В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 115
Текст из файла (страница 115)
Фактическое определение плотности вероятности, связанное с вычислением преобразования Фурье от характеристической функции, как правило, не приводит к компактным результатам. Однако моменты выходного процесса определяются сравнительно просто. Согласно (52) логарифм характеристической функции равен л а'" 1.3 "(2 — 1) С !пО(О)л а ~~ ( — 1)л — глзл ~ дтл(а) г(з (5*9 53) (2л)1 з 2 4 2л л=! о Сравнивая это выражение с (1.3.48), находим кумулянты, а затем по формулам (1.3.52) и моменты. В частности, коэффициент асимметрии выходногу процесса равен нулю, а для коэффициента эксцесса получим выражение 1 — 2 ) да (5) ла ) яз (а) лз о о (5.9.54) В тех случаях, когда коэффициент эксцесса близок к нулю, плотность вероятности выходного процесса будет близка к нормальной. Приведенными результатами при некоторых допущениях можно воспользоваться для анализа воздействия атмосферных и индустриальных помех на радио- приемные устройства.
5.10. НОРМАЛИЗАЦИЯ СЛУЧАИНЫХ ПРОЦЕССОВ ИНЕРЦИОННЫМИ СИСТЕМАМИ На с. 482 указывалось, что если на вход линейной системы воздействует гауссовский случайный процесс, то на выходе системы получается также гауссовский случайный процесс. Рассмотрим теперь случай, когда негауссовский процесс 9 (1) с временем корреляции т„воздействует на инерционную линейную систему (с постоянной времени т, » т„) интегрирующего типа. Оказывается, что процесс П (1) на выходе такой системы приближается к га- УССОВСКОМУ ПО МЕРЕ УВЕЛИЧЕНИЯ ОТНОШЕНИЯ тс1т„. ЭГОт РЕЗУЛЬтат ЧаСтО называют пилением нормализации случайных процессов, поскольку по крайней мере одномерная плотность вероятности выходного процесса приближается к нормальной при увеличении той„. 592 Прн оценочных расчетах этой формулой можно пользоваться в допредельном варианте, если, конечно, во много больше величины, обратной постоянной времени огибающей я (1) импульсной характеристики.
Если, например, амплитуды импульсов имеют нормальную плотность вероятности с нулевым математичесним ожиданием и дисперсцей Рд, то согласно фор. муле (1лк16) Во избежание недоразумений примем следующие определения величин т, и т„. Если линейная система является простой (в том смысле, что различные разумные определения постоянной времени т, дают примерно одну и ту же величину), то в качестве возможного определения постоянной времени системы можно принять следующее: т,=(й, ( з ) )й(1)(ог, (5,10.1) о где й (1) — импульсная характеристика линейной системы и Й „,— ее максимальное значение. Если же линейная система сложная и характеризуется незколькими постоянными времени, то в качестве общего времени т, нужно брать минимальное из них.
Когда входной случайный процесс является простым (различные определения т„приводят примерно к одинаковому результату), то в качестве оценки т„можно пользоваться формулой (2.2.37). Если же случайный процесс характеризуется несколькими временами, то под т„нужно понимать максимальное из них. Явление нормализации случайных процессов при линейных преобразованиях интегрирующего типа является прямым следствием центральной предельной теоремы, доказательство которой при весьма общих условиях было дано А. М. Ляпуновым и впоследствии развито в ряде работ советских ученых. Напомним, что если Х„Х„..., Մ— независимые лучайные величины, имеющие конечные математические ожидания и дисперсии, то плотность вероятности суммы К= ~Х,. з=! (5.10.2) з !а> р! — ~! р(т " !!и!1, !з!о4! 2 / ~ СР/зт! Ь=з и приближается к нормальной при увеличении числа слагаемых и.
Приведем общие результаты, позволяющие количественно оценивать степень приближения плотности вероятности к нормальной. Согласно формуле (1.3.49) характеристическую функцию любой случайной величины У можно представить в виде бесконечного ряда я„ Ог(й)=ехР ~ — ""ч ()й)!'1=ехР11йт„— " ) Х и=1 х *![~ "(!з! 1, (5.10.3) т! т=з где и„— математическое ожидание; )9з — дисперсия и кв т — кумулянт т-го порядка случайной величины У. Если перейти к нормированной случайной величине У = (У— — ! /3 — пзз) Х)„, имеющей нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию, то для нее формулу (3) следует записать в таком виде: 20 зак.
ззз 593 Вместо У рассмотрим сумму независимых нормированных случа( ных величин г,=- ~ (Х,— т;)Пс '/~, т;=М(ХД, П,=М((Х; — т;)'). (5.10.5 1=1 Ясно, что М (Л) = и, = 0 и П, = и. Если обозначить т-й кумулянт /-го слагаемого через х, ч то л х, =~и,„ ! ! так как кумуляиты одного порядка суммы независимых случайных величин складываются.
Поэтому формула (4) применительно к нормированной случайной величине Й = У/1» и принимает следукаций вид: е-(а~= р( — — ) р т "" Ои)"]. (и.~о.ц ) п /зт~ ч=з Когда все слагаемые Х~ в сумме (5) одинаковы, т. е. имеют одну и ту же плотность вероятности, то их кумулянты одинакового порядка равны: и, ч = х„ / = 1, 2, ..., и. Поэтому,, = пкч и 2 ) йа~ пч/2 — ! т~ р( — "1 рГ ~ циг.»~аа~'+...]. з|оп 2 / )З~ )/а 4!п Если все кумулянты.
конечны, то 1! гп 62 (11) = ехр ( — Й'/2), (5.10.8) и-» т. е. характеристическая функция нормированной суммы одинаковых независимых случайных величин с увеличением числа слагаемых стремится к характеристической функции гауссовской случайной величины. Степень приближения или меру отклонения можно количественно оценивать значениями первых, отличных от нуля, кумулянтов х„и, и т. д. В том случае, когда слагаемые Х; различны, но кумулянты их ограничены, для каждого порядка можно выбрать наибольший кумулянт, допустим х,, „„. Тогда и, ч пн,,,ш, и придем к прежнему результату.
Определим смешанные кумулянты и„~ двух сучайных величин У, и У, с помощью формулы Это выражение по-прежнему можно расчленить: выделить двумерную нормальную характеристическую функцию, умноженную на экспонен- циальный поправочный множитель.
Перейдя затем к нормированным 594 1нп 6- -(()„й,) = ехр ( — Й1/2 — Й3/2 — г(1, й,). (5.10.11) й-~ Недостаток оперирования с характеристическими функциями состоит в том, что получаемые результаты лишены наглядности. В этом отношении всегда желательно иметь дело с плотностями вероятности. Чтобы перейти, например, от характеристической функции (3) к соответствующей плотности вероятности гр~ рг(у)= — ~ Ог(11)е — >"УгЯ= — ~ ехр[ — 1йу+1йт — Р— ~ х 2я .~ 2я "2~ р[~ "" (1ч ~~, ч! чг а (5.
10. 12) нужно выполнить дополнительные операции: 1) разложить каждый из экспоненциальных сомножителей (прн ч ) 3) в степенной ряд 2) получающиеся ряды перемножить и сгруппировать члены с одинаковыми степенями Й; 3) выполнить в (12) интегрирование. После этого придем к следующему результату (ряд Граиа — Шарлье)' р,(у)=р(у) ~ — ' '" Н„('У:), (5.10.13) где р (у) — нормальная плотность вероятности: (5.10.14) 20* 090 случайным величинам Уг и 1~м получим обобщение формулы (4) на двумерный случай: О- — (й„й,) = ехр ( — Й1~/2 — Й3/2 — г(2, й,) х Г" мяч р т, т Оа,~ цяг~ эйюйч ш+ч) м где г — коэффициент корреляции между случайными величинами Уг и 1',; Р, и Р, — дисперсии этих случайных величин. Если, пользуясь этой формулой, перейти к случайной величине Л, представляющей собой сумму п независимых случайных величин, то получим, как и раньше, что кумулянты одного порядка складываются, а второй экспоненциальный множитель стремится к единице при увеличении числа слагаемых: Н„(у) — полиномы Чебышева — Эрмита (1 4.37).
Так как эти полиномы ортогональны с весом ехр ( — р92), т. е. Н„(х) Н (х) е — "~' дх = и1) 2п б „= О при гала, то коэффициенты Ь„называемые квазилолекгпами, определяются фор- мулой Укажем, что перечисленные утомительные преобразования, позволяющие перейти от характеристической функции (3) к плотности вероятности (13), можно не проделывать, а сразу воспользоваться следующей теоремой: пусть рг (у) — функция с интегрируемым квадратом ~ рг(у) )з г(у( со. Тогда м з !пп ( рг (у) — р (р) т †' " Н„ (у) г(у = О.
и ~аи~ а~ ри/2 л=О Практически функцию рг (у) нужно знать с некоторой конечной точностью. Поэтому вместо рг (у) можно взять конечную сумму первых членов ряда, причем число слагаемых Н будет зависеть от требуемой точности и вида функции рг (у), а также от выбора величины и и Р. Обычно можно ограничиться учетом небольшого числа первых членов ряда в тех случаях, когда плотность вероятности по виду не очень сильно отличается от нормальной, а именно: 1) она является одновершинной (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
