В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 113
Текст из файла (страница 113)
пример 5.9.2). Если входной импульсный процесс имеет вид профильтрованного пуассоновского процесса, то выходной процесс будет такого же вида и для него выражения одномерной и двумерной характеристических функций определяются формулами (2.7.83) и (2.7.84), в которые нужно подставить конкретные выражения функций й (1, т, ь) (см пример 88| 5.9.3).
Пронлл!Острнруем методику применения указанных трех методов на простых частных примерах. Пример 5.9.1. Воздействие случайного симметричного двоичного сигнала на интегрирующую цепь ЯС [44, 186,!87[. Найдем стационарную плотность вероятности для процесса ч (1) на выходе интегрирующего кс-фильтра (рис. 5.40), когда на его вход воздействует случайный двоичный сигнал в (1) (см. пример 2.2.2). Сигнал 5 (1) в любой момент времени 1 может принимать одно из двух значений хг = 1 и х, = — 1 с одинаковыми вероятностями р (хг) = р (х,) = = 112.
Моменты скачков (перемен знака) распределены по закону Пуассона, т.е. вероятность получения и скачков на временном интервале длительностью с определяется формулой (2.7,24): р„(г) .= (тт)" е тт!п 1; и= О, 1, 2, ... (5.9.1) ~(1) 1 Рис. 5.40. Воздействие случайного симметричного двоичного сигнала на интегрирующую цепь )7С Согласно (5.2.1) процесс ч (1) на выходе цепи в стационарном состоянии определяется выражением Ч (1) =)г й (и) $ (1 — и) би, (5.9.2) о где й (и) = ае ии; а = 1/)[С вЂ” импульсная характеристика РС-фильтра. Поскольку математическое ожидание рассматриваемого случайного симметричного двоичного сигнала $(1) равно нулю, то М (Ч (1)) = О.
Повтому начальные и центральные моменты процесса ч (1) совпадают; согласно (2) они равны щЬ=М(па(1))=)г ... )г й (иг) ... Ь(иа) М(В (1 — ид) ... $(1 — иь))бит диа. о о (5.9.3) Считая входной процесс в (1) стационарным и учитывая, что й-мерная моментная функция зависит только от й — 1 временных интервалов, можем написать м(я(1 — иг) ... $(1 — иь))=та д(ит — и„иг — из, ..., иг — и!). (5.9.4) Докажем, что (г+ 1)-я моментная функция М($ (1) В (1+и,) ... $ (1+иг)) =тг (ию и„..., и ) (5.9 5) в области значений аргументов — ее<из<из« ...и„<ао (5.9.6) или наоборот равна (ехр [ — 2т ([ и![ †[,[ +[ из[ — ...
+[ и [)[, г †нечетк, О, г †четн. (5.9.7) В других областях, получаемых перестановкой переменных в цепи неравенств (6), пс дается соответствующими перестановками в правой части (7). Воспользуемся методом математической индукции. На основании (2.2.64) формула (7) справедлива при г = 1. Допустим, что формула (7) справедлива прн г =л, где п — целое нечетное число.
Покажем, что она будет справедлива н прн г = п+ 2. Обозначим $ (1) = $о, $ (1+ и;) = $с, с =1, 2, 3, ..., г. Пусть — сод < ид < из « ... и»+з < оо и ис.ы > О. При этих условвях из записи М ($о $д 5»+о) = М ((5о $д ". 5») (5»-ьд |»+в)) следует, что значения $„...., $» находятся левее временного интервала (1+ и»+д, Г+ и»+о).
При этом число скачков процесса $ (1) в этом интервале не зависит от значений $о, ..., $». Поэтому М (5о $д " ° $»+з) = М ($о Цд ° 5») М (5»ь15»ьз) =ехр [ — 2т (! ид ! — ! и, [+ +... + ! и» !)] ехр [ — 2т ! и»ьо — и»~од [] = ехр [ — 2т (! ид ! — ! ио [+... + ! и»~з [Н . Если и„„д < О, то М (Бо Бд ° ° ° Ъ»го) ™ ((сод еьз) (Ьо Бз ° ° ° 5»+о)) ™ (Бд 5о) М (Бо Бз ° 5»+о) = =ехр! — 2т ! ид — и [] ехр [ — 2о (! из! — ! и,[+... +! и„+о Щ= = ехр [ — 2т (! ид ! — ! ио [+ ! ио ! —...
+ ! иод+о !)]. Следовательно, формула (7) верна для любого нечетного числа г > 1. Если г— четное число и иг ) О, то М (Ьо 5д ° ° ° Бг) = М ((%о 5д ° ° ° 5г — д) 5г) = М (Бо Ьд ° ° ° Цг-д) М (Бг) = О ° так как М (5 (1)) = О. При и„< О получим М (Бо 5д ° ° ° зг) ™ (Бд) М (Бо со ° ° ° зг) = О ° При любой перестановке аргументов в последовательности неравенств (6) применимы аналогичные рассуждения после надлежащих перестановок сомножителей под знаком математического ожидания, приводящие к соответствующим перестановкам слагаемых в показателе экспоненциальной функции в правой части (7). Сопоставляя выражения (4) и (5) и учитывая (7), получаем, что в области значений аргументов (5.9.8) О < из <ис, д « ... ид < оо справедлива формула ехр [ — 2т (и,— из+... — ии)], й — четное, М($(1 — ид) ...
$(1 — иь))= О, й †нечетн. (5.9.9) Для такой области значений аргументов правая часть выражения (3) при й четном принимает вид и, ио иь-д аз~ с(ид] асио]' с[из ... ~ ехр [ — 2т(ид — ио+ ..„— иа) — а(ид+...+иь)]с(из о о а при го нечетном она равна нулю. Заметим, что интеграл (3) берется по первому сквадратуо л-мерного пространства переменных ид. Его можно разбить на И подобластей, каждая из которых определяется перестановкой переменных ис в системе неравенств (8). Каждая из таких подобластей дает одинаковый вклад в интеграл (3), так что и 4-д та=аоИ] с(ид ... ] ехр [ — 2т(ид — и,+ ...— иь) — сс(ид+...+из)]с(из з о при л четном и тли = О при гс нечетном.
583 Выполнив вычисления (например, пользуясь методом математической индук- ции), при й четном окончательно получим (й/2)! 2З/з 21 — 1-1-2ч /сс (й — 1)11 (5.9.!О) (1+ 2т/а) (3+ 2ч/а)... (/г — 1+ 2ч/а) В частности, дисперсия процесса 1) (/) равна 17п = тз = 1/(1 + 2ч/а). Убедимся теперь, что моментам (1О) соответствует плотность вероятности р(у)= 1' (ч/а+1/2) (1 Уй)(т/а1 —, ! у ! (1, (5,9.11) т а — 1,: ')/и Г (т/а) где Г (х) — гамма-функция. Действительно, поскольку эта плотность вероятности есть четная функция относительно у, то все моменты нечетного порядка равны нулю, а для моментов четного порядка получим 1 Г (т/а+! /2) ~ З „з) ст/а! — 1, ~~ Г(./) 1 ) з (1 — 2) с(з= Г (ч/а+1/2) Г сь 11/з 1 /а1 '1,' йГ (ч/а) Г (ч/а+!/2) Г (й/2+1/2) Г (ч/а) (/и Г (ч/а) Г (/г/2+1/2+я/а) (й — !)!1 — тз. (1+2ч/а) (3+2ч/а)...
(й — 1+2ч/а) Следовательно, плотности вероятности (!1) соответствуют моменты (10). Единст- венность представления плотности вероятности (! 1) по моментам (10) следует из того, что случайный процесс з) (1) на выходе цепи /7С ограничен (см. с. 54). Укажем, что рассматриваемую задачу можно решить другим методом, а имен- но применением обобщенного уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова и последующим решением его [44). Естественно, что при этом получается тот же результат (1!). Пользуясь асимптотическими и частными значениями гамма-функции при частных значениях параметра ч/а, выражение плотности вероятности (11) мо- жет быть упрощено. Некоторые из таким образом полученных результатов при- ведены в табл.
5/7 (188). Пример 5.9.2. Воздействие вуассоновских дельта-импульсов на интвгрирую- щую цепь РС (188), Предположим, что нас интересует плотность вероятности для напряжения т) (1) на конденсаторе С (рнс. 5.41), когда вз вход интегрирующей цепи )1с воздействует случайный импульсный процесс $ (1) = х А16 (1 — 11), где 6 (х) — дельта-функция, !1 — момент появления счго импульса. «Амплитуды» импульсов считаются взаимойезависимыми случайными величинами с плотно- стью вероятности рз(А); моменты появления импульсов 11 не зависят от ампли- туд Аа и описываются законом Пуассона (!).
Дифференцяальное уравнение, определяющее напряжение на конденсаторе, имеет вид — + аз) =а ~ А; 6 (1 — 11), сс=!.ЯС, 1 ) !! ° с!г) (5.9.12) Таблица 5/7 Плотности вероятности при разных значениах т/а Внвченне пврвнетрв т/а Анвлитнчеекое внрвжение плотности вероятности р!у) Грвфнк р!у! гв т р(г) ==ехр 1=/1, )ттйп [, 2! ) г 1( -1 0 / 2 р (у) = — ')тг! — ув, ! у 1(1 3 а .
2 ' У вЂ” =1 а у /у т т — 1 р(р) (1 — ув), )у)~~! У вЂ” (1 а / у Пусть начальное напряжение на конденсаторе равно т) (0) = !)е. Записываем об- шее решение этого линейного уравнения 535 лг т) (Г) =т)в ехр ( — а!)+а ~~ Аг ехр ( — а (! — /!)), 1) /г, (5.9.13) г=о где пг — случайное число импульсов, появившихся до момента времени Г включительно.
Характер изменения процесса Ч (1) во времени показан нз рис. 5.41. Между дельта-импульсами происходит плавное уменьшение напряжения, а в момент появления очередного импульса с амплитудой А; напряжение скачком увеличивается на величину аАь С учетом (1) и (12) уравнение Колмогорова — Феллера (2.6.142) для рассматриваемого примера принимает вид д д — р (' ч) =а (ч р (т чц — р (г ч)+ дг бч + — „~ р(1, Ч') рл ( „) АЧ'. (5.9.14) Ю1) А( 1 7 ь ~(1) гг'о ьр ь! ьр ь! 22 Рис. 5.41. Воздействие пуассоновских дельта-импульсов на цепь )гС Решим это интегро-дифференциальное уравнение при помощи преобразования Фурье. Для этого введем характеристические функции 6 (1, и) = ) р (г, ч) е!пи с(ч, ел (и) = ) рч (А) е!цл АА (5.9.15) Умножив обе части уравнения (14) на ехр (1 й Ч) и проинтегрировав по Ч в бесконечных пределах, получим следующее дифференциальное уравнение в частных производных для характеристической функции 6 (1, И): д д — 6 (Г, И) = — ай — 8 (Г, И)+ч (!зл (ай) — 1) В (1, И).
Г(5.9.16) д( ' дй Положим Ч.' (Г, И) = ехр (Ч' (1, И)). (5.9.!У) Тогда нз (16) имеем д д — Ч~ (т, И)+ай — Ч~ (г, И) =и [6 (ай) — 1]„ дт дй Общее решение этого неоднородного уравнения можно искать в виде суммы частного решения уравнения (18) и общего решения однородного уравнения д д — Ч'(1, И)+ай — Ч (гз И) =О.
д! ' дй (5 9.19) Допуская существование стационарного распределения, возьмем в начестве частного решения уравнения (18) функцию Ч'м (И), соответствующую стационарному состоянию и потому не зависящую от времени. Полагая в (18) УГ/Ж = О, записываем решение г 1 Ч'м (И) =Чтм (0)+ч — (юл (ах) — 1) ох. х е 586 Из первой формулы (15) и равенства (17) следует, что всегда (в том числе и при С -~ со) выполняется равенство В (С, 0) =ехр [Ч' (С, 0)) =1. Поэтому Ч',с(О) = 0 и !а Чс (й) т ~ [В ! (ах) — 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
