В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Например, поток вызовов, поступающих на телефонную станцию, можно представить как сумму потоков вызовов отдельных абонентов. Поток отказов в сложной системе можно представить в виде суммы отказов отдельных блоков, составляющих данную систему. Найдем закон распределения для разности Ч = $, — $„где независимые случайные величины $, и 9, имеют пуассоновские распределе- 409 ния с параметрами Л» и Л,: л', Р ($, = й) = — ' е-х, Р (з» = й) = — ' е-', й = О, 1, 2,, и ' ' ы Запишем физически очевидное соотношение Р («! = и) = Р (Б„= и) Р (Б, = О) + Р (В~ —— и+ 1) Р ($, = 1) + ... + Ла+! р„! +Р(й,=п+!)Р(ч»=!)+" =У ' е — '* — 'е — '*=- (н+!) ! «! = е — <х +к*! Л", ~, "' ' ' ", и '- О. (~ЛЛ) [и+О! Е! Воспользовавшись известным представлением функции Бесселя и-го порядка от мнимого аргумента в виде ряда 1„(х)=~ — ) ~~~~ ( — ) (3.7.5) получим Р («[= и) = е-(ь +ха> ( — ') 1! „! (2 )l Л», Лз), и = О, З-1, .+ 2, ...
(3 7 6) Хотя приведенные вычисления справедливы лишь для и ) О, однако если повторить их для и( О и учесть равенство 1 „(х) = 1„(х), то придем к заключению, что формула (6) останется справедливой и для отрицательных значений и. Поэтому целочисленная случайная величина 1[ = [ 5, — $»[ будет иметь закон распределения е — !'+х' 1« (2 УХ, Л») п=О, Р»[=п)= е — (х +к*! [(Л»1Л»)"/«+ (Ле/Л )"l»] 1„(2)/ Л» Лз), п =1, 2, 3,...
(3.7.7) Разрежение потока Пусть (г!) — случайная пуассоновская последовательность координат точек на оси времени. Опишем кратко две операции разрежения точек и приведем для них окончательные результаты. Будем говорить, что последовательность подвергается операции случайного «разрежения», если каждая точка может быть исключена из дальнейшего рассмотрения с вероятностью 7, где у — вероятность исключения. Предполагается, что операция исключения производится для каждой точки независимо, причем дается только одна попытка исключить каждую точку. После применения этой операции поток оставшихся точек (!!') будет более редким.
Справедлива следующая теорема. Если к последовательности координат точек (!!), образующих пуассоновскнй поток с интенсивностью Л, применяется операция слу- Ф!О чайного разрежения с вероятностью исключения у, то поток оставшихся точек является пуассоновским с интенсивностью (1 — у) Х. Локазательство этого утверждения легко получить проверкой трех определяющих свойств процесса Пуассона; Лействительно, операция разрежения проводится одинаково при любом значении сг, что обеспечивает свойство стационарности результирующего потока. Ординарность сохраняется очевидным образом; так, при разрежении количество точек может только уменьшиться.
Отсутствие последействия сохраняется вследствие того, что исключение точек происходит каждый раз независимо от предыдущих результатов. гУ4УВГВ Р!ал а С, процесс У(Т) р ' урлцелс врланга Рис. 3.54. Иллюстрация формирования потока Эрланга 2-го порядка иа пуассоновского потока Естественно, что при й = 1 (нет исключения точек) отсюда следует хорошо известный экспоненциальный закон. Математическое ожидание и дисперсия временнйх интервалов между соседними событиями в потоке Эрланга (г-го порядка равны т=й1Л, И =~ К1Л.
Рандомизация (3.7.9) Приведем несколько различных примеров рандомизации процесса Пуассона. Пусть вероятность иметь ровно й событий в полуинтервале (О, !) фиксированной длительности г определяется законом Пуассона (2.7.24). Предположим, что длительность полуинтервала г есть случайная величина с плотностью вероятности р (!). Теперь вероятность получения ровно й событий равна 4!! Предположим теперь, что разрежение точек в пуассоновском процессе Ж (!) с параметром интенсивности Хосуществляется по-другому. Лопустим, что, начиная с некоторого начального момента времени, все точки потока пронумерованы в порядке их появления во времени. Исключим все точки, кроме тех, номера которых кратны некоторому , целому числу й + 1.
На рис. 3.54 изображен частный пример й + 1=3. В результате такого исключения получим новый точечный процесс Лг' (!), называемый потоком Эрланга й-го порядка. Временнйе интервалы между последовательными событиями нового процесса Ж' (!) равны разности между моментами появления (! + й)-го и (-го событий исходного пуассоновского потока. Поэтому плотность вероятности межинтервальных времен процесса Лг' (!) будет определяться формулой (2.7.40), называемой формулой Эрланга: р (т) = Хе-ы (Л!)а-г7((г — 1)! й = 1 2 3 ...
3.7.8) р„= ~ е — а' — р (1) г(1. (3.7.10) ы о Для показательного закона распределения р (1) = р ехр( — р1) по- лучим ра=~ е-1а-,шг р,(1= (Лг)' р г Л тл вп ' л+р ~1+и~ ' (3.7.11) р. (1) =~ е-м — '"' р(Л) (Л. и1 о (3.7.12) В частном случае гамма-плотности вероятности р(Л)=- р'+' Л е — нл Г(в+1) получим р, и = ( ) ( ~ ) ( ) ~3.7.1 а Рассмотрим теперь другое преобразование — независимое слгец(ение точек. Пусть (х; (1)) — случайная последовательность частиц на прямой, образующих при 1 = 0 стационарный пуассоновский поток.
Координата каждой частицы х; (1) меняется случайным образом во времени 5 Смещения за время от 0 до 1, равные х; (1) — х (0), предполагаются взаимно независимыми и одинаково распределенными случайными величинами. Именно такой процесс изменения координат назван выше независимым смещением. В данном случае справедлива следующая теорема. Если в начальный момент времени 1 = 0 последовательность координат системы частиц (х; (О)) образует стационарный пуассоновский поток с интенсивностью Л, то при независимом смещении последовательность координат частиц (х; (1)) в момент времени 1 также образует стационарный пуассоновский поток с интенсивностью Л.
Другие примеры использования пуассоновских потоков Чтобы проиллюстрировать другие применения пуассоновских потоков, рассмотрим три самостоятельных примера!153 — 155). Пример 3.7.1. Ковариационнав функция процесса после случайного квантовании по времени. Аналоговые процессы З (1) при обработке на ЦВМ предвари- 412 о Рассмотрим другой пример. Пусть телефонные вызовы от отдельных абонентов являются пуассоновскими с математическим ожиданием числа вызовов, меняющимся от абонента к абоненту. Следовательно, параметр Л является случайной величиной с некоторой плотностью вероятности р (Л). Вероятность иметь ровно и вызовов за время 1 будет равна тельно преобразуются в дискретные путем квантования по уровню и по времени (см.
3 3.5). В тех случаях, когда шаг квантования по уровню Л выбирается сравнительно малым (А~ай (( !), в некоторых задачах можно не учитывать возникающие искажения. Например, при использовании преобразователя «аналог — код» с большим числом разрядов. Однако вследствие различных дестабилизирующих факторов интервалы времени Т, через которые берутся временнйе отсчеты случайного процесса й (1), следует считать случайными величинами. Вычислим ковариационную функцию К (т) процесса П (1), полученного из аналогового стационарного случайного процесса $ (1) путем такого случайного квантования ло времени (рнс. 3.55).
О~счеты процесса В (1) берутся в случайные моменты времени 1ю А == 1, 2, 3, ..., образующие случайный точечный процесс, который в дальнейшем считается ординарным. Отдельные отсчеты процесса $ (1) Рис. 3.55. Процесс П(1), полученный иа з(1) случайным квантованием по вре- мени в моменты времени (ь (т) (1ь) = — $ ((ь)) расширяются на весь интервал (1ю зь»») Введем вспомогательную, условную ковариационную функцию К (т) между значением процесса т) (1) в момент отсчета (ь н его значением слева от этого момента на расстоянии т. Иначе говоря, если для Кч (т) положение интервала т произвольно относительно потока точек отсчета, то для К„(т) правый конец интервала т фиксируется в точке отсчета.
Будем полагать, что поток моментов отсчета является простейшим пуассоновским потоком. При этом вероятности того, что на малом интервале Лт, непосредственно предшествующем интервалу т, происходит или не происходит отсчет, определяются выражениями р»(Лт) = ХЛт+ о (Лт), рз(Лт) = 1 — ЛЛ« + о (Лт), где Х вЂ” интенсивность потока. Таким обРазом, фУнкциЯ К„(т+ Лт) Равна К (т) с веРоЯтностью Рз(Лт), что соответствует отсутствию отсчета на интервале Лт. Если же на интервале Лт имеет место отсчет, что происходит с вероятностью р„(Лт), то (т+Лт) == М (») ((а) Ч (1 — Лт)) = =М(й(1ь) й(1 — Лт ))=М(й()ь) й(Н вЂ” Лт — Лт')), т=(ь — Н. Математическое ожидание в правой части должно браться по ансамблю реализаций исходного процесса $ (1) и случайному интервалу Лт'.
В результате получим Кч (т+Лт) ) Кз (т+Лт о где Р (Лт') — плотность вероятности интервала Лт'. Учтя оба возможных исхода (отсутствие и наличие отсчета на интервале Лт), можем написать К, (т+Лт) =(1 — )»Лт) К, (т)+ЛЛт) Кй(т+Лг+Лг') р (Лт') «1 (Лт'). о 413 Отсюда при Лт -ч 0 получаем линейное дифференциальное уравнение для К„(т): (ГК„(с) = — КК, (т)+Л ~ Кь (т+Лт') р(Лт') с((Лт') . (3.7.14) о Здесь р(Лт') — уже плотность вероятности временнйх интервалов между соседними отсчетами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
