В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Получим Яч (т) — — —" ~ й (и) й (! т ~ + и) г(и, а р ( ) ) (Л'о/2) п(т), г =1 — (') О, (5 2 28) О, т(0. (5.2.22) Из последней формулы видно, что с точностью до постоянного множителя (У,/2) импульсная характеристика линейной системы совпадает с взаимной корреляционной функцией между входным стационарным белым шумом, воздействующим на систему, и выходным случайным процессом. Этим результатом пользуются при зксперимеитальном определении импульсной характеристики неизвестной линейной системы при помощи коррелометров. Схема такого коррелометра (при выполнении условия эргодичности) изображена на рис.
5.4. Применительно к белому входному шуму формула (19) принимает вид 5„(м) = (М,12) (К ()м) Р. (5.2.24) В связи с формулами (22) и (24) имеет смысл постановка следующего вопроса. Пусть Ч (() — стационарный процесс с нулевым математиче- 493 Нормированные корреляционные функции 1 г г (т)= ) 5 (ы1 е(нт Ьо 3 0 Графак ) „ (С1 1. Белый шун — я(т( е "т з(п (Лыт) Оа,' соз ыат е ~( ' соз ыат Пракесс нлк фоРмирующий фнльтр 2.
Низкочастотный )тС-фильтр 3. Дв тотвык 4. Гауссовский низкочастотный фильтр б. Идеальный низ- кочастотный фильтр 6. Синусоида со случайной фазой 7. Колебательный контур 8. Колебательвый контур Аналитическое выражение — 6 (т) Уо 2 а + — а(н ыо) ъ) ) (оо 1 — (Лы)а 3 Л)э /б/ Авалититееиае выражение ГраФик 2а 1 а= — =4 Л/а аа+ аа ' /(С а/2 4 аа , тт/ 8 Л/а (стт -т- ат) а 1,221 1,065 $'= /т н — е 4 а, а =нд)а э — прп )а)(Ла, 0 при )а))Ла и (8 (е) — аа)+8 (еа-т ао)) -бпи 4) тт)те) н/2 ста+(а — ва)а аа+(а+аа)т -Ц)а () Е)ее) 4 сева и/2 (м'+(а — аа)а) (ва+(а+аа)Ч 495 и сйеитрбльнь)е плбтности а)ы)= ~ т(т) е /ытлт Таблица 6.2 ГЫ' А~М Л~А с)т)= ! 5)м) е 1 )йт и 2 л Процесс или Оаорми- ру~ощиа фильтр Грасанн Лналитилеское евра>неоне 9.
Гауссовский радиофильтр Е С05 О\от ! ыа+ (а о)т )2 5)и (Ьсот)2) СО5 Яот Лыт)2 !О. Идеальный радиофильтр ским ожиданием и корреляционной функцией Ри (т). Всегда ли существует линейный фильтр с импульсной характеристикой Й(!), позволяющий представить процесс т) (!) в виде т)(1) =) Ь (з)п,(à — з) сЬ, (5.2.25) о где и, (!) — входной белый шум. Можно прийти к заключению, что необходимое и достаточное условие справедливости формулы (25) состоит в том, чтобы для корреляционной функции процесса т) (!) при некоторой постоянной с н интегрируемой в квадрате функции й (!) выполнялорь соотношение )ти(т)=-М(т)(!)т)()+т))=с ~ Ь(з)Ь(з — т)с(т. (5.2,26) о Этот результат можно записать через спектральную плотность: !и )5„(о)) ( !.1 ма (5.2.27) Комплексная частотная характеристика интересующего нас линейного фильтра должна иметь вид К ()о)) = сопи()/5,уо) е)о )и), (5.2.28) где 0 (о)) — вообще говоря, произвольная фазочастотная характеристика, Поскольку условие (5.1.3) оказывается выполненным, то 0 (о)) всегда можно подобрать так, чтобы фильтр был физически возможным (осуществимым).
496 Окончание табл. 5.2 з <т)=- ~ г (т) е Гпот Л1а аЕ Аналитическое енралсенке График ц 065 С учетом сказанного формулы (22) и (24) дают простой практический способ получения стационарных в широком смысле случайных процессов с заранее заданными корреляционными функциями (спектральными плотностями). Такие задачи часто возникают при моделировании Рис.
5.4. Фуикциоиалаиая схе- ма коррелометра случайных процессов (в частности, на ЭВА1). Во многих случаях требуемую корреляционную функцию удается получить, «пропуская» белый шум через надлежащим образом подобранный линейный фильтр, который в данном его применении принято называть формируюи(им филыпром. В 1табл. 5.2 помещены некоторые нормированные корреляционные функции и соответствующие им спектральные плотности;часть из них может быть получена преобразованием белого шума линейным формирующим фильтром. 5.3. ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Рассмотрим несколько примеров, Пример 5.3.1. Чисто диффузионный процесс.
К понятию чисто диффузионного процесса, называемого также процессом Винера или процессом Винера — Леви, можно прийти разными путями, например 497 йутеМ надлежащего предельного перехода в простейшей задаче о сим. метричном случаином блуждании частицы, встречающейся в броуновском движении. Из курса физики известно, что молекулы газа или жидкости в отсутствие внешних влияний находятся в постоянном хаотическом (броуновском) движении, интенсивность. которого зависит только от температуры и плотности.
Молекула в случайные моменты времени сталкивается с другими молекулами и меняет при этом свою скорость и направление. Рассмотрим движение относительно тяжелых частиц в газе или жидкости, считая, что масса такой частицы много больше массы молекул окружающей срс. ды. Будем следить, как изменяется с течением времени одна из координат избранной тяжелой частицы, допустим, горизонтальная координата. При этом можно не учитывать силу тяжести; на частицу действуют только сила трения об окружающую среду и случайная сила толчков. Если масса тяжелой частицы т, то, пренебрегая силой трения, для горизонтальной компоненты скорости ю (Г) иа основании закона Ньютона записываем уравнение движения частицы глою/г(Г = пе (Г), где пэ (Π— составляющая случайной силы толчков вдоль горизонтальной оси.
Чтобы поведение частицы было статистически определенным, необходимо указать характеристики случайной силы. При соблюдении условий симметрии толчки, испытываемые данной частицей в результате столкновения с молекулами окружающей среды, в разных направлениях равновероятны. Поэтому среднее значение (математическое ожидание) м (ле (г)), очевидно, равно нулю. случайная сила лэ (г) представляет результирующий эффект, обусловленный большим числом отдельных толчков. Скорость частицы представляет собой интеграл от случайных толчков. При большой концентрации молекул за время Г Ъ те, где те — среднее время между еоседними толчками, скорость частицы ю ()) согласно центральной предельной теореме теории вероятностей будет гауссовским процессом. Этот результат останется справедливым для любых значений Н если формально трактовать случайную силу пэ (Г) как гауссовский процесс с дельтообразной корреляционной функцией (гауссовский белый шум). Введение идеализированного белого шума существенно упрощает все вычисления и во многих случаях позволяет получить правильный окончательный результат.
В иевестной мере такая идеализация оправдана тем, что обычно нас интересует не микроскопическая, а макроскопическая картина явления. Все реальные физические приборы, с помощью которых осуществляются наблюдения и измерения, имеют конечное время разрешения и неизбежно осуществляют некоторое авзвеп)иваниеь воздействующих на иих процессов (за время ЛГ;г тэ). Приведем определение чисто диффузионного процесса и перечислим его основные свойства. Чисто диффузионный процесс го(() формально можно определить через белый шум и, (() при помощи согохастического дифференциального уравнения йго/й( = и, ((), гз (О) = О. (5.3.1) Наоборот, белый гауссовский шум является производной от чисто диффузионного процесса..Под белым шумом и, (1) понимается гауссовский стационарный процесс с нулевым математическим ожиданием и дельтообразной корреляционной функцией М (пз (~)) = О, Рэ ((т (з) = (Уе!2) 6 ((з — (,), (5.3.2) где Уэ — интенсивность (высота) односторонней спектральной плотности.
49з (5.3.4) Из (1) следует, что ю (!) = ) и, (т) !(т или йв (1) = и, (Г) ог, (5.3.3) о Любое из зтих выражений можно также принять за определение вине- ровского процесса. Поскольку белый шум и, (!) предполагается гауссовским процес- сом н при линейных преобразованиях свойство гауссовостисохраняет- ся, то процесс в (!) будет также гауссовским. Согласна (3) математи- ческое ожидание и дисперсия процесса !е (г) равны М (!е (!)) .= О, Р (~) = ~ ~М (по (т,) ло (тз)) «тх «тз = — ' о о Поэтому одномерная плотность вероятности процесса ю (!) имеет вид р(кд 1) = ехр( — — 11 г' ~0, (5.3.5) Итак, винеровский процесс и! (1) является гауссовским иестацио.
парным процессом с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, пропорциональной времени. На основании (3) находим выражение для корреляционной функции (см. пример 5.3.2) с, г, Я (гь гз) =~ ~.й4 (а,(тт) и, (тз)) г(т,Ж,= — У,тп(п((м 1з). (5.3.6) ! о о Установим некоторые свойства приращений гауссовского процес- са и (г) на неперекрывающихся интервалах времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
