В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 95
Текст из файла (страница 95)
При оперировании с интегралами и производными от случайных процессов (в частности, в связи с формулами (4) и (5)) возникают некоторые специфические проблемы. Как известно, операции интегрирования и дифференцирования определяются через пределы. Спрашивается, какой смысл имеет, например, интеграл в правой части формулы (4). В обычном математическом анализе интеграл для детерминированных функций всегда понимается как предел определенным образом составленной интегральной суммы, причем основное внимание здесь уделяется правилу составления этой суммы, которое различно при разных определениях интеграла.
Что же касается предельного перехода, то он всегда имеет один и тот же смысл и с ним не связано никаких трудностей. Иначе обстоит дело для случайных функций (процессов). Здесь главным является не понятие интегральных сумм или дифференциала, а то, какой вероятностный смысл придавать предельному переходу, т. е. что, например, понимать под записью $„-~ $ при и -~ оь, где (з„)— последовательность случайных величин. Объясняется это тем, что случайные функции или последовательности задаются соответствующими плотностями вероятности и предельный переход могкно трактовать по-разному.
Приведем четыре понятия сходимости случайных величин, из которых в дальнейшем будет использоваться преимущественно второе [1, 2, 18). Пусть имеется последовательность случайных величин $„$„... Ьп 1. Сходимость с вероятностью единица, или сходимость почти наверное. Говорят, что последовательность случайных величин ($„) сходится к величине з с вероятностью единица (или почти наверное), если Р Д„-+- Ц = 1 при и-+- оь, (5.1.6) или 1пп $„— э $ при и — ~- оь. 2. Сходимость в среднеквадратическом смысле.
Последовательность случайных'величин б„сходится в среднеквадратическом смысле к ~, если М(Ą— б Г )-+- О при и -+- оь. (5.1.7) Сходимость в среднеквадратическом смысле часто записывагот иначе: 1йлп. $„= $, (5.1.8) и-+ где обозначение 1йли. составлено из начальных букв английских слов (1ст(1 [п (йе теап в7иаге). 1б* 483 3. Сходимоеть по вероятности. Рассмотрим вероятность Р (фи— — $ ~ ) е) того, что Яи — $~ больше заданного числа в ) О. Эта последовательность чисел будет зависеть от е. Если она сходится к нулю для любого е, т. е. Р (Б„— $~) е)- О при и— (5.1.9) то говорят, что последовательность Члучайных величин сходится к $ по вероятности.
4. Сходимоеть по распределению. Пусть Рп (х) и Р (х) — функции распределения случайных величин $„и $ соответственно. Если Ри (х) -ар (х) при и — э- с в каждой точке х, где г (х) непрерывна, то говорят, что $„ сходится к $ по распределению. Рис. 5.2. Соотпоптеиип между равными видами сходимости слуиаииых последовательпостей Предположим, что $п сходится к $ в каком-либо смысле. В общем случае случайное предельное значение 4, как правило, неизвестно и для проверки сходимости необходимо иметь критерий, которь:й бы не содержал И. Как и в случае детерминированных последовательностей, в качестве критерия существования предела можно воспользоваться критерием Конан: $„ч,„— 4„1 — а- О при п — а- и любом т.
(5.1.10) Если этот предел существует с вероятностью единица, в среднеквадратическом смысле или по вероятности, то случайная последовательность $„сходится в соответствующем смысле. Например, если при заданном е ) О можно найти такое число п„что ат (~$,т — ь ~') ( в при и ) па и любом т ) О, (5.1.П) то последовательность с„ сходится в среднеквадратическом смысле. Соотношения между разными видами сходимости показаны на рис. 5.2. На основании приведенных определений вероятностной сходимости можно дать определение стохастической непрерывности и дифференцируемости случайного процесса.
При атом нужно всегда помнить, что такие определения относятся не к отдельным реализациям процесса, а ко всему ансамблю реализаций в целом. Если И ш ь (1 + т) = $ (1) при т а- О, (5.1.12) 484 то говорят, что случайный процесс $ (1) непрерывен в точке 1 с вероят. настою' единица. Это означает, что наличие реализаций случайного процесса, для которых соотношение (12) не выполняется, имеет нулевую вероятность. А(ы скажем, что вещественный случайный процесс $ (Г) непрерывен в среднеквадратическол смысле в точке (, если М (Д (Г + т) — $ (Г)]') — «- О при т — «. О, (5.1,13) Если процесс имеет нулевое математическое ожидание, то М И5 (Гг) — й (Г,)]') =П; (Г,)+ 0; (ГД вЂ” 2% (1о 1е) (5.1.14) Применительно к стационарному процессу эта формула упрощается: м Я (1+ т) -- в (г)]') == 2В«11 — г«(т)], (5.1.15) Из (14) следует, что случайный процесс $ (1) будет непрерывным в среднеквадратическом смысле в точке А если его корреляционная функция Д~ ((„1,) непрерывна по (, н 1, в точке 1, = г', = й В этом случае правая часть выражения (14) стремится к нулю при т = 1,— — (,— «-О и поэтому будет выполняться предельное соотношение (13).
Процесс $(1) является непрерывным в среднеквадратическом смысле при любом г, если корреляционная функция Я~ (1„1,) непрерывна вдоль всей линии 1, == Г,. Применительно к стационарному в широком смысле процессу з (1) соотношение (!3) будет выполнено, если корреляционная функция Д ~ (т) = О ~гг (т) непрерывна при т =- О и наоборот. Следовательно, стационарный процесс $ (1) является непрерывным в среднеквадратическом смысле тогда и только тогда, когда его корреляционная функция непрерывна при т =- О. Воспользовавшись неравенством (2.2.29) в виде М' (й (1 + т + е) — $ ((+ т)] 5 (1) ) ~ М ([$ (1 + т + е)— — $ (1+ т)Р) М Д'(О) нетрудно показать, что если корреляционная функция Я~ (т) стационарного процесса я (1) непрерывна при т = — О, то она непрерывна при любом т.
Необходимо отметить, что стохастическая непрерывность процесса в том или ином смысле совсем не означает, что реализации процесса являются непрерывными функциями. Например, дробовой шум состоит нз дискретных импульсов, хотя процесс будет непрерывным. Правильное заключение из стохастической непрерывности состоит в том, что при заданном (вероятность того, что случайно выбранная реализация случайного процесса является разрывной в точке (, равна нулю.
Аналогично стохастической непрерывности определяется производная случайного процесса как предел (в каком-либо из указанных смыслов — см., например, (5.5.2)) выражения Ц'(1).="'-(О =-11 '-"+ац ~(') . (5ППО) Ш в~ о Ж В перечисленных ранее трех смыслах сходимости следуег понимать существование предела сумм вида (5). Так, интеграл (4) в среднеквадра- 435 тическом смысле определяетсй как среднеквадратический предел сум- мы (5), если он существует, выражением юю 'юю .
м ((ю ююю — ' ю р —,|ю ю, ю ю,„1) =-ю р, ю . ю. ч =- 1 (5.1.17) Отметим, что понятия непрерывности и дифференцируемости случайного процесса не тождественны. Требование дифференцируемости случайного процесса является более жестким и ограничительным, чем требование непрерывности процесса. Например, стационарный случайный процесс с корреляционной функцией Яг (т) = Х14 ехр ( — а(т~) согласно выражению (15) является непрерывным.
Однако в й 5.6 будет показано, что такой процесс не дифференцируем. Приведем некоторые сведения о многомерных линейных системах. Их свойства так же, как и одномерных систем, могут быть охарактеризованы при помощи импульсной или комплексной частотной характеристики. Рассмотрим их на примере двумерных фильтров. Двумерной импульсной характеристикой Ь (х,у) фильтра называется его реакция на входной сигнал в виде пространственной дельта- функции 6 (х, у). Это значит, что если на вход линейного двумерного фильтра действует сигнал 6 (х, у), то сигнал Ь (х, у), появляющийся на выходе фильтра, будет двумерной импульсной характеристикой.
Если на вход линейного фильтра с импульсной характеристикой Ь (х, у) действует двумерный сигнал $ (х, у), то сигнал Ч (х, у) на выходе фильтра определяется в виде двумерного интеграла свертки ~) (х, у)= ) ~ 5(р, т) Ь (х — и, у — т) йрйт=- — 5 (х — р, у — т) Ь (р, т) й(г йч, (5.1.18) называемого также интегралом Дюамеля. Двумерная комплексная частотная характеристика К (1и„, 1и„) фильтра представляет собой реакцию фильтра на воздействие в виде плоской пространственной гармоники. Комплексная частотная характеристика К ()и, 1и„) связана с импульсной характеристикой прямым преобразованием Фурье К (1 и„) ив) = ) ') Ь (х, у) е ~('" +-""'е)йхйу.
(5.1.19) Наоборот, Ь (х, у):=- ( 1 К (1 и„, )и„) е'('"х+е"а) йи„йи„. (5.1.2Э бвю)ю й й 4В6 Поскодьку К ()и„)и„) есть комплексная функция,.запишем К ()и„, )и») = К (и,„, и«) е гв (" ' »1, (5.1.21) где К (и„и„) н <р (и„, и«) — соответственно амплитудно- и фазочастотная характеристики фйльтра.
Если на вход двумерного фильтра воздействует сигнал произвольной формы 5 (х, у) с известным спектром Зт ()и„ )и„), то спектр Бч ()и„, )и„) выходного сигнала т)(х, У) опРеделЯетсЯ фоРмУлой Яч()и„)и„) = К (1 и, 1 и„) 51 (1 и„, 1 и„). (5.1.22)' Зная Я„, с помощью обратного преобразования Фурье можно найти выходной сигнал Ч (х, у). В том случае, когда пространственная фильтрация осуществляется несколькими последовательно включенными линейными четырехполюсниками, то пространственно-частотная характеристика всей цепи есть произведение характеристик отдельных звеньев, т. е.
К ()и„, )и») = К,()и„, )и») К, ()и„, )и,) ... К„(~и„)и„). (5.1.23) Многомерные линейные системы могут быть реализованы различным образом. Вид линейной системы определяется воздействующим на нее полем и задачами, возложенными на систему. Для полей, представляющих собой некоторые изображения (фотографии, пленки), в качестве линейной системы могут служить элементы оптики: слой однородного пространства, транспарант в виде пленки с изображением, один из оптических приборов, например диафрагма.
Создаются также специальные оптические фильтры для требуемого изменения пространственного спектра входных' сигналов. В случае активной или пассивной локации применяются направленные антенные системы, формирующие в пространстве нужную диаграмму направленности. «Пятно», образующееся в результате пересечения диаграммы направленности и исследуемой поверхности, также можно рассматривать как двумерный пространственный фильтр. Отметим, что чем выше разрешающая способность РЛС, тем меньше размеры пятна и тем более высокочастотные составляющие пространственных частот могут быть зафиксированы приемником РЛС.
К числу фильтров пространственных частот можно отнести также приемники РЛС и ИК-приемники со своими антеннами, различные элементы телевизионных систем, зрительный аппарат человека и т. д. В особую группу двумерных фильтров следует выделить получающие все большее распространение электронно-оптические фильтры. Примером таких фильтров может служить потенциалоскоп, в котором с помощью электронного луча на мишени (экране) записывается по-. тенциальный рельеф поля $(х, у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
