В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Ошибки решения вычисляются по формуле (3), в которой для дискретной случайной величины нужно записать вместо интегралов соответствующие суммы. Пример 4.6.2. Для решения этого примера необходимо дополнительно указать вероятноствые характеристики случайной помехи и (1) и априорные вероятности отсутствия и наличия сигнала р и 4 в рассматриваемый момент времени 1 = сопз!. Допустим, что помехой и (1) является гауссовский стационарный шум с нулевым математическим ожиданием и известной дисперсией Р, а априорные вероятности одинаковы (р = — 5/ =- 1/2). При этом пороговая постоянная в (20) равна й =- 1, Так как в отсутствие сигнала 6 = и, то условная плотность вероятности случайной величины В определяется нормальным законом р, (х) =(2пР) /2 ехр ( — хз/2Р).
Если же сигнал присутствует, то К = з+ и и, следовательно, р, (х) =р, (х — з) =(2иР) '/2 ехр [ — (х — з)з/2Р[. Графики этих плотностей вероятностей изображены на рис. 4.8. Применительно к данному примеру правило решения (20) принимает вид 1 (х) =р, (х) /р, (х) =ехр [ — (з' — 2хз)/2Р) > 1, что эквивалентно (после логарифмирования) неравенству х > з/2.
Итак, принимается решение о наличии сигнала (Н„), если замеренное значение х > з/2 (область Г,); при х ( з/2 (область Гз) констатируется отсутствие сигнала (Нз). По формуле (!) находим условные вероятности ошибок первого и второго рода 5/2 з д Р / з = "Ро (х) "х = ! — Ф, () = ) Рг (х) "х = ! — Ф [ (4.6.24) где Ф (х) — интеграл вероятности (1.4.6). Ошибки а и р показаны на рис. 4.8 в виде площадей, отмеченных разной штриховкой. В данном примере пороговая постоянная й = з/2 определяется точкой пересечения плотностей вероятностей рз (х) и р„(х). Из графика видно, что при р = 4 = 1/2 полная вероятность ошибки р, = ар + ~я == ! — Ф (з/2 [/Р ) (4.6.26) имеет минимальное значение.
473 Из условия рз ) рд следует неравенство рг (1 ро)/ро (1 — рг) ( ! и, следовательно, 1и [рг (1 — рз)/рз(1 — рг)[ ( О. Учитывая монотонный характер логарифмической функции и логарифмируя (22), получаем Наблюдатель Неймана — Пирсона. Во многих задачах априорные вероятности гипотез Н„и Н, неизвестны.
Кроме этого, может оказаться затруднительным количественное задание ущерба (функции потерь), сопутствующего ошибкам первого и второго рода. При этих условиях невозможно воспользоваться критерием Байеса и необходимо применять другие методы решения. Сущность одного из них излагается ниже. Будем рассматривать только такие решения(такие разбиения области Г на две частя Га н Гг), для которых условная вероятность ошибки первого рода не превышает некоторую наперед заданную вели- чину а= ) р,(х)дх, г1 <ю Из формулы (28) видно, что критерий Неймана — Пирсона сводится к критерию отношения правдоподобия. Этот факт объясняется тем, что при неизвестных априорных вероятностях гипотез основой для выработки решающего правила может служить только сравнение заранее известных условных плотностей вероятностей; никакими другими сведениями наблюдатель не располагает.
474 (4.6.29) ( р, (х) йх ( с = сопз(. (4.6.26) г, Одно это условие не определяет однозначно критическую область Г,. Представляется естественным среди разбиений, удовлетворяющих условию (26), в качестве наилучшего взять такое, которое имеет наи- меньшую условную вероятность ошибки второго рода <1 по сравнению со всеми другими возможными разбиениями.
Это эквивалентно выбору критической области с наибольшей мощностью. Если принять эти соглашения, то оптимальная критическая область Г< кроме условия (26) должна также удовлетворять условию р,(х) йх=шах ~ р, (х) йх. (4.6.27) <гп г' г, г Сформулированный критерий оптимальности решения называется нрил<ерием Неймана — Пирсона. Часто также говорят о наблюдателе Неймана — Пирсона или решающем устройстве Неймана — Пирсона. Оптимальный характер решения Неймана — Пирсона состоит в том, что при заданной ошибке первого рода минимизируется ошибка второ- го рода. Условия (26) и(27) определяют однозначно требуемое разбиение области Г на подобласти Г< и Га = à — Г<. Это утверждение основа- но на следующей теореме Неймана — Пирсона.
Если Ь вЂ” действительное неотрицательное число, то критическая область Г< (й), состоящая из всех х, для которых 1 (х) = р, (х)1р~ (х) ) Й, (4.6.28) определяет критерий выбора между гипотезами Н, и Н„обладающий максимальной мощностью из всех критериев с уровнем значимости, не превышающим Поскольку отношение правдоподобия сравнивается с порогом, то решение Неймана — Пирсона, как и решение (20), можно назвать пороговым.
Пороговая постоянная й определяется по наперед заданной ошибке первого рода се из (29). Поясним зто рассмотрением приведенного выше примера 4.6.2. Пример 4.6,2 (продолвгеиие). Ранее уже говорилось, что областью Г является вся действительная ось х. Нам известно, что применительно к данному примеру критерий отношения правдоподобия приводит к разбиению оси х на два интервала. Обозначим пока формально через хе значение, разделяющее ось х на два интервала: Гт (х > хз) и Ге (х( хз). Пусть задана ошибка первого рода ои Рис.
4.8. Нормальные плотности вероятности и ошибки первого и второго рода Рис. 4.9. Нормальные плотности вероятности и ошибки первого и второго рода По таблице интеграла вероятности находим значение аргумента хе/ р'В, при ко- тором выполняется зто равенство. Тем самым будет определена пороговая по- стоянная И = хз. Зная хю вычисляем минимальное значение ошибки второго ро- да Ошибки и и р показаны на рис. 4.9 в виде площадей, отмеченных разной штриховкой.
Такой результат, когда решающее правило делит ось х на два интервала, встречается довольно часто.)' Однако) он не является общим, могут встретиться более сложные разбиения. 475 До снх пор мы оперировали с результатом одиночного измерения. Если наблюдатель располагает результатами нескольких измерений х„х„..., х„, то все предыдущие соотношения останутся в силе, нужно лишь в них подставить вместо одномерных условных плотностей вероятностей рт (х) и р, (х) соответствующие многомерные плотности вероятности р„„(х„х„..., х„) и р,„(хю х„..., х„).
В частности, отношение правдоподобия будет теперь определяться формулой 7„(хю х„..., х„) = р,„(х„х„..., х„)/ре„(хю х„..., х„). (4.6.30) Конечно, в многомерном случае определение оптимальной границы между областями Г и Г, может оказатвся не столь простым, как в одномерном. Однако критерий отношения правдоподобия позволяет не находить в явном виде границы областей Г, и Г,. Для определения принадлежности наблюдения произвольной размерности к областям Г, или 1', достаточно вычислить отношение правдоподобия (или некоторую монотонную функцию от него) и сравнить его с порогом.
Если результаты всех измерений получены при одинаковых условиях (стационарный случай) и взаимно независимы, т. е. р;„ (х„ х„ х ) = Рг (хг) Р (х2) ... Р1 (х„), 1 =- О, 1, то многомерное отношение правдоподобия и его логарифм будут равны и л 1„(х„хм ..., х„) = П 1 (х;), 1п (1„(х„х„..., х„)) = ~лл !и [1(х;)], (4.б.31) где 1 (х ) = р, (х;)1р, (х;). В заключение отметим важный результат, который следует из сравнения критерия Байеса и критерия Неймана — Пирсона. Он заключается в том, что несмотря на различную постановку задач, конечный результат по существу одинаков.
Это обстоятельство свидетельствует об универсальном характере критерия отношения правдоподобия и может служить некоторым обоснованием его применения в случаях, когда практическую ситуацию затруднительно описать каждым из рассмотренных подходов. Последовательный наблюдатель. Приведенные вьппе два правила решения были основаны на предположении, что число наблюдений и не зависит от получаемых при испытании результатов. Однако если стоимость или время, затрачиваемое на получение одного измерения, значительны, то может оказаться выгодным оставить вопрос о числе измерений открытым и считать число измерений достаточным лишь тогда, когда наблюдатель убедится в правильности одной из гипотез. Соответствующая процедура, позволяющая определить наименьшее необходимое число наблюдений, была разработана А. Вальдом и называется последовательным наблюдателем или последовательным испитанием.
Если раньше использовали только две области в пространстве выборок: область принятия какой-либо из гипотез и область ее отрицания, то при последовательном испытании вводится еще одна промежуточная область, в которой окончательное решение не принимается, так как проделанные испытания еще не могут в достаточной степени оправдать принятие одной из гипотез и необходимо производить дополнительные измерения. При последовательном испытании наблюдатель принимает одно из трех решений: 1) принять гипотезу Н,; 2) принять гипотезу П, или 3) произвести следующее измерение. Очевидно, что на любой стадии испытания принимаемые решения будут зависеть от результатов уже выполненных измерений.
Методика проведения последовательного испытания качественно состоит в следующем. На основании каких-либо соображений выбираются приемлемые значения ошибок первого и второго рода а и р. По результатам первого измерения наблюдатель вычисляет отношение прав- 476 доподобия 1 (х,) = р, (х,)/р, (х,). Полученное значение сравнивается с двумя постоянными а и Ь. Если 1 (х,) ) а, то наблюдатель принимает гипотезу Н, и испытание прекращается. При 1 (х,) ( Ь наблюдатель решает в пользу гипотезы Н, и испытание также прекращается.
Если же Ь ( 1 (х,) ( а, то наблюдатель делает второе измерение, вычисляет новое отношение правдоподобия и повторяет ту же процедуру сравнения с порогами. После и измерений, дающих значения х„х„..., х„, отношение правдоподобия будет определяться формулой (30). Если 1, (х„..., х„) ) а, принимается гипотеза Н„при 1„(х„..., х„)( Ь выбирается гипотеза Н„а если Ь ( 1„(х„...,х„) ( а, то производится (и + 1)-е измерение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
