В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 117
Текст из файла (страница 117)
Тогда условноематематнческое ожидание в (5) будет линейной комбинацией значений Ч (1). Поскольку формула (5) определяет оптимальную нелинейную оценку по минимуму среднего квадрата ошибки, то отсюда следует, что Е [Ч (и)] = М (д (1) [т1 (и), и 5 Т). (5.11.11) Таким образом, для совместно гауссовских процессов нелинейная и линейная оценки по минимуму среднего квадрата ошибки совпадают. Отметим, что если математические ожидания рассматриваемых процессов равны нулю, то в данном случае разность д (1) — Е [ч (и)1 не только ортогоиальна, но вообще не зависит от ч (и). Рассмотрим важный случай линейного оценивания — фильтрацию полезного сигнала.
Теория решения подобных задач была разработана сначала А. Н. Колмогоровым для дискретного времени, а затем Н. Винером для непрерывного времени 1190, 191]. Пусть оценке подлежит полезный сигнал з (1) = д (1) по наблюдению Ч (1), связанному с этим сигналом, причем математическое ожидание ч (1) в дальнейшем принято равным нулю. Предположим, что необходимые вероятностные характеристики ч (т) известны для любого ь из интервала (а, Ь), причем конечные точки этого интервала сами могут зависеть от времени.
Требуется оценить д (т) для заданного 1 по наблюдению Ч (и), а < и( Ь. Будем искать оценку в виде ь а (1) = ~ й (и) Ч (и) [ . й Нужно подобрать такую весовую функци)о й (и), которая минимизиру- ет ошибку ь 1о "-и[[а(1)-11(.)п()а~ . а (5.11.13) Для оптимальной весовой функции при любом и из интервала (а, ()) должно выполняться соотношение (8): ь а([о(1) — 1п()ь()ь)п())=о, а аь.
(111.14) а Если процессы д (г) и ь) (г) стационарно связаны, то, используя обычные обозначения корреляционных функций )г „(г — и) = М (д (г) Ч (и)), Я„(о — и) = М (ь) (и) 1) (и)), из (14) получаем окончательный результат ь Яач(à — и) = ) К, (п — и) Ь (и) г(о, а (и ((). (5.11.15) а Оптимальная весовая функция определяется в результате решения етого интегрального уравнения. При таким образом выбраннойвесовой функции минимум среднего квадрата ошибки дается формулой (9): .ь„=а([ь(1) — 1п()ь()ь 1)о(1)))=а„(о) — 1а,„(1 — )ь()а. а Л 1 а (5.11.16) Соотношения (15) и (16) позволяют решать различные частные задачи, соответствующие конкретизации процессов д (1) и й (1) и различному заданию интервала (а, ()).
Обычно основная трудность заключается в решении интегрального уравнения (15). Отметим, что если математическое ожидание наблюдаемого процесса 1) (г) не равно нулю, то вместо (12) оптимальную оценку следует искать в виде Ь йЯ=йо+~й(о) п(п) (о. ь а[ь(1) — [ь -«11(.) и() 1.)~-о.
В качестве частного случая рассмотрим фильтрацию полезного сигнала з (ь), когда наблюдаемый процесс 1) (ь) известен при ( от — ао до + со и представляет собой сумму полезного сигнала и шума: а(1) =а(()+пК). (5.11.17) 603 а Для определения постоянной й, можно использовать условие несмещенности оценки: Сигнал и шум стационарны в широком смысле и имеют нулевые математические ожидания. Применительно к данному случаю в выражениях (15) и (1б) нужно положить д (1) = з (1), а = — оо, Ь = оо. При этом оценку можно искать в классе стационарных линейных фильтров з(1) = ) Ь(1 — о) т)(о) бо= ') Ь(о) т)(1 — о) т(о.
В данном случае уравнение (15) принимает вид )т,ч(1 — и)= ) )т„(т — и — о)Ь(о)до для всех и или К,„(т)= ) Я„(т — о)Ь(о)бо для всех т. (5.11.18) Этому интегральному уравнению должна удовлетворять импульсная характеристика оптимального стационарного фильтра. Решение данного уравнения легко находится с помощью преобразования Фурье: (5.11.19) Б,„(в) =оп(в) К()в), где Яч (в) — спектральная плотность процесса Ч (1); 5„, (в) — взаимная спектральная плотность процессов з (1) и В (1); К ()в) — комплексная частотная характеристика оптимального фильтра: К ()в) = бгч (в)/5„(в).
(5.11.20) Средний квадрат ошибки находим по формуле (16): е' в =- )с, (0) — ) )с,ч (о) Ь (о) до. Выразив правую часть через спектральные плотности, с учетом (20) получим е„',ы = — 5,. (в) — 'ч '" т(в. (5.11.21) зч ( ) гч ( 2 ,) ~ Ч„ (в) Предположим теперь, что сигнал и шум не коррелированы, т. е. б,„ (в) = О. Тогда Ячч(в) =5,(в) +5„(в), б„,(в) = 5,(в). При этом (рис. 5.44, а) К ()в) = 5, (в) Ы, (в) + Я„(в)] ', (5.11.22) (5.11.23) 2" .) Бэ (в) +за (в) Если 3, (в) б„(в) = О, т. е. спектральные плотности сигнала и шума не налагаются (рис.
5.44, б), то б04 Рис. 5.44. Частные случаи линейной фильтрации 1 при ш, для которых Я,(ю) 4=0, К()ш)= О при ю, для которых Я„(ю)чьО, произвольное, для остальных со. При указанных условиях оптимальный линейный фильтр должен полностью «пропускать» сигнал и подавлять шум. При этом средний квадрат ошибки равен нулю и обеспечивается идеальная фильтрация сигнала. Рассмотрим несколько конкретных примеров [5). Пример 5.11.1. Эистраполяцня процесса. Требуется оценить предсказанное значение стационарного случайного процесса 5 (1+ Л), Л ) О, по наблюдению этого процесса в момент времени й причем т1 — — М(«(Г)) О.
Будем искать оценку предсказываемого значения в виде $ (1+ Л) а я (1). где постоянная подлежит определению. Согласно принципу ортогональности (8) имеем М([З(1 + Л) — ая (Г)! я (Г)) =- 0 или )с (Л) — а [1 (0) = О, а = Й (Л) ))т' (0), где )с (т) — корреляционная функция процесса 3 (Г). Значение среднего квадрата ошибки такой оценки находим по (9): ешз! и = М ([з (1+Л) — а5 (ГН») — М ([з (1 +Л) — а5 (1Н Я (1+ Л) ) = =»с (0) — а)т (Л) = )с (0) †)сз (Л)))с (0). Отметим„что если та Ф О, то в эти соотношения вместо корреляционной вой- дет ковариационная функция.
Применительно к частному случаю, когда !т (Л) = ехр ( — аЛ), получим и =ехр ( — сгЛ), е„а „, = ! — ехр ( — 2г»Л) . При ехр ( — 2 с»Л) « 1 знание $ (1) не улучшает оценку предсказываемого зна- чения з (Г+ Л). В данном частном примере разность $ (Г + Л) — а 3 (Г) орто- гональна ь (т) при любом т ( а Действительно, М(Я (1 + Л) — а$ (Г)К (т)) = Гс (1+ Л вЂ” т) — Л (Л) !с (! — т) ! !т (0) = = ехр [ — сс (Г+ Л вЂ” тН вЂ” ехр ( — аЛ) ехр [ — а (1 — т)) = О. Отсюда следует, что если процесс $ (г) с экспоненциальной корреляционной функцией известен даже на всем полуинтервале от — ос до й то наилучшей оцен- кой к (1+ Л) по-прежнему остается величина а $ (Г).
Иначе говоря, при извест- ном значении данного процесса в настоящий момент времени предыдущие значе- ния не улучшают оценку предсказываемого значения. Пример 5.11.2. Фильтрация сигнала. Требуется получить оценку процесса з(г) в заданный момент времени по наблюдению ч (1) в тот же момент времени 1. 605 ищем линейную оценку в виде з (1) аг) (1). Для определения оптимального значения коэффициента а пользуемся соотношением (8): М((з(1) — ап(1)] и (1)) = О. Отсюда получаем Рзч (0) — ай, (0) =О, а =Я „(0)Я„(0).
Ошибку вычисляем в соответствии с формулой (9): зз „=М ([з(1) — аг) (1)] з (1)) =Я, (0) — )сз„(0)И, (0). Пусть наблюдение представляет собой сумму полезного сигнала и не зависящего от него шума п(1): т) (1) = з (1) + п (Г). В данном случае 1с,п(т) =)Сз (т), Яч (т) =Из (т) +)т„(т). Поэтому Р, (О) й, (0) Р„(0) д.(о)+л„(о) ' '"'" лз(о)+а,(о) ' Пример 6.11.3. Интерполяция процесса. Пусть требуется оценить значение процесса з (1) в момент времени 1 по результатам наблюдения а (0) и з (Т). Будем искать оценку в виде К (1) - а К (0) + ЬК (Т).
Для определения оптимальных значений коэффициентов а и Ь воспользуемся ранее установленным фактом (8), что ошибка должна быть ортогональна результатам наблюдения 5(0) иК(Т): М ((й (1) — аа (О) — Ьй (т)] ) =О в (0) й(т) ]' Отсюда получаем систему двух линейных уравнений 1т (1) = а)с (0) + Ь )с (т), Л (т — 1) = а г (т) + Ь )т (О), в результате решения которой находим а и Ь: Я (Т) Я (Т вЂ” 1) — К (1) Я (0) Р (Т) Р (1) — Я (Т вЂ” 1) Р (0) Кз (т) ггз (0) ' )гз (т) — )гз (о) Средний квадрат ошибни равен Еззип = М ((З (1) — ак (0) — Ьа (Т)] К (1)) = Р (0) — (аЯ (1) + Ь)т (Т вЂ” 1)], При 1 = Т)2 получим а = Ь = )т (Т!2) Я (Т) + )т (0)]-"т Пример 5.1!.4. Пусть требуется получить текущую оценку стационарного процесса с (1) с м (а (1)1 = 0 по двум известным значениям этого процесса $ (гт) и $ (Гз) в два предшествующих момента времени: 1з ~ 1т ( й Покажем, что знание Ч (1,) не улучшает оценку з (1) только в том случае, когда процесс ч (1) имеет экспоненциальную корреляционную функцию )т (т) = П ехр ( — сс ]т]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
