В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 91
Текст из файла (страница 91)
е. К, — диагональная матрица, критерий (24) упрощается: 8= ~ В! ! х! — '~' амЛ! (4 5 25) и В данном случае минимизируется сумма квадратов (х! — ~, 'аыЛ;)' у=! с весами, обратно пропорциональными дисперсиям ошибок измерений В!. Необходимым условием обращения (24) в минимум является условие д8!дЛ = О. Выполняя дифференцирование, имеем А'К (х — АЛ) = О. Отсюда находим вектор оценок Л =(А' К вЂ” ! А) — ! Аг К ! х.
(4.5.26) Предполагается, что матрица А'К А невырождена и, следовательно, может быть обращена. Докажем, что оценки (26) несмещенные. Используя (21), запишем (26) в виде Л!: (Ат К вЂ” ! А) — ! Ат К вЂ” ! (АЛ ) з) — Л+(АТК вЂ” ! А1 — ! Ат К вЂ” ! в е е е е (4.5.27) Поскольку матрицы А и К постоянны, то в силу (22) получаем требуемый результат (4.5.28) 465 Запишем линейную модель в виде х =АЛ+ з, (4.5.21) где х — вектор-столбец наблюдений х; размерности л; А — матрица (и ~ л) известных коэффициентов а!! (и ) л); Л вЂ” вектор-столбец оцениваемых параметров Л; размерности л и а — вектор-столбец случайных ошибок а; размерности и.
Предположим, что отдельные ошибки з; имеют нулевые математические ожидания (4.5.29) Корреляционная матрица ошибок оценок Кьт = Я ((),л Х) (Т,* Т,)т ) после подстановки в нее (27) примет вид Р— Я (((Дт ~ — ! Д) — ! Дт и — ! е] ((Дт 1т — 1 Д) — 1 Дт Р— ! |т ) (Дт и — ! Д) — ! Дт и — с,м (ее» ) Ц-! Д (Дт 11 — ! Д) — ! е е е Отсюда с учетом (23) получим окончательную формулу йх — (Д')~е ) '. (4.5.30) Приведем два простых частных результата, следующих из формул (26) и (30). Пусть имеется и неравноточных некоррелированных результатов измерений Хс скалярной величины Х. Теперь матрица А будет вектор-столбцом размерности п с элементами, равными единице, а матрица ошибок Р.
порядка (и х и) будет диагональной с элементами ьсс. Из (26) и (30) получим л л л Т вЂ” 1 ХС ! Хс ~ ~ 10с ', Я~„л=й~„*=~ ~' Гсс '1 . (4.5.31) с-! с=! Эти формулы еще более упрощаются для равноточных измерений (есс — — ес, ! = 1, 2, ..., п)! л*= — ~л,, л.=в,.= —. ! П (4.5.32) 4.6. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Предположим, что наблюдается событие, которое может быть порождено одной из двух взаимоисключающих причин Л, и Л,. Гипотезу о том, что событие обусловлено первой причиной Л„обозначим через Н„а гипотезу о том, что событие обусловлено второй причиной Л, — через Н,.
Требуется установить подходящее (оптимальное) правило для выбора между гипотезами, т. е. для решения вопроса, какая из двух причин наблюдаемого события в определенном смысле более правдоподобна. Такое оптимальное правило принятия решения должно быть сформулировано до наблюдения события; после наблюдения события должно быть вынесено решение.
Очевидно, что для получения такого правила нужно иметь некоторые сведения о причинах события и о связи причин с событиями, которые могут происходить. Пусть Г есть пространство всех возможных значений наблюдаемой величины $, зависящей от двух взаимоисключающих причин Л, и Лс, одна из которых должна быть в действительности.
Предположим, что. если имеет место причина Л„то известна условная плотность вероятности р (х(Ле) = р, (х), где х — некоторая точка пространства Г. Аналогично причине Л! соответствует другая известная плотность вероятности р (х!Л!) = Сс! (х). Относительно априорных (доопытных) сведений о причинах Л, и Л, возможны два случая: иногда можно 466 считать известными априорные вероятности причин рр, (Л,) = р и ррг (Л,) = д = ( — р, а во многих случаях отсутствуют обоснованные и достоверные сведения об этих вероятностях. В обоих случаях задача заключается в установлении разумного, в определенном смысле наилучшего правила принятия решения о выборе между гипотезами Н, и Н,.
Это означает, что пространство наблюдений Г нужно оптимальным образом разделить на две части Г, и Г, (рис. 4.7) так, чтобы для всякого результата наблюдения х можно было однозначно сказать, какой из причин он порожден. Зйлаупу Прйвлугйл Ув лру (И и Рис. 4.6. Линейная ап- проксимация Рис. 4.7. Проверка двух гипо- тез Будем считать,что если в результате наблюдения мы получаем значение х, относящееся к области Г„.то нужно выбирать гипотезу Н;, если х относится к области Г„то следует выбирать Н,.
При рассмотрении двух гипотез обычно одну из них выделяют и проверка гипотез рассматривается с точки зрения этой гипотезы. Если выделена гипотеза Н„то Г, называется областью принятия гипотезы, а Ä— областью отклонения гипотезьг или критической областью (см. рис. 4.7). Для пояснения сказанного приведем два примера. Пример 4.6.1, Имеется склад готовой продукции. Известно, что иэделия (например, однотипные лампы) поступают на склад одинаковыми партиями с двух заводов, выпускающих продукцию разного качества, и такими же партиями отпускаются потребителю.
Качество цродукцни характеризуется вероятностью р наличия дефектных изделий. Для одного завода р = ре, а для другого р = = рт (ре ) рг). Потребитель наугад выбирает одну партию изделий. Нужно на основании результатов контроля решить, на каком заводе изготовлена выбранная партия изделий. Пусть Не — гипотеза, состоящая в том, что выбранная партия изделий плохого качества (вероятность брака ре); Н, — противоположная гипотеза (вероятность брака рт). Часто Н, называется пулеаой еипогпезой, а Нт — конкурирующей зииотезо й, Отберем из партии и изделий. Пусть $ обозначает количество бракованных изделий среди отобранных.
Ясно, что $'есть случайная величина с возможными значениями О, 1, 2, ..., и. Под решением сформулированной задачи понимается выработка решающего правила, которое сопоставляет каждому возможному значению случайной величины $ одну из гипотез Не или Нг. Обозначим указанный набор возможных значений случайной величины $ через Г. Тогда искомое решающее правило состоит в том, что интервал Г раа- 467 бивается на две области Гр и Гг. При попадании случайной величины х в область Гз принимается гипотеза Нз, а при попадании в Г, — гипотеза Н,. Главный вопрос заключается в том, какое из возможных разбиений интервала на области Гз и Г, нужно выбрать.
Пример 4.6.2. На вход радноприемного устройства з некоторый фиксированный момент времени г = сопы воздействует случайное напряжение с (г), которое является либо суммой известного сигнала з (г) и случайной помехи п (г), либо одной помехой и (г). Производится измерение величины З (З). По полученному числовому значению нужно решить, присутствовал ли на входе сигнал з (для определенности примем з > 0), т.
е. выбрать одну из двух возможностей. Эту задачу можно сформулировать иначе. Случайную величину з (Г) можно представить в виде 3 (г) = и (г) + Лз (г), где Л вЂ” случайный параметр, принимающий лишь два значения: Л = ! (сигнал присутствует) и Л = О (сигнал отсутствует). По результатам наблюдения над з (з) нужно решить, какое значение имеет параметр Л.
Подобная ситуация называется дзуальшернатизной или базарно й. В качестве пулевой гипотезы Н, можно принять отсутствие сигнала, а в качестве конкурирующей Нт — наличие его. Если мгновенные значения помехи не ограничены, то множество Г всех возможных значений случайной величины 5 представляет собой всю действительную ось х. Искомое решающее правило состоит в наилучшем разбиении оси х на две части Гз и Гх.
Прежде чем дать понятие оптимальности правила решения, заметим, что всякое решение (по существу разбиение Г на области Г, и Г,) из-за случайного характера рассматриваемых событий будет сопровож- даться ошибками. с(ействительно, введем следующие события: А— осуществляется событие Ле (верна гипотеза Н,), А — осуществляется событие Г, (верна гипотеза Нт),  — результат наблюдения х попал в область Ä — результат наблюдения попал в область Г,. Тогда итогом решения может быть только один из следующих четырех воз- можных исхОдОВ: А — верна гипотеза Н, и принято решение о ее истинности; А — верна гипотеза Н„а принято решение об истинности гипотезы Н;, А — верна гипотеза Н„а принято решение об истинности гипотезы Н;, А — верна гипотеза Н, и принято решение о ее истинности.
Отсюда видно, что исходы АВ и АВ соответствуют правильным реше- ниям, а исходы АВ и АВ являются ошибочными решениями. Следовательно, принятие решений всегда сопровождается ошибками двух родов. Во-первых, гипотеза Н, отвергается тогда, когда в дейст- вительности она верна. Иначе говоря, хотя на самом деле гипотеза Н, является истинной, но наблюдаемое значение х попадает в область Г, (мы отвергаем Н,). Эта возможная ошибка называется ошибкой перво- го рода. Во-вторых, отвергается гипотеза Н„в то время как она верна. Это означает, что х попадает в Г„хотя правильной является гипотеза Н,. Эта возможная ошибка называется оигибкой второго рода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
