В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Процесс фильтрации основан на том, что потенциальный рельеф отличается от -',, рельефа зарядов, содержащихся в электронном луче, при этом 'ослабляются (или подчеркиваются) определенные пространственные частоты. Комбинация электронных и оптических средств дает широкие возможности для самых разнообразных преобразований двух- и даже трехмерных полей. 467 52.
Вычисление моментных и кОРРеляциОнных Функций НА ВЫХОДЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ Установим правила вычисления моментных и корреляционных функций процесса Ч (1) на выходе стационарной линейной системы по известным .моментным и корреляционным функциям входного процесса $ (!) [167!. Воспользуемся приближенным представлением интеграла (5.1.4) Ч (!) = ) й (1 — и) $ (и) о(и == ) Ь (и) а (~ — и) о(и (5.2.1) о о в виде суммы о и Ч (1) "" ~ й (1 — и, ) $ (и, ) йи, ~ч'„Ь (и, ) $ (( — и, ) Ли, .
= ~ Ь (и) М (В (1 — и)) г(и. о (5.2.2) Эта формула показывает, что операции взятия математического ожидания и интегрирования можно менять местами. Этим результатом воспользуемся в дальнейшем. Запишем равенство (1) для нескольких моментов времени 1„ 1„ ..., г„, перемножим левые и правые части полученных равенств и результат вероятностно осредним. Поменяв затем местами операции интегрирования и.взятия математического ожидания, получим выражение для и-мерной начальной момеитной функции выходного процесса: !и М (ЧЮ Ч (~о)" Ч (1,)) =~ ". ~ й (и!) Ь (ио),.. й(и„) х о о Х М (Б (!! — и,) а (1, — ио) ...
Е (1 — и„)) !(и, г)и, ... био. (5.2.3) Для простоты последующих записей принято 1о = О. Согласно формуле (1.3.6) математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических огкнданий отдельных слагаемых. Поэтому можно написать М (т1 (1)) ~ й (1 — и ) М (з (и, )) Ли, =— о=! л — Ь(и,) М($(1 — и )) !!и„. о=! При ои„-!- О эти приближенные равенства перейдут в точные, а суммы справа в интегралы.
Таким образом, получим окончательную формулу для математического ожидания птч(1)=М (Ч (~)) = ~й (1 — и) М (Б(и)) с(и= и Прсс сс =- 1, =-- . =- с, =- Г отсюда следует формула для одномерных начальных моментов М (и" (1)) = ~ ... ~ й (и,)... й (и„) М ($ (~ — и,) ... ь (1 — и.)) с(ис... с(и„, о о (5.2.4) а при и = 2 формула для ковариационной функции сд М (П (~,) ) (~,)) = ~' 5 й (,) й (,) М С (( — ) К (1,—.,)) (и, (и, о о или с, с, Кч ((ь 6о) = ~ ~ й (ис) й (и,) К4 (сс — иь ~,— сс,) с(ис с(ио. (5.2 5) о а Аналогичным путем получается выражение для (т + п)-мерной взаимной моментной функции между входным 9 (1) и выходным с1 (с) процессами: с, М (9 (~; )... Б ( 1о) П (сс)...
Ч (Г,)) =- ~ ... ) й (и,) ... й (и„) ~ (5.2.6) о о Х М (Б (с'; )... Б ( ~' ) Б (1с — ис) ... 9 ((„— и„)) с(ис ... сХи„. В частности, взаимная ковариационная функция между входным $ (1') и выходным с1 (1) процессами определяется формулой Ко. (1'. 1) =- м ($ (1') и (с)) = ~ й (и) м ($ (1') х о ос $ (1 в и)) с(и =- ~ й (и) Ко (1', 1 в и) с(и. (5.2.7) о Нетрудно получить формулы для центральных моментных функций. Для этого вычтем из (1) выражение (2) и обозначим центрированные функции нулевым индексом: Ч, (~)=~й(1 — и) $а (и) с(и=~ й (и) $о (~ и) с(и. а о Повторив приведенные выше рассуждения, нетрудно убедиться, что формулы (3), (4) и (6) останутся в силе, только теперь в них нужно чсодставить соответствующие центрированные функции.
Запишем формулы ДлЯ коРРелЯЦионной Яа (с„го), взаимной коРРелЯЦионной Стоя (С,1) функций и третьей центральной моментной функции: сс„(Цс, ~о) = ~ ~ й ((с — и,) й (1, — и,) )с4 (и„ио) с(ис с(ио =- о 'о 489 — ~ 6 (п1) й (по) Рь Ц вЂ” по (о — ио) о(и о(ио, (5,2,оа) о а Рьо (1', В =- ') й (! — и) Ия ((', и) ~(и = ~ Ь (и) К1 (1', ! — и) сХи, (5.2.9) а о М (о!а (Е1) 1!о (1г) а)о (Я==~ ~ ~ Ь (~о — и,) 11 (~о — ио) Л (Го — ио) М о о о ~ М йо (по) ~о (по) Ьа (по)) о!по о(по о(по= с, с„ й (по) й (цо) й (по) М (оа (~1 п1) оа (Ио по) й~ ((о цо)) Х о о о Х о(и, о(ио о(ио.
(5.2.10) Из (8) при 1, = — 1о = ! получаем выражение для дисперсии с В„, (1) =- )а ~ й (! — ио) й (( — и,) Я4 (и„и,) 3и, о(и, = о о о с = 5 1 ь (и,) и (и,) )~, (! — и„1 —,) 3и, 3и,. (5.2.11) о о Из формулы (4) видно, что одномерный момент и-го порядка случайного процесса на выходе линейной' системы выражается через п-мерный момент случайного процесса на входе системы.
Поэтому если для процесса а) (1) нужно найти приближенное выражение одномерной плотности вероятности (с учетом ли|пь первых и кумулянтов — см. (1.3.49)), то должны быть известны все корреляционные или моментные функции процесса $ (г) до л-мерной, Если процесс задан плотностями вероятности, то необходимо знать и-мерную плотность вероятности, по которой можно найти этн корреляционные или моментные функции. Разумеется, что процесс вычисления и-кратных интегралов вида (4) является весьма трудоемким и сложным. В этом и состоит основная трудность решения задач о преобразовании плотностей вероятностей инерционными линейными системами [!68). Формулы, аналогичные (3) — (1!), можно написать и для нестационарных линейных систем.
До сих пор на входной процесс Е (1) не налагалось никаких ограничений, в частности, он мог быть нестационарным (рис. 5.3). Естественно, что при этом выходной процесс т! (1) будет также нестационарным. Сделаем теперь последовательно два упрощающих предположения. 1. Допустим, что входной процесс 9 (() стационарен в широком смысле, т. е. т4 = М Я (1)) = сои й, Рь (~„(о) = Рь (т), т = à — Уи (5.2.12) Применительно к стационарным входным процессам некоторые из предыдущих формул несколько упрощаются. Так, например, формулы (2), 490 Рнс.
5.3, Реалнзацна случайных нроцессов на входе н выходе линейной снстены (В), (9) и (11) принимают соответственно вид е лен (1) = т*. й (и) с(и, )хч(гг 1г)= ( ) й(иг) й (иг) )хг (уг — (г — ив+их) Ниг Ниг, (5.2.14) о й (г', () = ~ й (и) Рг (1 — г' — и) г1и, о Йч (1) =- Д й (и,) й (иг) Рг (и,— иг) г)и, с(иг.
(5.2,16) (5.2,13) Из этих формул видно, что хотя входной процесс 5 (4) стационарен в широком смысле, выходной процесс а) (1) будет нестационарным. С качественной точки зрения здесь имеется полная аналогия со случаем воздействия детерминированных сигналов на линейные системы. Если входной сигнал начинает действовать в момент времени ге = — О, то стационарный режим работы системы математически достигается асимптотически при г-э.
со. Однако в инженерной практике принято говорить о конечной длительности переходных процессов, после азавершения» которых состояние практически можно считать стационарным. Целесообразно аналогично поступить ив рассматриваемых задачах. Кстати, отметим, что если, например, процесс $ (г) трактуется как стационарный в широком смысле через время те (рис. 5.3), то выходной процесс »1 (1) может рассматриваться как стационарныи в том же смысле только через большее время та ) тм 491 2.
В случае линейных пассивных систем с затуханием по истечении достаточно большого времени т„от момента 1, = 0 случайный процесс т1(1) будет приближаться к стационарному в широком смысле. Действительно, полагая в формуле (13) 1 †- со и учитывая (5.1.1), получаем тч == М (и (1)) = т1 ~ 6 (и) г(и =. т1 К (О), (52.17) 'о =~ й(и)ди ~ й(т+и — и)Я1(о)г(о, (5.2.1 8) Убеждаемся, что корреляционная функция процесса ~1 (1) зависит только от разности временных аргументов т = 1, — 1,. Следовательно, выходной процесс т1 (1) асимптотически (при 1-э оо) становится стационарным в широком смысле.
В инженерной практике процесс т1 (1) обычно трактуется как стационарный через некоторый конечный интервал времени т, определяемый длительностью переходных процессов в системе. Формула (18) позволяет получить простое соотношение между спектРальными плотностЯми Яч (ы) и 5 4 (ы) длЯ выходного ч (1) и входного я (1) стационарных процессов. Действительно, беря преобразование Фурье от обеих частей равенства (18), имеем Яч (ы) =- ~ Ьч (т) е — ~"' с(т = ~ е — ~"' ('-~-" — ' Ж ~ ~ е — ~'" <' — "' х о о Х й (и) Ь (о) И1 (т + и — о) г(иг(ц Меняя местами порядок интегрирования и учитывая формулу (5.! .1), получаем яч(в) = ~ е — 1 'Л (о)гЬ ~ еь""й(и)г(и ) е и'<' ь" — ю х о о х )та(т+и — о)дт=-К()ы)К( — 3ы) ) е-~ Рт(з)гЪ, т.
е. 8ч( ) =-=8ь(ы) ~ К()ы) Г. (5.2.19) 4"" т. е. математическое ожидание не зависит от времени, Чтобы получить выражение для корреляционной функции, обозначим 1, — 1, = т и перейдем в (14) к пределу при 1, -э ао. Тогда получим окончательную формулу для корреляционнойфункции процесса 1).(1) в стационарном состоянии: 1~а (т) ~ ~ ~ (п1) ~ (п2) Й (т+ п1 п2) ~(п1 "(па Следовательно, спектральная плотность процесса на выходе стационарной линейной системы в стационарном режиме работы равна спектральной плотности входного стационарного пропесса, умноженной на квадрат амплитудно-частотной характеристики системы. Этот важный результат позволяет продуктивно использовать спектральную плотность при расчетах случайных процессов в линейных системах. Формулы (16) и (15) при 1 — ~- оо имеют вид )9ч=- ( ~ й(и,) Ь(и,) Яь(и,— и,) г(и, Лип (5.2.20) б о Ргч(т)=-.~ Ь(и)ИЬ(т — п)ди, т= — 1 — Г'.
(5.2.21) о На основании (17) и (21) можно сделать вывод, что если входной про- цесс $ (1) стационарен в широком смысле, то процессы $ (1) и ~) (1) асим- птотически (при 1-~- оо) являются стационарно связанными в широком смысле. В отличие от стационарности в широком смысле, стационарность входного процесса $ (1) относительно п-мерной плотности вероятности в общем случае не гарантирует асимптотически (при 1-~- оо) стационар- ность в узком смысле даже относительно одномерной плотности вероят- ности выходного процесса т1 (г). К такому заключению можно прийти хотя бы на основании указанной выше методики (4) вычисления одно- мерных моментов различнаго порядка выходного процесса, Применим формулы (18) и (21) к важному частному случаю, когда входным процессом является стационарный белый шум с корреляци- онной функцией (2.5.38).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
