В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Пусть 0( (, < ( т, ( (з. Вычислим математическое ожидание, дисперсию и взаимную корреляционную функцию приращений. Из очевидного соотношения с. йю = ю Ю ю ((~) = ) ло (т) ~~т (5.3,7) следует,'что математическое ожидание приращений равно нулю, а дис- персия приращений пропорциональна разности рассматриваемых мо- ментов времени Х)ью = М ((ю ((з) — ю (Е~))') = й!о(т!/2, т = (з — (~ (5 3 8) Плотность вероятности приращений является нормальной: р (бю) = ехр ~ — ). (5.3.9) С использованием (6) находим взаимную' корреляционную функцию приращений 1(ш (Г.) — ю ((.)) (ш (!.) — ш АР)) = )т. (1., 1.) — )т. (!., 1.)— 499 — )т ((~А) + )т ((~А) = О. (5.3.10) Следовательно, приращения процесса гн (() на неперекрывающихся интервалах времени не коррелированы.
Поскольку эти приращения нормально распределены, то они независимы. Кроме этого, несмотря на то, что сам процесс го (() нестациопарен, приращения стационарны, так как математическое ожидание приращений равно нулю, а дисперсия пропорциональна разности рассматриваемых моментов времеви. Можно показать (19), что для любого процесса ь (() с некоррелированными стационарными приращениями при (г< гз( (а( 1, должно выполняться соотношение '"~ ((1 ((з) — 1 ((г)) К ((з) — ь (( ))) = М (К ((з) — 1 ((а))') = = соп51)гз — гя). (5.3.1!) лД пв(т) С Рнс. 5.5. Воздействие белого шума ва цепь )(С На основании определения непрерывнозначного марковского гроцесса (2.5.126) можно убедиться, что винеровский процесс го (г) является марковским, причем для него коэффициент сноса равен нулю, а коэффициент диффузии отличен от нуля.
Этим и оправдывается название процесса гн (г) как чисто диффузионного. В радиотехнических приложениях винеровский процесс встречается, например, при анализе гармонических автоколебаний. Можно показать (171, что фазу гармонических колебаний при учете тепловых и дробовых шумов элементов схемы автогенератора можно приближенно рассматривать как винеровский процесс.
Пример 5,3,2. Воздействие белого шума иа интегрирующую цепь ггС. Пусть на интегрирующую цепь )тС (рис. 5.5) с момента времени (а = — О воздействует напряжение в виде гауссовского белого шума па (1) с нулевым математическим ожиданием и дельта-функцией корреляции (2). Найдем математическое ожидание и корреляционнуго функцию для напряжения к (О на емкости С.
Напряжение и (1) определяется линейным дифференциальным уравнением бил(+ с4 = сале (Г) (5.3.12) Общее решение этого уравнения при начальном условии и = $е при (а =О дается выражением Й (О=во е а -)-сге и ~е"т па (т) г(т. (5.3.13) 'о 1 Относительно характера начального условвя нужно различать два случая: 1) начальное условие является неслучайным (детерминированным) и 2) начальное условие является случайным.
503 Предположим пока, что начальное йа~ряжение йз на конденсаторе веслу. чайное; плотность вероятности напряжения на конденсаторе при 12 =- О есть дельта-функция ра (й) =- 6 (й — 42). Очевидно, что процесс 4 (1) является гауссовским и для его описания достаточно вычислить математйческое ожидание и корреляционную функцию. Из решения (13) находам математическое ожидание 1 т (1) =М ($ (1)/$2) =52 е ~~+сге ~~ / е М (пч (т)) Нт=Ц2 е "Г.
(53.14) й В данном случае, при нулевом математическом ожидании шума па (!), математическое ожидание напряжения на ковденсаторе обусловлено только начальным зарядом конденсатора, который в результате разряда конденсатора с течением времени стремится к нулю. Для корреляционной функции напряжения по определению имеем Я (11, 1,) = — М ([$ (1,) — тй (П)) (Я (1~) — тй (1,))) = е ~ !Г'+Г'! Х 2 Полагая ! = 1+ т, получаем Я )1 (П 1+т) =- — Уз е ~~(1 — е " ). 4 рассмотрев аналогичным образом случай т(0, получим окончательную формулу А'й (1, 1+т) = — Л'2 е ~ ! ' ! (1 — е " ).
(5.3.16) 4 Отсюда при т = 0 получаем выражение для дисперсии Сг О. (1)= — л,(1- -''). 4 (5.3.17) Формулы для корреляционной функции и дисперсии в стационарном состоянии получаются из (16) и (17) при ! — ~ оз: Рй (т)=04 е "!21, Ой — — ай!21'4 (5.3.18) 501 йс, Х )г )г е" 1т'+т'! 6 (т — тт) 2(тг Нт . (5.3.15) о о Прн вычислении данного интеграла нужно воспользоваться формулой (1-6)' Области интегрирования в выражении (15) для 12 = 11+ т при т ) 0 и т С 0 показаны соответственно на рис.
5.6, а и б. Дельта-функция 6 (тз — тг) обращается в бесконечность лишь патом участке биссектрисы координатного угла плоскости переменных тг, тз, который определяется наименьшим из пределов 11, 12. В заштрихованных областях 6 (тз — тт) обращается в нуль. Позтому при вычислении интеграла в выражении (15) оба предела интегрирования нужно полагать одинаковыми и равными наименьшему: 1= пнп (1„12).
Так, например, если 11 ( 12, т. е, т ) 0 (рис. 5.6, а), то при вычислении ин. теграла полагаем С С з'.=-~ ) е < '+ '! 6 (т,— тг) бтг г(т = 'о о с ~т11 е 6 (12 11) г(т2 (е 1)' Теперь (15) можем записать Сг )7 (г, 12)= — л',е "1+ '!(е "— 1). 4 Данная корреляционная функция имеет одну специфическую особенность, а именно, для нее выполняется соотношевие (см. с, 608) )Рй (!з !д) =~О! (дз — др) ой (Гр дд)ддй дд ( др ( Гз. (5.3 19) Можно показать, что такой процесс в (1) является марковским (169).
Следовательно, случайный процесс в(1) является одновременно н гауссовским н марковским. Корреляционной функции (18) соответствует спектральная плотность 2аР4 5 (ы) = — ) Я (т) е 1Рдт Вт= 4 ) з цз+ыр (5.3.20) Линейные фильтры, квадрат амплитудно-частотной характеристики которых имеет вид )К()ю)!з=сопз! [1+(ю!эр) ] (5.3.21) где ыр — граничная частота, принято называть ниэкочасщотными фпльтрамц Баглерзорта и-го порядка (1701. Спектральная плотность (20) вмеет характер функции Батерворта 1-го порядка. Ширина односторонней спектральной плотности бы на уровне 0,5 от максимального значения ойьмк = Яй (О) = 2Р4/а совпадает с граничной частотой вр и равна Лю = ю, = а. Найдем взаимную корреляционную функцию между входным шумом лр(!д) н выходным процессом в((а)1 д ° )Гяй ((д, !з) =М (лр (!д) йр((з))=а е "дд~ а"' М 4лр ((д) лр (т)) д(т~ др сдМр = — е "д' ~ е"т 5 (г — 1~) бт.
2 о (айда/4) ехр ( — а1р) при 1д=О, Рай (дд, дд) = (гддур!2) ехр ( — сд (др — (дД прн 0 < дд ( др, . (5.3.22) гдйдр!4 при Гд — — 1,. Здесь может возникнуть сомнение относительно значений взаимной корреляционной функции при 1, = — 0 и 1,= 1з. В аналогичных случаях во избежание ошибки полезно рассматривать белый шум как предельный случай гауссовского коррелврованного процесса, например, с корреляционной функцией )с (т) = = (Рдр14) у ехр ( — у)т!) прн у-э рр, удовлетворяющей равенству Ур Ма ) 5 (т) бт= — = ~ Я (т) д(т. 2 2 Для такой корреляционной функции обычно легко выполняются вычисления при конечном значении параметра у.
Затем в полученных выражениях нужно перейти к пределу при у -р рр, Рассмотрим теперь второй случай, когда не зависящее от шума лр (1) начальное значение $р является случайным с заданным распределением рр (йр), имеющим матемшнческое ожидание тр н дисперсию Р„. Поскольку дельта-функция является симметричной относительно особой точки т = !д, то получим Решение (!3) целесообразно представить Ь виде суммы двух слагаемых (нег зависимых процессов) 5(г) = й, (б+ Ба(г), (5.3.23) где Ч, (2) = Чзе "~; 5, (2) == ие "~ ) епт па (т)г(т. Согласно фоРмУле (3.2.2) пРо- о цесс чг (2) имеет распределение рг (Ч,) = ео ра (ео" К,) с математическим ожиданием тт (г) и дисперсией Р, (е), равными лгт (() =та е ьг, Рт (О =Рз е (5.3.24) Процесс йз (2) является гауссовским с нулевым математическим ожиданием и дисперсией (17).
Воспользовашись известным правилом композиции распределений (3.2.60), можно найти плотность вероятности процесса $ (2). Очевидно, что в общем случае процесс ч (2) является нестациояарвым и не- гауссовским. Он будет гауссовским лишь в частном случае, когда начальное распределение ра (йз) нормально. ~57 22 21 Р ) т( т( О х) т2 , т( т( Рис. 5.6.
Области интегрирования Рис. 5.7. Дискретный формирующий фильтр Из (24) видно, что тг (2) -+ 0 и Рт (2) — + 0 при 2 — ~ оо, причем математическое ожидание стремится к нулю медленнее, чем дисперсия. Следовательно, при 7 — ~ со процесс $г(2) асимптотически стремится к постоянной величине (см. с. 50), в данном случае равной нулю. При этом случайный процесс й (1) можно рассматривать как стационарный с нормальной плотностью вероятности Рм Я) =(2нРй ) 7~ ехр ( за(2Р2 ) (5.3.25) не зависшцей от начального распределения. Такой результат имеет общий характер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
