, что те = О, а из (8), (9), (12) и (13) соответственно получим Рте (т)=М ($((Д $'(1з))== — М($(1з) в' (1,))=)7' (т), (5 616) св д (т) ла д (,) Ят (т) = — — =- — Д" (т), 171 = йе (0) =-— (5.6.17) и'" Ре 00 1 , и" 1 (г+ т) Йе<,>(т) =( — 1)", йт,<ю (т) =М$Б (1) л" Ре (т) (5.6.1 8) и. й Формула (17) показывает,что в результате дифференцирования стационарного в широком смысле случайного процесса всегда получается стационарный в широком смысле случайный процесс с нулевым математическим ожиданием. Воспользовавшись свойством корреляционной функции стационар-.
ного процесса (2.2.27), можем написать (й" (т)( = — Я" (О)= В,,. (5.6.19) аз7 Таким образом, чтобы найти корреляционную функцию производной дифференцируемого случайного процесса, нужно дважды продифференцировать корреляционную функцию исходного процесса; сначала по одному аргументу, а затем по другому. Повторно применяя приведенные ранее рассуждения, приходим к выводу, что и-я производная ~(ю (1) — г(ю~ (1)Я~л (5.6.10) процесса $ (1) существует, если существует производная д'" Р; (1„1,),' д("„дР",.
При этом Следовательно, конечная вторая производная от корреляционной функции стационарного процесса существует при любом т, если только она существует при т = О, т. е. если существует конечная дисперсия для производной (скорости). Условия дифференцируемости стационарного процесса можно выразить через спектральные плотности. На основании формул (2.3.33), (17) и (18) устанавливаем связь между спектральными плотностями 'самого стационарного процесса 5~ (ы), его первой 5~ (а) и второй 5~.
(в) производными, а также выражения для дисперсий первой Р~ н второй Рг. производных через спектральную плотность процесса: Рз = и;= — Р" (0) = — ~ о' 5ь (гз) йо, 5~, (в) = а' 5з (а); (6.6.20) Рг" = о3=У4> (0) = — ~ а45. (а) Ьз 5~" (а) = в4 5~ (в). (5.6.21) ал Выражение (20) показывает, что необходимое и достаточное условие днфференцируемости стационарного процесса один раз состоит в том, чтобы его спектральная плотность убывала с ростом частоты быстрее, чем м '. Для дважды дифференцируемого процесса, как видно из (21), спектральная плотность при высоких частотах должна убывать быстрее е Формула (16) показывает, что взаимная корреляционная функция между процессом и его производной меняет знак в зависимости от того, берется производная справа или слева от отсчетного значения процесса.
Из четности корреляционной функции Рз (т), а также из (16) при т = 0 следует, что (6.6.22) Следовательно, стационарный случайный процесс и его производная в совпадающие моменты времени не коррелированы. Отметим, кстати, что при часто выполняющемся соотношении Иш Р1 (т) = 0 из (22) следует, что вторая производная от корреляционной функции дифференцируемого стационарного процесса должна удовлетворять условию о Р~ (т) с(т = ~ И~ (т) Фт = й~ (оо) — Р~ (0) = О.
(6.6.23) Среди стационарных случайных процессов можно выделить узкий класс процессов, для которых значение процесса $ (1) и его производной $' (Г) в совпадающие моменты времени не только не коррелированы, но и независимы, т. е. (6.6.24) р 6, Г)=р~Я)рь (Г). 553 Процессы, удовлетворяющие этому условию, можно назвать стационарными процессами с независимой производной в соваадаюи(ие моменты времени, Формула (22) показывает, что для гауссовских стационарных процессов условие (24) выполняется и для них нетрудно записать совместную плотность вероятности р (9, $').
Так как в результате дифференцирования, являющегося линейной операцией, свойство гауссовости сохраняется, то 1 7 р1 (9')= ехр~ — ), Рь = — Яь(0). (5,6,25) Воспользовавшись представлением корреляционной функции в виде Я1 (т) = Рьг1 (т), формула (24) для гауссовских процессов примет вид р($, $') = ехр ~ — ~(л — т1)' — — ~", (5,6.26) 2лР )à — г" (О) ( 2лР.
( гт (0) где вй 1 — гл (0) = — — гь (т) = — ~ га'51 (а) йаз - О. (5.6.27) 2лРт т=о Оказывается, что для дифференцнруемых стационарных случайных процессов совместная плотность вероятности р (9, $') является четной функцией относительно $'. Действительно, пусть р, Д„~ 21 („1,) — двумерная плотность вероятности значений процесса 9 (1) в два момента времени (, = ( — (Л/2) и (, = (+ (Л/2), где Л ~ 0 — малая величина.
Для днфференцируемого процесса 1, = $ — (л)2) Г, $, = $ + (л/2) Г, 1 = $ (1). Переходя'в р, (.) от переменных $„$, к новым переменным 9 и $' и учитывая, что якобиан преобразования равен Л, имеем Р6, Г)=)1шЛР, ~$ — — Г, $+ — Г; ( — —, (+ — ). (5,6.28) л, л, л л1 лз 2 ' 2 ' 2 ' 2) Но плотность вероятности р, Д„3,; („1,) удовлетворяет условию симметрии (т. е. не меняется при перестановке аргументов). Поэтому р($, Г)=, ($,— Г). (5.6.29) На основании выражений (3), (8) и (9) нетрудно убедиться, что для гауссовского нестационарного процесса $ (() с математическим ожиданием т1 (г) и корреляционной функцией )с,- ((„(,) формула, аналогичная (26), имеет вид рЯ(1) 5 И)) рК й Г) () г1(0) ы' х 2лат (1) а1 (1) ( ($ — тт (1))л ("З вЂ” т1 (1)) (е' — лм (1)) ! х ехр 2г,(1) 2 (1 — г'(С)) ~ а~~ (1) аь (1) а1 (1) 559 (4' — !и, (!1)4 + о' 1 (6.6.30) (6.6.31) Р(5, Г, $л) = Ре 6') Р ($, Г) Выполнив вычисления, при т1 = 0 получим РД еь', ль")= ехр( — — Х ! (2л)з!~в ут ( 22 Х (о~ Р+2о1Д" +ое $л'1 —— 2О', (6.6.321 (6.6.33) где 2 2 $ ( о~З = о~1 лт~ =- а)г~ы' (О); о,' = — а1 ге (О), у = О! Оз — с'!.
(6.6.34) Покажем, что введенный параметр у является положительным. С этой целью выразим его через спектральную плотность процесса. На основании соотношений (20), (21) и известного. равенства Й4=о! =- — ~ 51(ы) Ьа ! 2л можно написать А ! ( у — с 4 о3 — о~! = — ( 51(а!) Ло, ~ оЦ 51 (в,) йо.,— 4л' Г г — — ) 03 51(0)) ЬЭ .—. — ~ ') (О)~ ~— щ1 !з~з) Х 4л-' 4л." Х 51 (ы!) 54 (!зз) ЙО! й)ь иг (1, !,) г (г) = оа И) о! (О "!Я Повторив рассуждения, приведшие к формуле (22), можно прийти к выводу, что если стационарный процесс дифференцируем несколько раз, то производная т-го порядка не коррелирована с (т — 1)-й и (т + 1)-й производными, взятыми в один и тот же момент времени.
Применительно к гауссовскому стационарному процессу отсюда следует, что совместная плотность вероятности для з (1), а' (1) и $" (!) будет иметь вид Ясно, что здесь индексы можно поменять местами. Переписав это выражение с переставленными индексами и сложив с написанным выражением, получим у= — " ) (в1 — в~с)' БЬ(в1)5Ь (в,) йо1 с1вз) О. (5.6.34') зп',1 Поскольку спектральная плотность 34 (в) стационарного случайного процесса является положительно определенной функцией, то отсюда следует, что параметр у положителен.
Приведем выражение совместной плотности вероятности рз Я, $„ $', $,') для значений гауссовского стационарного дифференцируемого процесса $ = — $ (1), $, = — $ (1+ т) и его производных $' = — $' (1), $1' =- = $' (1 + т) в два момента времени 1 и 1+ т. Очевидно, что эти.четы.
ре случайные величины — совместно гауссовские. Совместная плотность вероятности их является нормальной, т, е. дается формулой (1.4.42), причем корреляционная матрица согласно (17) и (22) имеет вид Ро Рс О К 141 142 — )с" О о — К вЂ” и — К К О вЂ” К вЂ” К Йсс= И~ (О), Ис = Кь (т), К = сЯь (т)/с(т, К ==- с(2 Рь (т) 14(тз, К =- С(2 ЛЬ (т)!С(тз (с (5.6.35) А„= А„, А„=- Асо '112 124с '114 А22 С учетом этих соотношений согласно формуле (1.4.42) имеем рз ($, я„$', $;) =- (2п)-з ~ К ! ы' ехр ( — (2 ) 14 )) — ' х Х 1А11 (Я'+ 51)+Азз Я' + $1')+2А12язс+2А24 $ $1+ +2А12(К' — $, $;)+2А14(К; — $' $1)Ц. (5.6.36) Из корреляционной матрицы (35) находим выражения для алгебраических дополнений Аи =)со(йо — Йс ) + Ио К Ам =- — 'Йс (Ром — Рс ) — Йс Ис", А12 = К (74 о )сс — 1со К) А14 = К ()ссо )ссо — )со К+ )сс ), (56 37) 4зз= — Ко (Йо — Яс) — Но %4 Аоз = К Фо — Йс)+ Рс Рс, ~ К(=(4зз — Азс)4)со — 1сс).
Для простоты записей математическое ожидание процесса принято нулевым. Из (35) видно, что квадратная матрица является симметричной. Поэтому ее алгебраические дополнения удовлетворяют условию А„, = = А,„. Кроме того, можно убедиться, что справедливы также равен- ства ~ сч б з з М 1 б Ф 8 Я о й Р' Ю ы о х о 4 8 з О) З О~ о 6~" ~в)~ "з)4 ! Г 1 6 ) з + б С'4 ! $ б + з~а (в з~в :1-' И н е(ы В некоторых практических задачах (например, при анализе действия помех на пороговые устройства) необходимо оперировать с дифференцируемыми случайными процессами. В табл. 5.6 приведены примеры простейших, однопараметрических дифференцируемых нормированных корреляционных функций стационарных процессов. Дифференцируемые процессы можно формировать, пропуская шум (в частности, белый) через соответствующие интегрирующие цепи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
