В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Укажем, что )7ы ™ (Б[) =/7 /7зз ™ (Ба) =/) /эзз™ (Бз) = )Ого р12 М (ьг и рг (т) / 13 М тьг Бзг О /7 за ™ (еьз 5з) = — Р г' (т) . Поэтому применительно к рассматриваемому случаю формулы (!.4.60), (1 4А1) принимают вид 19 зэк. ззз 577 М [Ц ] $д — О] =]7 [! — гэ (т)], М (Д ! 5т=О) = — Нгэ, М (~э $з ] 5г — 0) = — Нг' ('г), Подстановка этих выражений в формулу для г приводит к (11). Получим теперь условную вероятность р„(т, т+ е) наличия нечетного чис-.
ла нулей процесса ь «) в интервале (1+ т, !+ т+ а), считая по-прежнему $ «) = 0 (рис. 5.38). Очевидно, что Рн (т, т+ е) = Р (Ч «+ т) й «+ т+ з) < 0 ! ь «) = 07. Эта вероятность находится так эке, как выше. Введя обозначения я, = я «), яа = й «+ т), 5з = $ «+ т+ е), имеем ]7тз = 77г(т), Нзз = Т!г(з), Нзз = — П, М(Ц]йг=.О)=О [1 — гз(т+е)], М(Яэ5,]Цт=О)=В [г(а) — г(т)г(г+а)]. Следовательно, г (з) — г(т) г (т+з) соз [пр„(т, с+з))— (5.8.12) ]Г [1 — э (т)] [1 — з (т+ з)] Формулы (11) и (!2) при малых т и е позволяют оценить вероятности наличия по одному нулю процесса на примыкающих интервалах, а также составить некоторое представление о величине временных интервалов между соседними нулями стационарного гауссовского процесса.
В заключение приведем решение следующей практической задачи. Пусть на пороговое устройство типа электронного реле воздействует сумма детерминированного импульсного сигнала з «) и помехи $ «) малой интенсивности. Считаем, что пороговое устройство является безынерционным: оно срабатывает каждый раз, когда воздействующее напряжение превышает некоторое пороговое значение Н.
Пусть в отсутствие помех реле срабатывает от полезного импульса з «) в некоторый момент времени !э (рис. 5.39), определяемый равенством з (!э) =- Н. При наличии помех с «) реле сработает в другой момент времени !э = !э + А, где Л вЂ” смещение момента срабатьманпя Реле. Ясно, что смещение Л является случайной величиной, разной для разных реализаций помех. Предположим, что помеха 5 «) представляет собой стационарный гауссовский дифференцируемый процесс с заданной совместной плотностью вероятности Р (ь, ь') для процесса э (г) и его производной я'(г) в один и тот же момент времени. Поскольку воздействующие помехи 5 (г) предполагаются малыми, то смещение Ь будет тоже малой величиной.
Для малых значений Л функции з «) и $ «) можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки !э и ограничиться линейными относительно Л членами (линейное лриблилгение): з (!з+ ь) — з «а)+за й ° зо = з' «а) =г(з «)/б! ]!=г,ъ (5.8.13) Б(Ге+А) =$«,)+$ «,) й, $ «,)=дБ(!)!б!]!=!.. Пода,' понимается крутизна фронта импульса з «) на уровне Н. При фиксированной производной $' «,) реле сработает, если выполняются два неравенства: з (Гэ) + $ «,) < Н и з «э+ Ь)+я (!э+ Л) ) Н.] "С учетом линейного приближения отсюда следует, что Н вЂ” з«э) — [зз+$'«оН3 < я «а) < Н вЂ” з«з).
(5.8.14) Зги неравенства могут выполняться совместно только при условии 5'«,) > — з,. (5.8.15) Зная совместную плотность вероятности р ($, я') с помощью неравенств (!4) и '(15) можно записать выражение для вероятности Р пересечения уровня Н в интервале времени йы 578 Р= ~ %' ~ р(5,$') %. (5.8.16) — в' Н вЂ” в — в'Ь $'Ь о о Для стационарных случайных процессов с независимой производной (5.6.24), т. е, при р (З, $') = р ($) рй,($'), эта формула принимает вид Н-в Р= ~ р, (Г)3$' ~ р,6) $. — в о н — — 'ь-а ь о Учитывая малость смещения Ь и применяя к внутреннему интегралу теорему о среднем значении, получаем Р=вв,>й(Н вЂ” з (го)) ) (во+в') Р1, (ь') вв ', (5.8.17) о Ю уз го Рис.
5.39. Нестабильность сраба- тывания реле из-за помех Рис. 5.38. К вычислению пересечений на примыкающих интервалах Применительно к стационарному гауссовскому случайному процессу з(1) эта формула согласно (5,6.25) примет вид Р= Ьрй (Н вЂ” з (1«)) ~з,' Ф( — )+ = ехр ~ — —,)! !, а«= ) ГРй, (5 8.!8) (, пт,) 2п (, 2пвв Г'3 ' О з'в рв (Н вЂ” з (С)) ~во Ф ( — ) + = ехр ( — — ', ) ~, (в < 1 < 1«, 1<бы 1>1„ О.
(5.8.19) прнчем 11 и 1в должны быть такими, чтобы выполнялось условие нормировки р(1) ьв(=!. в (5.8.20) 579 19' где рй(х) — нормальная плотность всроятности (2.5.13); Ф (х) — интеграл вероятности. В качестве количественной характеристики нестабильности момента срабатывания реле из-за помех естественно принять дисперсию Вь случайной величины Л. Однако при определении ее мы сталкиваемся со следующей трудностью.
Выражение (18) определяет вероятность наличия пересечения уровня Н лишь в малом интервале (Го, 1, + Л), а для вычисления 0ь нужно знать плотность вероятностн случайного смещения времени срабатывания реле р (Л) для любых Л. Допустим, что можно выделить интервал времени (1в, (в), для которого вероятность наличия ровно одного «положительногов пересечения уровня Н близка и единице. Тогда плотность вероятности р (1) можно доопределить следующим образом: Очевидно, что этим равенством величины (т и 1, определены неоднозначно.
Введем среднее время срабатывания реле относительно выбранного начала 1=) !р(() ~. 1 (5.8.21) Тогда Гт и Гз можно доопределить равенством Т 0 ) р (!) б! = ) р (г) бг. 0 (5.8.22) Теперь Гт и (з должны находиться как результат последовательного решения системы уравнений (20 — 22). Применимость формулы (!9) можно оценить следующим образом. Если на интервале Л имеется более одного пересечения уровня Н, то должно быть по крайней мере одно пересечение уровня Н сверху вниз.
Повторив рассуждения, приведшие к формуле (16), нетрудно убедиться, что вероятность такого исхода равна — 5 и 5 — 3 ь — ч ь г(Г ) р('с 'з') "я. Н вЂ” в Применительно к гауссовскому стационарному процессу я (Г) вместо (19) полу- чим р- (() = рй (Н вЂ” з (()) [ — аз Ф ~ — — е !!+ =' ехр ~ — — ', ~~, Г, < 1 < Кз. о, ) 2п т 2птз ! (5.8.23) Очевидно, что если справедливо неравенство 0<)" р-(1) и << ! ° (5.8.24) то можно пользоваться формулой (19). При этом дисперсию времени срабатыва- ния реле находим по обычной формуле 0 Р )" (( 1)ар(1) л1 (5.8.25) с, Из (19) и (20) следует, что 1=; — ~ — ") о ( з," р "р'2п '(, 2о! ) =ехР~ — — )Р (Н вЂ” з(Г))й=1 — ) ззФ~ — Р (Н вЂ” з(С))Й. Н г, (5.8.26) С учетоы (23) и (26), а также равенства Ф (х) + Ф( — х) = 1 условие (24) принимает вид 0<1 — ( з',р, (Н вЂ” (Г)) б!<<1.
(5.8.27) зоФ( — )= =ехр( — — ", ) 580 Если интенсивность помехи очень мала и можно считать р-(Г) = 0 в интервале 41т, Гз), то справедливо равенство Прн выполненнн этого равенства формула (19) упрощается: р (Й= ао Рз (Н вЂ” э (г)), гг ( ( ( те, о, г((г, г>) . (8.8. 28) 8.8. ВОЗДЕЙСТВИЕ ИМПУЛЪСНЪ|Х СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ЛИНЕЙНЪ|Е СИСТЕМЫ Формулировка задачи о преобразованиях импульсных случайных процессов линейными системами остается такой же, что н для других случайных процессов. Если известна ковариационная функция исходной случайной последовательности импульсов, то для определения ковариационной функции процесса, получающегося на выходе линейной системы с заданной импульсной характеристикой, следует воспользоваться формулой (5.2.5).
Гораздо сложнее решается задача определения плотности вероятности выходного процесса. Физически ясно, что при воздействии на линейную инерционную систему случайной последовательности как неперекрыва|ощихся, так и перекрывающихся импульсов процесс на выходе системы в каждый момент времени будет представлять собой результат весового суммирования перекрывающихся импульсов, появляющихся до рассматриваемого момента времени.
При аналитическом определении плотности вероятности выходногО процесса применяются два метода: последовательное вычисление моментных или кумулянтных функций на выходе линейной системы по формулам (5.2.3), (5.2.4) с последующим восстановлением по ним приближенного выражения плотности вероятности на основании (1.3.45р и (1.2.23); использование аппарата марковских процессов. Реализация первого метода сопряжена с некоторыми вычислительными трудностями. Во-первых, предварительное определение моментных или кумулянтных функций по обычно задаваемым вероятностным характеристикам исходного импульсного случайного процесса оказы.- вается сложным и громоздким.
Во-вторых, процедура вычисления моментных или кумулянтных функций высокого порядка процесса на выходе сйстемы является трудоемкой. В-третьих, получаемое выражение плотности вероятности выходного процесса в виде ряда неудобно. Лишь в некоторых частных случаях таким путем удается получить компактное выражение для плотности вероятности (см. пример 5.9.1). Метод марковских процессов применим тогда, когда процесс на выходе системы может быть сведен к дискретно-непрерывному процессу, описываемому уравнением Колмогорова — Феллера. Он оказывается результативным, как правило, лишь в случае линейных систем, описываемых дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
