В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Постоянные а и Ь должны выбираться так, чтобы вероятность того, что 1„(х„..., х„) будет больше а, когда справедлива гипотеза Н„равнялась а, а вероятность того, что при гипотезе Н, величина 1„(х„... ..., х„) меньше Ь, равнялась р. Вообще определение зтих постоянных представляет собой трудную математическую задачу. Однако Вальд показал, что онн подчиняются следующим неравенствам: а (1 — р)!и, Ь ) р/(1 — и), (4.6.32) причем для многих практических задач здесь можно брать знак равенства. Основное преимущество последовательного наблюдателя заключается в том, что среднее число измерений существенно меньше (приблизительно вдвое) по сравнению с числом измерений, необходимых при применении классических правил решения с той же мощностью. ГЛАВА З СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ БЛ. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ.
ЗАДАЧИ АНАЛИЗА. СТОХАСТИЧЕСКАЯ СХОДИМОСТЬ Как известно, устройства или системы, подчиняющиеся принципу суперпозиции, называются линейными, а остальные — нелинейными. Линейные системы осуществляют линейное преобразование входного сигнала в выходной. В качестве одного из определений линейного преобразования можно принять формулу (3.1.2). Полное описание поведения любой линейной системы при заданных начальных условиях дается решением соответствующего линейного дифференциального уравнения. Однако иногда для зтих же целей можно пользоваться импульсными и переходными характеристиками, а также передаточными функциями и комплексными частотными характеристиками, которые связаны друг с другом.
Импульсная характеристика линейной системы и (1) представляет собой выходнойсигнал системы при входном сигнале в виде дельта-функции 6 (1) и нулевых начальных условиях. Переходная характеристика д (1) — есть выходной сигнал системы с нулевыми начальными условиями при входном сигнале, имеющем вид единичной функции: 1 (1) = 0 при 477 !( 0 и ! (!) = 1 при ! ) О. Эти характеристики связаны соотноше- ниями с ' д (1)=~й (т)йт, й (1)= ~ о1 о Передаточная функция линейной системы Н(з) является преобразованием Лапласа от импульсной характеристики: Н (в) = ~ й (т) е —" й -, в = а+1 оо, о а комплексная частотная характеристика К(1го) представляет собой преобразование Фурье от импульсной характеристики: ' К()го)=) й(1) е-1"'й(=~К(!го)! ехр ( — )ага К(1го)), (5.1.!) о где 1К (1 го)! — амплитудно-частотная характеристика; ага К() го)— фазочастотная характеристика системы.
Из обратного преобразования Фурье следует выражение импульсной характеристики через комплексную частотную характеристику: й (1) = — 1С К (1 го) е1"' йго. (5.1.2) 2к Выражения К ((го) и й (!) для нескольких простейших схем приведены в табл. 5.1.
Из физических соображений ясно, что выходной сигнал не может упреждать входной, т. е. й (!) = 0 при г(' О, и, кроме того, для устой- СЮ чиво работающих систем ) 1й (1)( й! ( оо. Этот результат обычно формулируют в виде двух эквивалентных условий физически возможной линейной системы: й(1)=0 при 1(0, ( (й(1))й!(оо; ( '" !" йго(оо. 1+бУ (5.1.3) Для гауссовского и идеального полосового фильтров, указанных в двух последних строках табл. 5.1, условия (3) не выполняются, и они физически невозможны, т. е.
неосуществимы. В дальнейшем будут рассматриваться в основном линейньге стационарные системы (системы с постоянными во времени параметр ми), в которых сдвиг входного сигнала во времени приводит к такому же сдвигу выходного сигнала. В качестве определяющих характеристик таких систем будем использовать импульсные и комплексные частотные характеристики.
478 з Ф о Сс ! о й к С) х Ф И й О О с о С~ з + о С~ х о Ю а. й 3 ы .а ч > й й Ы х м ь О о ю$ ь' з О й ЮЭ ы 8~~ 1 $ з а з ! ~с! ~ ц)-~ ! з з 'ъ з 8 х о 480 Пусть на вход линейной системы (рис. 5.1), начиная с момента времени 1„воздействует случайный процесс (сигнал) й(1) со спектральной плотностью 51 (го), причем начальные условия нулевые.
Тогда выходной случайный процесс (сигнал) «1 (1) определяется интегралом Дюамеля': т) (1):=- ~ й (1 — т) $(т) с(т=- ~ Л (в) $(1 — з) дз. (5.1.4) о Если при 1,= 1, начальные условия в системе ненулевые, то результирующий выходной процесс будет содержать дополнительные слагаемые, обусловленные «затуханием начальных условий». Начальные Рис. 5.1. Преобразование случайного процесса линейной системой условия могут быть как детерминированными (фиксированными), так и случайными (например, случайными величинами с заданными распре,делениями вероятности). В общем случае, когда интересуются как нестационарным, так и стационарным режимами работы системы и начальные условия в системе ненулевые, следует пользоваться дифференциальными уравнениями.
Если же начальные условия нулевые, то целесообразно пользоваться импульсными характеристиками. С комплексными частотными характеристиками обычно оперируют в том частном случае, когда интересуются лишь стационарным состоянием системы, т. е. когда процессы на входе и выходе системы оказываются стационарными. При этом в й 5.2 будет доказана простая формула (5.2.19) пересчета спектральных плотностей. В практических приложениях при рассмотрении преобразований случайных процессов линейными системами могут встретиться разнообразные задачи. Однако можно сформулировать следующую, достаточно общую задачу анализа. Пусть на вход линейной системы с заданной импульсной характеристикой Ь (1) воздействует случайный процесс й (1) с известными плотностями вероятности р1(йы ..., $а; 1„..., 1а).
Требуется найти плотности вероятности р„(т)„..., »1,; 1„..., 1,), 1~ /г, случайного процесса т) (1) на выходе линейной системы. В общем виде не существует прямого и достаточно простого метода, который бы позволял находить непосредственно плотности вероятности для процесса т) (1) на выходе линейной системы по заданным плотностям вероятности процесса й (1),на входе. Здесь исключение состав- «для нестационарных линейных систем (систем с изменяющимися во време. ци параметрами) 1 „П) =( й (1, т) а (т) лт. с, 1й змь вза ляют гауссовские и марковские процессы $ (1), а также некоторые частные примеры (см.
пример 5.9.1). Сформулированную задачу приходится решать следующим образом (см. рнс. 1.9). При помощи формул (2.1.23) н (2.1.28) по заданным плотностям вероятностей р1 вычисляют моментные или корреляционные (кумулянтные) функции процесса ч(»). По моментным илн корреля ционным функциям процесса $ (г) можно найти моментные или корреляционные функции процесса»] (1) (см. ~ 5.2). Определив их, находят характеристические функции н соответствующие плотности вероятности пч. При приближенном определении одномерной плотности вероятности процесса г[ (г) можно попытаться отыскать аппроксимирующую кривую из семейства кривых Пирсона (см. ~ 1.5). Для этого требуется вычислить лишь первые четыре одномерные моментные или кумулянтные функции процесса»] (1).
Применительно к гауссовским процессам $ (г) решение задачи упрощается на том основании, что при преобразовании гауссовского процесса линейной системой выходной процесс Ч (1) остается также гауссовским. Действительно, в формуле (4) разобьем интервал интегрирования [(„г] на п равных подынтервалов одинаковой длительности Лт = (» — г,)~п и обозначим средние точки этих подынтервалов т„„ ч = 1, 2, ..., п (т, ( т,( ... ( т„). Тогда интеграл можно представить в виде суммы (5.1.5) где я ((,), ч = 1, ..., и, есть совместно гауссовские случайные величины. Поскольку процесс Ч (1) представляет собой линейную сумму совместно гауссовских случайных величин, то он будет также гауссовским. По-видимому, этот результат останется в силе и при Лт -». О, т.
е. при обратном переходе от суммы (5) к интегралу (4). Так как гауссовский случайный процесс полностью определяется математическиможиданием и корреляционной функцией, то для нахождения плотности вероятности процесса г](г) достаточно вычислить математическое ожидание и корреляционную функцию выходного процесса. Укажем, что в некоторых случаях решение сформулированной задачи облегчается благодаря использованию явления «нормализациим плотность вероятности процесса на выходе сильно инерционной системы приближается к нормальной. При этом необходимо вычислять лишь ограниченное число первых корреляционных (кумулянтных) функций выходного процесса (см.
~ б.10). Если выходкой процесс Ч (1) является марковскиМ, то плотность вероятности р„можно получить, решая соответствующее уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова (см. э' 2.6). Следует всегда иметь в виду, что необходимая степень детальности решения задач анализа (т. е. какие именно характеристики выходного процесса нужно находить) целиком определяется характером конкрет- 482 йо сформулированной задачи. Например, если рассматривается воздействие выходного процесса на триггерные устройства, то необходимо знать по крайней мере двумерную плотность вероятности выходного процесса. При решении задач в рамках корреляционной теории часто можно ограничиться вычислением математического ожидания и корреляционной функции выходного процесса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
