В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 100
Текст из файла (страница 100)
(т)!рс (т) (5.3 44) Таким образом, корреляционную функцию стационарного узкополосного случайного процесса всегда можно представить выражением (41). Так как р, (т) есть четная функция т, а р, (т) — нечетная, то р (т) всегда четная функция т, а у (т) — Нечетная. Предположим, что спектральная плотность 3+ ()) симметрична относительно центральной частоты )в = пта/2п. Поскольку для узкополосных процессов ширина спектра мала по сравнению с („то нижний предел интегрирования в выражениях (42) без значительной погрешности можно заменить на — оо. Тогда р, (т) =- О и из (43) получим Рз(т) =-Рв р(т) сов втат=созвтвт ) 5е(1в+т) соз(2птт)сЬ.
(53.45) — 5 Следовательно, корреляционная функция стационарного узкополосного случайного процесса с симметричной спектральной плотностью может быть представлена формулой А~$ (т) = Р$ р (т) соз О)от. (5.3.46) Качественное различие корреляционных функций узкополосиыХ случайных процессов с симметричной (у (т) =- 0) и несимметричной (у (т) Ф О) спектральными плотностями иллюстрируется рнс. 5. 12.
Укажем весьма существенный факт, характерный для узкополосных случайных процессов. Спектральная плотность Я+Да + т) узкополосного процесса практически полностью расположена в низкочастотной области частот и (с;л. рис. 5.11). Поэтому функции р, (т) н р, (т) и, следовательно, р (т) и у (т) для узкополосных процессов являются медленно изменяющимися по сравнению с соз азот. Рис. о32. Корреляционная функция узкополосного процесса с симметричной (у(т) =-О) и несимметричной (у(т) ~0) спектральными плотностями Приведем конкретные выражения корреляционных функций на выходе идеализированных узкополосных линейных системс прямоугольной и гауссовской амплитудно-частотными характеристиками, когда на ннх воздействует стационарный белый шум с односторонней спектральной интенсивностью Лга.
Хотя такие характеристики не могут быть реализованы практически, они часто применяются для аппроксимации характеристик реальных систем ввиду простоты аналитической записи н малого числа определяющих параметров. Пусть 1у ( 2 г) ) йе )Г Уо)ц= Чг2 О, ) 1 — г'а! ) Лг') 2. (5.3.47) Односторонняя спектральная плотность выходного процесса, очевид- но, равна у.
(с) о ге О 1~ 1а): Й (5.3.48) О, 1) —,го !) М/2. Такой спектральной плотности соответствует корреляционная функция )т'(т) =й "" ' соз(2п)от), г) =гУо Ко Л~ (5 3 49) па,гт 009 Если в (43) положить 1е = А/!2 («низкочастотный» процесс), то з1п (2ЛЛ)т) (5.
3.50) 2лЛ )т Для линейной системы с гауссовской амплитудно-частотной характе- ристикой (5.3.51) [ К (12п1) [ = Ко ехр ~ — —" ( — ') ~, "=""" ~- ~ — '.')1 получим (5.3.52) )т (т) = Уо Ко» Л1» ехр [ — и (Л)е т)] соз (2п1е т), Л)л с(; )а. (5353) Пример 5.8.4. Осреднение стационарного процесса за конечный интервал времени. Пусть з (1) — стационарный в широком смысле случайный процесс с математическим ожиданием тй, корреляционной функцией гтй (т) = 1)йгй (т) и спектральной плотностью 31 (ю).
Образуем новый процесс «+д 1 «1 (1)= — ~ С (и) Ии, (5.3,54) 2Л ~ — а получаемый в результате осреднения процесса $ (1) за временной интервал (1 — Л, 1+ А). Такая операция при больших Л встречается при измерении характеристик случайных процессов, а при малых Л вЂ” при сглаживании быстрых изменений процесса и часто называется текущим (или скользяи)им) села»мигание»с Найдем математическое ожидание тг, дисперсию )уч, корреляционную и функцию Д„(т) и спектральную плотность 8 (ю) сглаженного процесса Ч (1). Воспользовавшись устаиовлениои на с. 488 возможностью перестановки операций математического огкидаиия и интегрирования, получим, что для любого стационарного в широком смысле процесса з (1) выполняется равенство 1 тч = М (Ч (1)) = — ~ М (й (и)) ои =те (5.8.55) г — д Вычтем из обеих частей равенства (54) математические ожидании (55) и обозначим центрированные величины нулевым индексом: 1 2Л 5!О Отметим, что для идеализированных линеиных систем (46) и (51) условия физической возможности систем (5.1.3) не выполняются.
Это проявляется в том, что случайные процессы на выходе таких систем обладают некоторыми специфическими свойствами, схожими со свойствами детерминированных функций. Поэтому такие случайные процессы называются вырожденными (сингулярными) или аналитическими (см. 2 5.6). По определению записываем выражение для корреляционной функции г.1- Ь г+ г+ ь 1 )7ч(т)=М(це(1) пл(~+т)) = 4Ла ~ ~ )7,(.— ™) бибо. à — а 1+т — а Подставив сюда 1 (и — о) = — ( 5 (а) е1а 1" е1 г(в Е)-.т лЮ фгь1л ~рай/ аст Рис. 5.13.
Оценка детерминированного сигнала с помощью скользящего сглаживания и поменяв порядок интегрирования, имеем с+А г+т+а 1 Р (г) = 5 (в) Йо ~ е — !аеЫо ) е1аи г(и. 2п 4Лз 1 †8+с †Выполнив интегрирование, получим 1 Г /з1п Ла Р )7 (т)= — ~ 5 (в)( — ) е1"т йа. ч 2ц,) а (, Доз ) (5.3.56) Комплексная частотная характеристика такой системы равна Л 1 Г .„, ыпЛа К(1 а)= — ) е зкн Ж= 2Л,) Ле> —,Л Отсюда непосредственно следует, что 5„(в) =- 5 (в) (ып Ла/Лв)а.
(5.3.57) Так нак функция ып Ла/Ла сконцентрирована в окрестности малых значений Ла, то операция текущего сглаживания (54) действительно подавляет высокочастотные составлягощие спектра 5ь (а), т. е. устраняет быстрые изменения, если опи были в процессе х (1]. Из сравнения формул (5.1.4) и (54) следует, что операцию текущего сглаживания можно рассматривать как прапускавне процесса 5 (1) через линейную систему с прямоугольной импульсной характеристикой Подставив в формулу (56) 55 (~) = ( )21 (т') е поменяв местами порядок интегрирования и выполнив вычисления, пол учим формулу для корреляционной функции 2Ь Й, (т) = — ) ( 1 — — ) )1! (т — з) аз.
— 2Ь Отсюда при т = О находим дисперсию 2Ь 1 Г / 12~ 1 )3 =)1 (О) = — ) ( 1 — — ) )1 (з) оз, 9Ь ) ( 9Ь ) $ — 2Ь Следовательно, для вычисления дисперсии скользящего временнбго среднего значения стационарного в широком смысле случайного процесса необходимо знать его корреляционную функцию. (5.3. 59) Часто формула (59) используется в несколько ином виде. Если вме- сто (54) рассматривать процесс т т)т(1) = — 1 Е(и) г)и== — ~ Б(! — 2) г(з, (5.3.60) Т,) " Т г — т о то дисперсия его равна т т 2О2 ГГ т! Рч (Т) = — ) ~ 1 — — ) Рь(т) с(т = — ~ ~1 — — ) т! (т) с(т. (5.3.61) Т)), Т) Т,~)), т ~ (5.3.62) 1'пп Рч(Т)=0. т-, То, что зто не всегда так, легко понять из следующего тривиального примера. Пусть $ (1) = Х, где Х вЂ” случайная величина с дисперси- ей, не равной нулю.
Тогда из (55) имеем т)т = Х и было бы неправиль- но утверждать, что случайная величина Чт равна М (Х). В качестве простого примера иа применение формул (55) и (61) рассмотрим следующую задачу, Пусть детерминированный сигнал з (!) принимается совместно с шумом л (!), так что непосредственному наблюдению доступна только сумма (рис. 5.!3) $(!) = з (1) + л (!). Для текущей оценки сигнала з (!) предлагается использовать скользящее среднее значевне 1 'т (г) = ь (') "' т (5.3.63) Эта формула является основнои при формулировке различных зргодических теорем (см.
9 5.4). При зтом главный интерес представляет установление условий, при которых выполняется предельное соотно- шение Пусть шум и (!) является стационарным с нулевым математическим ожиданием и очень узкой корреляционной функцией дддн (т); протяженность ее по оси т много меньше Т. Найдем математическое ожидание а (!), принимаемое за оценку сигнала з (!), и дисперсию этой оценки. Беря математическое ожидание от обеих частей равенства (63), имеем д 1 Г М['г(!))= ]' '(т) "т — Т .) д — т По формуле (61) находим выражение для дисперсии оценки т 2Рп Г сопз! Р, (Т) =- — ) ~! — — ~ гд (т) йт — ) г„(т) д(т =— о о Таким образом, для уменьшения дисперсии оценки нужно брать время осреднения Т большим.
Однако при большом Т происходит сильное сглаживание (искажеиие) сигнала и с этой точки зрения интервал Т желательно брать настолько малым, чтобы эа время Т сигнал существенно не изменялся. Пример 5.3.5. Корреляционные свойства приращений стационарного случайного процесса. Получим формулу для нормированной корреляционной функции между приращениями стационарного в широком смысле случайного процесса $ (!) на примыкающих интервалах времени тд и тд (рис. 5.14). Для упрощения записей примем М(тз (!)) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
