В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 114
Текст из файла (страница 114)
Г 1 о (5.9.20) Заменив переменную и = 1п й, убедимся, что общим решением уравнения (19) является произвольная функция Р: Чс (С й) Р [й — пС) (5.9.21) На основании (20) и (21) записываем общее решение уравнения (18) Ч.'(С, й)=Р[й е ")+Ч',с (й). (5.9.22) Конкретный вид функции г ( ) определяется начальным условием. Действительно, согласно (!7) и (15) «начальная» функция Чв(0, й) = Ч'в (й) задается начальной плотностью вероятности р (О, Ч) = р, (Ч).
В частности, если р, (Ч) = = 6 (т) — в)в), то Вв(й) = ехр (1 йт),). При этом решение (21) дает характеристическую функцию для плотности вероятности перехода. полагая в (22) с =э О, находим Р (й) =Ч"в (й) — Ч".с (й) Таким образом, приходим к общему решению уравнения (18) Чв (С й)=Чсвс (й)+Чсв (йе ~) Ч"вс(йе ).
(5.9.23) характеристической функции Согласно (17) записываем выражение для В (с, й)— ехр [Ч",с (йЦ ехр [Ч', (й е ос)[ ехр [Ч'вс (йе "с)) вс ( ) В [й — ос) В, (йе "') (5.9.24) Подставив сюда выражение (20), получим 1 в В, в) - р (, ( — ув„( ) — у в*[ в, (и,-"'). к пв Перейдем к новой переменной интегрирования у согласно равенству х = = й ехр( — ау). Тогда сс (с, й) =й (с, й) В, (й е ас), (5.9.25) где с в в, а)=, (, !! в„<.в.— Э вЂ” О вв).
о (5.9.26) ! и (С, 0[в),)= — ~ 8 (С, й) В, (йе "') е '"ч с(й. 2п (5.9.27) 587 Запишем окончательные выражения для стационарной и двумерной плотностей вероятностей интересующего нас процесса с) (С). Выше указывалось, что при дельтообразном начальном условии рв (в)) = 6 (Ч вЂ” в)в) выражение (25) дает характеристическую функцию плотности вероятности перехода и (С, Ч 10, Чв) = = и (С, Ч [ т)в). Взяв обратное преобразование от (25), можем написать Заметим, что в данном случае 1)) е гнч,~ 2п,) и подставляя (28) в (27), получаем (5.9.297 и (1 Ч!Чо) =9 (1~ Ч Че е ).
(о.9.30) Если задана произвольная начальная плотность вероятности Ре (Ч), то одномерная плотность вероятности процесса Ч (Г) находится по формуле Р (Г. Ч) = 1 Р. (Ч ) (Г. Ч!Ч,) НЧ. = 1 Р. (тв) 9 ((, Ч вЂ” на е-"') НЧ~ ° (5.9 31) Отсюда видно, что р (1, Ч) прн 1-+- сс стремится к пределу, являющемуся стационаРной плотностью веРоатности Ры (Ч), котоРаЯ не зависит от начального Распределеняя, (5.9.32) Рз1 (Ч)= 9 (со Ч) ° Воспользовавшись выражениями (15) и (29), запишем окончательное выражение для стационарной плотности вероятности 1 Р Г р,г (т))= — ) е 1п" с(1)ехр ~т~бу~ 1 Р1(А) ехр (1 ЯАе "")ЫА — 1 2п о (5.9.33) Если в качестве начальной плотности вероятности взять стационарную плотность вероятности рю (Ч,), то процесс Ч (Г) при Г ) О будет стационарным.
Прн этом двумерная плотность вероятности равна Р. (1, Ч, Че) =Рм (Чз) 9 (Г. Ч вЂ” Чз е ) (5.9.34) Из (33) видно, что даже в рассматриваемом простейшем частном примере выражение для плотности вероятности оказывается довольно сложным. Получим более простое выражение для плотности вероятности в виде ряда Эджворта в частном случае Ч, = О при Г = О, т. е. Р, (Че) = 6 (Ч,). Как следует из (31,) теперь Р (О Ч) = г (1, Ч ! О) =Ч (1, Ч), причем Л (1, Я) согласно (29) является характеристической функцией, Ее всегда можно записать в виде ряда (1.3А9): й (1, Я) =ехр ~ () ()) Г" „(1) ..1 и!. я=1 (5.9.35) где нв (Г) — кУмУлЯнты пРоцесса т) (1). 588 6е Ф) = )Г 5(Ч Ча) е бЧ=ехр () ()Чз).
Следовательно, ттз (Гзе ~г) = ( 5 (т) — Чз е "г) е1П" оЧ=ехр()()Чее ог). (5.9.28) Используя обозначение Представим характеристическую функцию амплитуд пуассоновских импульсов в виде ряда (1.3.45) по моментам: а т Вл(В)=1+ ~ э=! где т„— начальный момент и-го порядка амплитуд импульсов. Подставив (36) в (26) и выполнив интегрирование, получим, что в формуле (35) кумуляиты равны хя (С) =(таз тэ/ал) (1 — е ат)= хэ(1 — е ат) хве ва" тэ/л.
Здесь через х„обозначены кумулянты процесса з) (/) в стационарном состоянии, т. е. при / -ь оз. Введем вместо т) (Г) нормированный процесс и (!)=[з)(/) — хт (/)] х, '/з, хз=(ат/2) т„ (5.9.38) который имеет нулевое математическое ожидание и дисперсию, равную единице. Для процесса Ь (Г) кумулянты равны х' (!) =О, х' (Г) =1 — ехр ( — 2а/), х' (/) = (а/т) '/з (2з/х т,/Зтз/з) (1 — е За~), х„(П= х„(1 — е ат), х„=(а/я)1"/з[ ! (2"/з т„/птэ/х) (1 — е ат) и > 3 (5.9.39) Аналогично (35) характеристическую функцию нормированного процесса Ь (/) ьгожно записать в виде 1 хэ (') й' (П ())=ехр — — Яз (1 е заз)+ ~~ — (] И)" . (5.9.40) 2 и1 л=з Если объединить члены одного порядка относительно а/т, то для плотности вероятности, соответствующей характеристической функции (40), получим ряд Эджворта Х ехр ( — Ъз/2 [1 — ехр ( — 2а/)])/(2п [1 — ехр ( — 2а/)]г/з)'/з, - (5.9.41) В стационарном состоянии (при à — ь со) эта формула упрощается: х',[з 1 х',! (х' )з йз 3! ' Ы~з ~ 41 Н(з .72 б(з ] (5.9.42) [/2.~ 2 где кумулянты х(, з > 3, определены формулой (39).
В формуле (42) экспоненциальный сомножитель ехр ( — ьз/2) быстро убывает с ростом 5 и аначеиия плотности вероятности р,з (ь) при больших 9 оказываются малымн. Поэтому плотность вероятности р,з (ь) будет близка к нормальной, если выполняется неравенство хз/31=(а/ч)1/з (21/з т /9тз/з) « 1 Если коэффициент при (а/ч)з/з, определяемый видом плотности вероятности рл(А) амплитуд пуассоновских импульсов, имеет порядок единицы, то условие близо- 589 сти плотности вероятности (42) к нормальной сводится к выполнению неравенства ч)а = т )сС » 1.
($.9.43) Пример 5.9.3. Воздействие пуассоновских дельта-импульсов на узяополосные линейные системы (189). Получим выражение для одномерной характеристической функции напряжения на выходе узкополосной линейной системы, когда на нее воздействует случайная последовательность пуассоновских дельта- импульсов $ (Г) = 1!А; 8 (! — 1;) с теми же вероятностными характериатиками, что и в примере 5.9,2. Импульсная характеристика узкополосной линейной системы обычно имеет вид (рис. 5.42) (5.9.44) Ь (г) = Ы (!) соз (в,г — в), где Ы (!) — огибающая импульсной характеристики; ф — некоторый постоянный фазовый сдвиг. Если на такую систему воздействует дельта-импульс ви. да А;б (г — 0), то элементарный импульс на выходе системы и (! — 1;, А;)=А;Ы (à — Г!) сот (во(à — Г!) — ф!.
Рис, 5.42. Воздействие пуассоновских дельта-импульсов на узкополосную систему Поэтому интересующий нас профильтрованный процесс Пуассона в стационарном состоянии имеет вид г! (Г) = л~л А! Ы (à — !!) соз (вз (Š— П) — ф), (5,9,46) 2=в Воспользовавшись формулой (2УД10!), записываем выражение для одномерной характеристической функции лл)=р(!((р(ррлллл,— тз) — 1!~),(5..4л о где вероятностное осреднение должно производиться по случайным амплитудам входных дельта-импульсов. Представим экспоненциальную функцию под знаком интеграла рядом ехр ()А()Ы(з) соз(вез — ф)] — ! — А Ы (з) соз (вез — ф) ° ~;ч (Ф)" л л л ~й и! л=! После вероятностного осреднения и разбиения слагаемых суммы на две группы: с четными и нечетными степенями получим ()зл М(ехр ЦА()Ы(з) соз(взз — ср))) — 1= )'„( — 1)" тяпЫ "(з) Х (2и) ! Пел+! Х созз" (вз з — ~р) +! ( — 1)" тзп+т Ы~~~ (з) соз "+ (во з 'р) ° (2и+1)! 590 где глп = М(Ап) — начальный момент и-го порядка амплитуд импульсов В результате подстановки этого выражения в (47) имеем 2л 6 (!1) ехр т ~~ ( 1)л гл ) 825 (5) со525 (во я ф) ц(з+ (2л) ! 5=1 о 2л+ 1 +1 У ( — 1)л шяп-ья " д "+ (5) соя л+ (в, з — (р) (((р ° (5,9,48) Лпя (2П+1)1,) л=о о Разложим периодические функции созял (вця — (о) и соя~я~я (в,з — (р) в ряды Фурье: СОяял (В, З вЂ” (р) = ац+ ~ аз СОЗ аац я+ ~Л'.( ЬЬ я !П йаО я я л со5 (вц Я вЂ” ф) =с~~~ сь со5 лвц 5+~я~( ц(ь 5! и лац 5, а я где ао — сРеднее значение фУнкции сояцп (аоз — ф)1 2п/ла ял оцо 1' ял ! Г ял 1 3 (2п — 1) по= ) соаяп(воз)(!5= — ) соаялх(!х ' ''' (5 9 49) 2 2п,) 24 2л о о Перенесем эти разложения в выражение (48): 1125 (9 (())=ехр т Ъ ( !)л ш ~ дяп (з) Х (2л)1 ~л=! о !) 25 -1- 1 ) -:-~ -1 ц~(.
1, 1(ц(д( — ц таял+1 Х я з .) п=о (2л+1)! Х ) 925+ (я) ~~ сь соз !(воя+~~а~~((ь я!п йво з~ ((з. (5.9.50) о ь ь Применим теперь лемму Лебега — Римана: если функция 7 (х) абсолютно интегрируема в интервале (О, оо), то Вш ) 7'(х) сэзах((х=1(ш ) 1(х) я!пвх((х=О. е а о Для узкополосной линейной системы частота а обычно много больше величины, обратной постоянной времени, характеризующей огибающую.д (1) импульсной характеристики системы. Тогда в выражении (50) формально можно УстРемить вц к бесконечности и пРименить леммУ Лебега — Римана. Выполнив это, получим (125 Ц Ц(Ц( 1( Ц( — Ц" — ) Ц "(1() (Ццп( 4 л=! о или после подстаиовхи выражения для ао (1 ц(ц( „(), У ( Ц,ц„' "' 1" ц (,1().
(1..(11 5125 1 3 ° (2л — 1) (". а,-о (2п)! 2 4 2а 5=1 о шел=! 3 ° (2п — 1) Рл и выражение (52) принимает вид л О ! 3 ' (2л 1) л ( зл Р 'т — )л ° Рл "аз" Д1 льм (2л)1 2 4 ° ° 2л,) л=! о Общее выражение для характеристической функции (48) существенно сложнее, чем предельная формула (52). Если формула (52) справедлива, то плотность вероятности выходного процесса Ч (Г) будет четной функцией (поскольку характеристическая функция вещественная и четная), причем она зависит от огибающей д(1) импульсной характеристики узкополосной линейной системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
