В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 111
Текст из файла (страница 111)
(5.7.24) Ог Если выполняется неравенство Оз )) и, то в этих формулах можно полагать О, — Оз. 2. Если Оз=-и, то (1) = [(1+и!) 5+й,'1) е 4!40 1, г«(1, 1+т)=-Р е !т![!+ [ [ — (а[ [-[- +2ис (1+и [ с [-,г-2аз 10) е зас)1 в стационарном состоянии (при 1 -г- 00) )71 (т) =Рй е а! ! (1+и [ с !). 3. При Оз ( и, О = [~'аг — о„' = О, т, (!) =-. ($0 с!г згз 1+ з)г О. 1 ) с «40+СьО '1 — аг й!й. 10 Оз (5.7.25) (5.7.26) Я„(С, 1+т) =-Р е "! с![ с)г Оз т+ — зй Оз [ т [— ьг, аз и — [( 1 — —,) с)г о, .с+ — з)г О, (21+ ! т [) + Оз Оз из + — с)г О, (21+ [ т [) е (5.7.27) в стационарном состоянии (при 1-ь 00) и 775 (т) = Р е " ! ! ( с)г Оз т+ — з)г О, [ с [) . (5.7.28) ог, Если выполняется неравенство а )) Оз, то в последних формулах можно полагать о, и. Из полученных результатов видно, что начальные условия входят только в выражения для математических ожиданий; корреляционные функции не зази сят от начальных условий.
В том случае, когда начальные условия сз и зз являются не детерминированными, а случайными величинами и для иих задана совместная плотность вероятности р (50, 50), формулы для корреляционных функций ие изменятся, а прнведенные выше выражения для математических ожида- 573 ннй следует рзссмзтривать кйк условные математические ожидания, полученные при фиксированных значениях че и 5е'.
Безусловные математические ожидания теперь будут определяться осредненйем приведенных выше выражений с совместной плотностью вероятности р (зе, з,'): тй (Г) = ~ )Г сн (Г) р (еьз, еье) с%ос%а ° (5.7.29) Сюда следует подставлять свое выражение лд., (1) для кадкдого из трех й!зс сО частных случаев. (> р тат 1 Ра(1)-Гаел(1/ до о,2 () Пг ((4 Об ((у 1 1,г 1,4всв, Воспользовавшись формулой (5,2,19), можно убедиться, что спектральная плотность стационарного флюктуационного тока В (!) во всех трех случаях равна 5 (в)= —.
дсо вй (5.7.30) 2 (вз — вз)з+4аз вз На рис. 5.36 показан характер относительных спектральных плотностей 85 (в)155вдд длн тРех Укаэанных слУчаев. Если ивтересоваться не током К (Г), а случайным напряжением на колебательном контуре и (1) =7. — +7(Р. (!) =7. !( +2 ь (Г)~, ссз (1) Г с(Ч (Г) с(1 ( ЛГ (5.7.3!) то, пользуясь правилами дифференцирования случайных процессов, установленными в 9 5.6, и полученными выше выражениями, нетрудно найти математические ожидания и корреляционные функции для гауссовского случайного процесса т) (1).
Так, в первом случае (ве ) и) корреляционная функция напряжения д) (с) в стационарном состоянии согласно (24) равна с!з )74 (с) ! Г а (вд — 3пв) )7 (т) =5з ч с(сз + 4вз Яй (т) ~ = Р е " ! ! ~ соз вд т — Х в (вд+5из) Х э!пвд!т!~, Р =(в'+беса)5эР4 (5.7.32) Можно убедиться, что случайный ток в (!) с корреляционной функцией (24) является дифференцируемым, а случайное напряжение д) (!) с корреляционной функцией (32) — недифференцируемым. 574 Рис. 5.35. Воздействие флдоктуаций тока лампы на колебательный контур Рис. 5.36. Вид опюсительных спектральных плотностей В заключение приведем для первого случая (во ) а) выражение совмест- ной условной плотности вероятности Р (5 (!), 5' (!) ! 5о, $') для процесса 5 (Г) н его производной $' (!) в совпадающие моменты времени при заданных на- чальных условиях.
Это выражение дается формулой (5.6.30), в которой примени- тельно к данному примеру, как нетрудно убедиться, нужно положить а лд (!)=по, (!)= $о созвдг+ — з)пв11~!'+~ — з1пво!|е ьо во глд (!) = оп,, (!) = — з! и вд 1+ й'! й., й, а + 5о (соз вд ! — — з! п вд 1)1 е Вд ойа (!) =Ра уо (!), одо (!) =вод !Рй удо (!), уз (!) = 1 — ~ 1+ — з1п 2вд !+2 —, з! по вд!7! е Вд вд а 1ДО уод(!) =1 — (1 — — з!и 2вд!+2 — з)по вд!) е — зад, (5,7.33) Вд Од,* г, (!) = 2аво е з1повд!. — зон во у(!) 7,(!) В стационарном состоянии (при ! -1- оо) отсюда получим лдй — — тд=О, ой~ — — 115, од =во' Вй, гд =О, го — — — оооо. (5.7 34) 5.8. О ПЕРЕСЕЧЕНИЯХ ГАУССОВСКОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА Во многих прикладных задачах нужно знать различные вероятностные характеристики, связанные со случайными точками !1, в которых случайный процесс а (!) пересекает горизонтальную прямую с = А; т (!!) = Ь.
Здесь мы получим некоторые простые приближенные результаты для непрерывных гауссовских стационарных процессов т (!) с нулевым математическим ожиданием (пдо = 0) и известной корреляционной функцией 771 (т) = )7 (т) = Ог (т) в основном прн А = О. Итак, пусть И = О. Возьмем два момента времени ! и 1+ т. Очевидно, что если В(ОВ(!+т)~О, (5.8.!) то число нулей кривой $ (!) в интервале (А !+ т) должно быть нечетным (рис. 5.37, а).
Обозначим через р„(т) вероятность того, что процесс 5 (!) имеет нечетное число нулей в этом интервале. Тогда Ря (т) = Р (ь (!) ь (! + 'Г) ( 0). Для гауссовских процессов согласно формуле (3.3.25) нмеедг Рп (т) = ))/и или соя (при (т)) = г (т), (5.8.3) где соз 8 = г (г), 0 ( !) < 11. Если Рч (т) — вероятность четного числа нулей процесса $ (!) в интервале (А !+т), то рч (т) = Р (В (!). 5 (! + т) ) О) = 1 — (3 lп).
(5.8.4) При малых т естественно допустить, что в рассматриваемом интервале может быть не более одного нуля: Р„'(ъ) ск Р„(с), 5 т. е. можно пренебречь вероятностью наличия более одного нуля по сравнению с вероятностью рг (т) наличия только одного нуля. При этом сама вероятность р, (с) будет много меньше единицы. Ограничившись в разлогкении косинуса первыми двумя членами, из (3) получим 1 — пар'(т)72 г(т) или рт(т) (!7п) [гг2 [! — г (т)).
(5.8.5) Поведение рт (г) при малых т оказывается качественно различным для дифференцируемых и недифференцируемых корреляционных функций. Пусть корреляционная функция дифференцируема, Тогда вследствие четности корреляционной функции г(т) =!+го тз!2+..., гз — — баг(т)!с(тз [т — о. Пренебрегая здесь слагаемыми с высшими степепямн т, из (5) получаем рг (т) — т У вЂ” го 7гс (5.8.5) б/ Рнс. 537. К вычислению нечетного числа пересечений Следовательно, при малых т вероятность наличия одного нуля дифференцируемого стационарного процесса пропорциональна т.
Такое поведение позволяет взс-! сти параметр интенсивности нулей Х: Рг (т) — )т ) = [г гзгп. (5.8.7) Записав выра>кение для г,' через спектральную плотность 5 (ю) стационарного процесса $ (!), для параметра Х получим формулу Лз= ( зб( )б ( 5( )б . (5.8.8) Рассмотрим случай, когда первая производная в нуле г' имеет разрыв (например, нормированная корреляционная функпия г (т) = — ехр ( — сс[т!)). Гслн ввести правостороннюю производную от г (т) в нуле г (т) — 1 г,' =Пш т )О, т-.о т то можно написать г (т) = 1 + гз+ т + ... Пренебрегая слагаемыми с высшими степенями т, на основании (5) получаем рт (т) — [' — 2гое т! и (5.8.9) Теперь нельзя говорить о параметре интенсивности нулей, поскольку при т О вероятность рт (т) стремится к нулю как [гт.
формулы (5) и (9) обобщаются на произвольный уровень Ь. Так если обозначить р, (Л, т) вероятность наличия одного пересечения процесса $ (() с горизонтальной прямой в=-Ь (рис. 5.37, б), то эти формулы примут соотпетстзснпо нпд р, (й, т) (т [/ — г„"/и) схр ( — йз 720), рт (й, т) (~' — 2гз т)я) ехр ( — йз)2Р). 575 Доказательство приведенных формул для малых т базируется иа соотношении (3.3.27): рг(л, 'г)=Р([с(/) — Ь] [5(/+т) — л! < 0) Р(с(1) $(/+т)[< 0)ехр( — /гз/2/)).
Формулу (7) с небольшими изменениями можно применить к максимумам стационарного гауссовского дважды дифференцируемого случайного процесса я (1). Для этого вместо исходного процесса 5 (1) нужно рассматривать его первую производную $' (/) = г($ (/)/бй Процесс $ (Г) и интервале (/, /+ т) имеет максимум, если В' (/) > 0 и Ц' (Г + т) < О. Ограничиваясь рассмотрением малых т и пренебрегая наличием в малом интервале более одного максимума, для вероятности наличии одного максимума можем написать а,(т) Р($'(/) > О, 5'(/+т) < 0)=(1/2) Р($'(1) $'(/+т) < О!. Поскольку процесс я'(/) гауссовский и имеет корреляционную функцию )[1, (т) = = — /[1 (т) = — /7" (т) = — 0г" (г), то на основании формулы (3.3.25) имеем соз [2пдх (г)! = /71, (т) /)71, (0) = г" (т) /го . Поступая далее так же, как при выводе формулы (5), получаем Чг(т) — (1/2п)т [/ — бю/го, г[ю=б'г(т)/Нт'[т=о.
(5.8.10) Если ввести параметр интенсивности максимумов, т. е. записать 41 (т) = рт, то гы ) р'= — — '= ~ ю43(ы)бы/(2п)з ~ гэз3(ы)г(ы (2п)' го Вычислим вероятность наличия по одному нулю в двух малых примыкаю- щих временных интервалах. Для этого предварительно найдем условную веро- Ятность Рн (т) того, что слУчайный пРоцесс Я (/) имеет нечетное число нУлей внУ- три интервала (/, /+ т) при условии, что $ (1)=0 (рис. 5.38). Покажем, что эта вероятность определяется соотношением соз [урн(т)1 г (т) ( го [1 гз (тН) (5.8.11) Действительно, нетрудно прийти к заключению, что условие наличия не- четного числа нулей процесса при указанных ограничениях эквивалентно вы- полнению неравенства $' (/) в (1+ т) (О.
Следовательно, лиг(т) =Р(~'(1) Ц(Г+т) < 0[Я(/)=0). Введем формальные обозначения ьт = ь (Г) ьз = ь (/+ т) яз = Ь (/). Случайные величины $д, $„$з являются совместно гауссовскими и имеют нуле- вые математические ожидания. Поэтому условная плотность вероятности р ($„ 5з ! $ ) будет нормальной с нормированной корреляционной функцией 7=м(5з Ьз~ 5х) [м Д] Бх)! [М(Ц] Цт)]-1/'. Если записать выражение для рн (т) в виде Рн (т) ™(ьз ьз < О[эх=0), то на основании формулы (3.3.25) имеем соз [урн (т) ! = г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
