В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Пусть требуется найти вероятностные характеристики процесса т[ (1). Принципиальные возможности решения данной задачи при помощи флюктуационных дифференциальных уравнений такие же, как при использовании импульсных характеристик (см. с. 488). В частности, компактное и точное решение можно получить для гауссовского процесса. Если $ (г) — гауссовский процесс, то процесс на выходе линейной системы т) (1) будет тоже гауссовским и дело сводится к вычислению математического ожидания и корреляционной функции процесса и (1). Приведем здесь решение этой задачи: считая известными математическое ожидание т~ (1) и корреляционную функцию ЙЗ (1„1,) процесса $ (1), найдем математическое ожидание тч (1) и корреляционнУю фУнкцию йч (1„1,) длЯ пРоцесса т) (1). При фиксированном 1 каждый член в уравнении (1) есть случайная величина.
Беря математическое ожидание от обеих частей и учитывая формулу (5.6.11), получаем а„т~,"~ (1)+ а„, пг~," 0 (1) + ... + а, тч (() = ть (1), (5.7.3) где т„(1) =- М (т[ (1)), пь (1) = М (з (1)). Поскольку согласно (2) начальные значения первых п — 1 производных и (1) равны нулю, то т„(0) == тч(0) =- ... == лг~," "(0) =-О, (5.7.4) Таким образом, математическое ожидание, являющееся детерминированной функцией времени, определяется обычным линейным дифференциальным уравнением (3) с нулевыми начальными условиями (4). Методы решения таких уравнений известны.
Зная правило вычисления математического ожидания, для упрощения записей примем, что в уравнении (1) фигурируют центрированные случайные процессы $ (1) и т) (1), т. е, процессы с нулевыми математическими ожиданиями. Положим в уравнении (1) ( =- 1, и умножим обе части его на я (1,): ~(1) [а„т[оо(1з)+а„, Ч~" — "(1х)+" -'га,п(1з)) — $(1) $(12). (5 7.5) Согласно формуле (5.6.13) можем написать дай (й, ~,) М ($ (1,) т[~" ((,)) =, с =- 0 1 ... и — 1. д~~ Поэтому, взяв математическое ожидание от обеих частей равенства (5), получим д" Лгч (й ~2) д" ' дзч (й, ~~) а " +а ч + + з~л з~л — ~ + пз ~~эч (11 ~2) )~1(~1' ~2) (5.7.6) Взяв математическое ожидание, получим аз 17 (С С ) ба — 1 17 +а~-т +" +ао)тч((ысе)=)сйч(сх сз).
з(а 0Сз — 1 (5.7.8) На основании (2) имеем Ч'с! (0) Ч (сз) = О. Операция математического ожидания дает начальные условия для уравнения (8): д%ч (Ою (з)lд(сз — — О, !' = О, 1, ..., п — 1. (5.7.9) Если математические ожидания процессов й (с) и Ч (!) не равны нулю, то в уравнениях (6) и (8) нужно заменить корреляционные функции на соответствующие ковариационные функции. Отметим, что хотя в (6) и (8) формально фигурируют частные производные, однако по существу каждое из них является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением: первое относительно переменной йм а второе относительно (с,[(ля получения интересующей нас корреляционной функции )сч (с„сз) нужно сначала решить уравнение (6), а затем (8).
Комбинируя (6) и (8), можно получить диффе: ренциальное уравнение, выражающее )сч (г„гз) непосредственно через )сй (г„сз). Однако ввиду громоздкости оно не приводится. Нроиллюстрируем это на примерах. Пример 5.7.1, Нестационарный дробовой шум. Рассмотрим линейное флюктуационное уравнение первого порядка — + аЧ (С) = Н (С), Ч (0) = О, с(ч (с) (5.7.10) где $ (С) — стационарный в широком смысле процесс со следующими характеристиками: ть (С) =Л, 17ь (т) =Лб (т), Кй (т) =Лз+Лй(т).
(5.7.11) Можно показать [201, что такие характеристики имеет случайная последовательность дельта-импульсов, моменты следования которых распределены во времени по закону Пуассона с параметром интенсивности Л. Позтому уравнение (1О) определяет процесс Ч (С) на выходе интегрирующей цепи типа С!С при воздействии на нее пуассоиовских дельта-импульсов. Выходной процесс Ч (С) можно трактовать как частный случай дробового шума.
На основании (3) и (4) имеем сл' (С)+ссснп (С)=Л, слп (0)=0, и! следовательно, математическое ожидание выходного процесса равно (рис. 5.34, и) т„(С) =(Лlа) (1 — е "с). (5.7.12) 570 Чтобы задать начальные условия, умножим начальные значения (2) на ь (г!): $ (г!) Ч(' (0) = О, ! = О, 1, ..., и — 1. Беря математическое ожидание, находим начальные условия, при которых нужно решать уравнение (6): дс Яйч (Ух 0)!д(сз = О, !' = О, 1,..., и†1. (5.7.7) Запишем уравнение (1) для г = с, и умножим обе части его на Ч (гз): [а„ Чс"1((!) + аи а т11" — и ((с) + ... + а, т) ((,)] Ч ((з) = $ ((,) Ч ((з).
Поскольку т„(1) та О, то уравнеяие (6) для взаимной ковариационной функции между процессами с (1) и г)(1) примет вид дК П, /г) Ч +аК „(/ю /г) =)г+Дб (1,— /г), К „(11, О) =О. Отсюда получим К (/г /г) =(ьг/сс) (1 е ™ ).+)се-а <С,— Сс) /г) 1< (5.7.13) График этой функции в зависимости от /г (при фиксированном /д) изображен на рис. 5.34, б, а в зависимости от /г (при фиксированном /г) — на рис. 5.34, в.
Подставив найденное выражение взаимной ковариационной функции в (8), для 1< ( 1г получим уравнение дКч (1г, <г)/д/с+аКч (1<, /г) =(Д /а) (! — е ас*)+Де а<1' <1с Кч (О /г) =О. 0 5 а 37 Х О э Рис. 5.34, Характеристики нестационарного дробового шума В этом уравнении 1г следует рассматривать как постоянную величину. Решение уравнения дается выражением К„(/г, 1)=(ь/а)г(1 — е а<')(1 — е "с')+()с/2а) Х Х Е а<С' С'1(1 — Е га<'). (5.7.14) При 1 ) 1, здесь нужно поменять местами 1, и 1„так как Ки (1в /г) = Кч (/в /г). Корреляционная функция выходного процесса равна /«ч(1' /г) Кч (/т, 1,) — шч (/с) т (1,)=(М2сс) е а<С,— с,<х ;< (1 — е зас'), (5.7.15) Отметим, что хотя входной процесс $ (1) был стационарен в широком смысле, выходной процесс т< (1) нестациопарен. Пример 5.7.2.
Воздействие белого шума на колебательный контур. Пусть контур, составленный из параллельного соединения конденсатора емкостью С и катушки индуктивности с индуктивностью /. и сопротивлением потерь /7, включен в анодную цепь электронной лампы (рис.
5.35). Анодный ток лампы 1 (1) состоит из постоянной составляющей 1 и флюктуаций л (1): 1о (1)=1 + и (1). Флюктуации анодного тока лампы будем рассматривать как стационарный белый шум. найдем корреляционную функцию для тока $ (1) в индуктивной ветви. Флюктуационный ток $ (1) определяется линейным дифференциальным уравнением второго порядка: с<г $ (1) с<$ (1) — +2а +воз Ц(1) — вг гс (1) ос=)7/21, вг 1/1С (5 7 16) с</г о о — о— 571 где и (1) — гауссовский белый шум с нулевым математическим ожиданием и дель- зообразной корреляционной функцией (5.3.2).
Пусть вачальные условия для уравнения (16) заданы в виде (5. 7.17) (5.7.18) где с'о. (5.7.19) В дааном случае математическое ожидание не зависит от воздействующего шума и целиком определяется начальными условиями. Можно убедиться, что оио стремится к нулю при т -~- со. Если ввести центрированный случайный процесс 5а (Г)=я (1) — т, (1), 515 ° йо то он будет удовлетворять тому же дифференциальному уравнена!о (16), формальное решение которого дается выражением ыз $з(1) =- — ' е! ай м1е ~е1о м!тп (г) дт — е !"+ "1т 1с 2ю о ЗС )" (з4 м)тп(т) л.
'о (5.7.20) Пользуясь им и выполнив необходимые вычисления, получим общее выражение для корреляционной функции )75 (1 т+т) = — М (Чо (1) $о (1+т) ) =-Ой е " 1 ! ~сй ыт+ — зй ю ) т )— цз — [сй юг+ — зй ы (21+) т)) +' — (с)т оэ (21+) т)) — с)тат)~ е ю ЯЯ 1>0, (5 .7.2!) где ))й =п~о юо)8сс. (5.7.22) 572 Этн начальные условия могут быть детерминированными (постоянными величинами) или случайными; в последнем случае должна быль указана начальная совместная плотность вероятности р ($з, Кз). Будем пока считать начальные условия (17) детерминированными. Известна, что характер решения уравнения (16) зависит от вида корней характеристического уравнения, и различают три случая: 1) юз ) а, решение колебательное (корня характеристического уравнения комплексные), 2) ыз .— — сг, предельно апериодическое решение (корпи действительные и равные) и 3) ыч ( а, апериодическое решение (корни действительные и различны).
Приведем сначала общие выражения и затем конкретизируем их применительно к трем перечисленным случаям. Воспользовавшись уравнением вида (5.7.3), находим условное (при заданных начальных условиях) математическое ожидание формулы (13) и (21) применительно к трем указанным частным случаям принимают следующий зид. 1. При Оз) и, О=Уиз — огз=)ог т, (1)= — $0«озог1+ ' ' з!по«11е )7 (П 1+т) =Рй е "! т ! (соз Ог т+ — з!п ог [т !— Огг а' 1 а — (! + —,) соз О, т+ — юп ог (21+! т [)— еггт Ог г — — соз огг (21+ [ т [) 1 е (5.7.23) В СтацИОНарНОМ СОСтсяНИИ (Прн 1 -ь 00) )71 (т) =Р е "(т ! (соз Ог т+ — з!п ог [ с [).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
