В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 76
Текст из файла (страница 76)
(3.6.12) М (Ч') — И, и ([Мг О (Ч [ о, 9))») Сюда в каждом частном случае в качестве т[ нужно подставлять соответствующее слагаемое правой части равенства (9), за исключением первого слагаемого до (У)/2, которое содержит постоянную составляющую М (по (У)/2). Она не несет полезной информации, поскольку от- 392 лична от нуля при наличии только одного шума п (1), и поэтому не может рассматриваться как составляющая выходного сигнала. Исключив из первого слагаемого постоянную составляющую, получим низкочастотную компоненту выходного сигнала Ь = Му, ( — ~о (Ъ') ( п~ — М ~ — до (У)) (3 6 13) Так как М (Ь) = О, то низкочастотный выходной сигнал и постоянная составляющая ортогональны.
Поэтому средняя мощность низкочастотной составляющей выходного сигнала равна ~а ((Му,э (з ао(У) 1~)) ) (М (з ао (У))Р' Выражение для выходного низкочастотного отношения сигналшум по мощности примет внд ро— ма ([му э (до (У) !а)Р) — (м ( 00 (У))1 (3.5.14) м ( 01 (У)) — ма ((м (ыо (У) ! а)]~) Применительно к обычной технике приема радиосигналов всегда желательно, чтобы низкочастотный выходной сигнал Ь (1) точно воспроизводил информационное сообщение Л (1), содержащееся в радиосигнале з (1).
Разделим Ь (1) па две составляющие: одна из них воспроизводит сообщение Л (1), а другая ортогональна ей. Если первая составляющая равна сЛ (1), то вторая Ь (1) — сЛ (г), причем М (Л (1)Ь (1)— сЛ' (г)) = О. Отсюда с = М (Л (1) Ь (1))/М (Л' (1))и, следовательно, неискаженная составляющая выходного сигнала равна Л (1) М(Л(г)Ь(г))1М (Л (1)).
(3.5.15) Остальная часть выходного низкочастотного сигнала представляет разность между Ь (Г) и составляющей (15) и характеризует искажения. Например, если Л (1) есть сумма гармоник с несоизмеримыми частотами, то эта, вторая часть будет состоять из вторых и высших гармоник, а также различных комбинационных частот, причем эти составляющие будут ортогональны Л (г).
Итак, низкочастотное слагаемое д, (У)!2 в правой части (9) разложено нами на четыре взаимно ортогональные составляющие: неискаженную составляющую информационного сообщения, искажения, выходной шум и постоянную составляющую. Запишем выражение для отношения сигнал-шум на выходе идеального полосового фильтра, который неискаженно выделяет Й-е слагаемое выходного процесса (9). В соответствии с введенным определением находим Й-ю составляющую выходного сигнала как условное математическое ожидание слагаемого дь (У) соз Й (в,1+ д + $) при фиксированных значениях «амплитуды» и фазы входного радиосигнала: тв, ь (1) = ~ Ыо ~ дь (о) соз (Йо, 1+ Йд+ Йф) р (о, ф ~ а, д) г(ф.
о -я Подставив сюда (7) и выполнив интегрирование по Ф, получим 393 1)ма (1) = Ама соз Й (еое + 6), (3.6.16) А, е = ~ оях (о) 1х ~ †) е ' е(о; (3.6.1 7) ехр ( — р') аа ~ ез/ео о ~о 1 о В,,ь =А,',е/2. (3.6.19) Полная мощность (дисперсия) й-го слагаемого выходного процесса (9) равна Вь = М (де (У) созе /е (ве г+ О+ ф)) = М (дь (У)/2), Подставив сюда плотность вероятности (7), получим ехр( — Р,') Г е Г ае Х -е*/хо ~ оа3 (о) 1 ~ — )е х(о. 20 '~ и) о (3.6.20) Дисперсия шума в /е-й спектральной зоне 17,, ь = ах — /7ь м Теперь записываем выражение для интересующего нас отношения сигнал-шум на выходе /з ! Ро (3.6.21) б„е (2Вх/Аг, е) — 1 Отношение сигнал-шум на выходе изменяется по сравнению с отноше- нием сигнал-шум на входе в дх раз: 9ь = Реа/Рз = Р~ /(2Ъх А, е — 1).
(3.6.22) Для получения количественных значений ре нужно при заданной колебательной характеристике дь (У) выполнить интегрирование в выражениях (17) и (20). Однако некоторые результаты общего характера можно получить без интегрирования. В частности, найдем вид колебательной характеристики дье (У) = дх,р,(1х), при которой ре максимально для произвольного, но фиксированного р,' [146, 1461. Из (21) видно, что ре достигает максимального значения при максимальной величине отношения у = А', ь/21Эь = ро/(1+ ро) (3.6.23) 394 1ь (х) — функция Бесселя /е-го порядка от мнимого аргумента (П-10); р,' = ае/2хх (3.6.18) — отношение сигнал-шум по мощности на выходе при фиксированной амплитуде радиосигнала, равной а. Мощность (дисперсня) л-й составляющей выходного сигнала, очевидно, равна с )гн (а" ( — ) ""'г] о ехр ( — Р,') У— Р (3.6.24) реа (р) 1 1 — ) е — о*/аоло а е ~ о Чтобы найти максимально возможное значение у, воспользуемся неравенством Шварца-Буняковского (П-8), положив в нем / (о) = )гг о Уа (о) 1,'/а (по/Р) ехр ( — о'/4Р), д (о) = )/ о 1а (ао/Р) 1, /а (ао/Р) ехр ( — о'/4Р).
(3.6,26) у = ' ~о1е '~~ ) 1~( и ) ехр ( — ™ )е(о. (3.6.26) а Численным интегрированием этого выражения можно найти значение у и, следовательно, получить максимальное значение выходного отношения сигнал-шум Ро гнах = Ут/(1 Уш)> (3.6.27) а также Уа,н1ах=раошах/Рг =Ущ/Р! (1 Ут). (3.6.28) Таблица 3.3 Значении уа, шах (Рг) Входное отношение енгнам-шум рг Номер гармоника 1,054 0,136 0,016 0,002 1,141 0,197 0,037 0,006 1 0 0 0 1,320 0,267 0,072 0,019 Входное отношенне снгнал-шум ра а Номер гармоннкн !а 1,906 0,436 0,187 0,088 1, 843 0,428 0,168 0,079 2 0,500 0,222 0,125 1,669 0,368 0,129 0,051 Подставив сюда выражения (17) и (20), имеем Из неравенства (П-8) следует, что у(у, где 1,587 0,344 О,! 15 0,042 1,472 0,312 0,096 0,031 РезУльтаты Расчетов г[а,„длЯ нескольких значений 7'и р,' приведены в табл.
3.3. Полученные значения дл „„, ограничивают сверху область возможных значений да для любого вида зависимости т] = у ($) (любого вида колебательной характеристики ул (]г) при заданном Р,о). Найдем теперь вид колебательной характеристики дао (]г), при которой достигается максимальное значение роа„ „. Учтем, что неравенство (1[-8) переходит в равенство при выусловия получим 1м х=р 7 7г) Ю а руу Рис. 3.45.
Оптимальные колеоательные характеристики при различных номерах гармоник 7г полнении условия (11-9). Из этого Дао (]7) = 1о (а]г[Р)7]о (а]77Р) (3.6.29) Вид оптимальной колебательной характеристики зависит от номера гармоники 7г (рис. 3.45) и от отношения сигнал-шум на входе ро (рис.
3.46). В зависимости от отношения сигнал-шум р о колебательная характеристика дто ([г) деформируется от характеристики линейного преобразования (ро — ~- 0) до характеристики идеального ограничения (рго-з- со), Найдем выходной сигнал, выходной шум и другие характеристики для достаточно общего примера — однополупериодного выпрямителя и-й степени вида (3.4.59): ам-о!гон- ( о' ~ мо. О, $(0, (3.6.30) Если подставить (30) в (10), учесть, что [7 (7) а О, и воспользоваться известным интегралом игз соз 0 соз 7г 0 о[0в 2~+ (т+!) В [[+(т+Ь)72; !+(т — гг)72] о , т — ]г+2- О, 2т+! Г [[+(о+А)72! Г [!+(т — ь)72] где В (х, у) — бэта-функция; Г (х) — гамма-функция, то получим л72 да ()т) = — ~ Ф' соз' 0 соз 7гбг[0 = Ь„(т) Ъ" (3,6,31) о где Ьа (и)-2 — т Г (о+1)7Г ( — -[- !) Г~ +1).
(3632) Когда т — целое число и /з = и + 2, т + 4, т + б, ..., то в выходном процессе (9) спектральные составляющие да(17) в окрестности этих частот /е будут отсутствовать. Отметим, что если вместо однополупериодного выпрямителя (30) рассматривать двухполупериодный с характеристикой т) (7) = )$(7) ~т для всех $, то, как видно из (10), в выходном процессе все четные гармоники (включая и низкочастотную составляющую) удваиваются по сравнению с предыдущим случаем, а все нечетные отсутствуют.
Аналогично для двухстороннего выпрямителя с нечетной симметрией: 8 (7)= = $' (7) при $ ) 0 и т1 (7) = — ( — я (7))' при $ ( О, в выходном проу (р/ /з.= 7 0,5 75 Р7а 55 !д Рис. 3.46. деформация оптимальной колебательной характеристики при й=! в зависимости от отношения сигиал-шум рг 2 цессе удваиваются все нечетные (включая и составляющую на основной частоте) и отсутствуют все четные гармонические составляющие. Когда м — целое четное число, выходной процесс двухполупериодного выпрямителя (9) содержит только (т/2) + 1 слагаемых, поскольку в данном случае соз т О можно выразить через созтО, соз (т — 2) О, соз (т — 4)О, ..., 1.
Например, соз'8 = (1/8) соз48 + (1/2)соз 28+ +3/8. Аналогично если т — нечетное целое число, то процесс на выходе устройства с характеристикой т) = аз' для всех т будет содержать только (и+ 1)/2 слагаемых — нечетные гармоники до и -й включительно. Нелинейную характеристику однополупериодного выпрямителя (30) можно представить в виде полусуммы двух характеристик двухполупериодного выпрямителя: четной и нечетной.
Поэтому выходной процесс однополупериодного выпрямителя при целом т содержит только конечное число четных или нечетных составляющих соответственно при четном и нечетном т. Вычислим /е-ю составляющую сигнала на выходе однополупериодного выпрямителя (30), когда на него воздействует сумма (3) радиосигнала и узкополосного стационарного гауссовского шума. Для этого в выражение (17) нужно подставить ггь (о) = йа(т) о, Воспользовавшись при выполнении интегрирования известными соотношениями (3.3.22) и (11-8), получим 397 А,»=Ь» (т) Г( ~~ + 1)(а» //«1) (2Р)< юг«г / ~ ~ /г.(-1 2 / 2 2В / (3.6.33) Мощность /«-й гармонической составляющей находим по формуле (19): Р „=2»-»=' Ь»а(т) ~Г( — '+ 1)(/«1~ Р~ » х ;с М (а»» Р«~1 — "' '; /«-1-1; — — )~.
(3.6.34) 2 2В / Если интересоваться низкочастотной составляющей выходного процесса, то здесь нужно положить /« = 0 и, как следует нз (9), ввести множитель 1/2, а затем вычесть из полученного выражения постоянную составляющую, которая равна — Ьо (я) Г( — + 1) (2Р)'/' й4« )д~;1 — —; 1; — — '1~. (3.6.35) Здесь математическое ожидание берется по «амплитуде» входного сигнала. Согласно (20) с применением формулы (8) находим полную мощность /«-го слагаемого выходного процееса: Р»=2 ~ Ь» (т) Г (т+1) Р» П«(«Р«( т; 1; а»/2Р)) (3.6.36) при т ) 1 и половине этого выражения при т = О, а также находим дисперсию выходного шума в /«-й спектральной зоне: Р„, ь = Є— — Р, ю По формуле (21) определяем отношение сигнал-шум на выходе в й-й спектральной зоне Г«( — + 1) ма~а« «к«( —; /«+1; — р««)~ (Ы)» Г (»+1) Ма («Н«( — '!' — р«') — Ц /.=г«,(~+ +1) и,( 2»Л(~; а+1; — ан.
Здесь математические ожидания берутся по случайной амплитуде входного радиосигнала а, от которой зависит отношение сигнал-шум на входе р = а»/2Р. Выше отмечалось, что если т — целое число и /« = = т+2, т+4, ..., то Ь» (т) =0 и' в выходном процессе отсутствуют составляющие в этих спектральных зонах. В этом случае выражение (37) следует рассматривать как предел отношения сигнал-шум па выходе прн стремлении т к соответствующему целому числу. Аналогично в соответствии с (13) найдем отношение сигнал-шум на выходе в области низких частот (/« = 0)~ 398 Ро о/ о Г (о+1) Г ( + 1) Ма(1Р1 ( — о1 11 Р~)) — [о'а (1г1( — ' 1' — Ро))1 -И.
( Р( ( — — '; 1; -Р;)~ (3.6.38) Если амплитуда входного радиосигнала постоянна (а = сопз1), то Р, = 0 и в формуле (37) не требуется вычислять математические ожидания. Используя соотношение тРо (а; р; — х) = х — Г(р)(Г(р — а), можно показать, что в этом случае для больших р7 выражение (37) приводится „к виду Ро — 2ро /(й'+ т') (3.6.39) Наоборот, воспользовавшись приближенным представлением вырожденной гипергеометрической функции для малых значений рг (90), из (37) получим (3.6.40) Отношение сигнал-шум на выходе (28) уменьшается с увеличением й. При заданном й это отношение достигает наибольшего значения при т = /г.
Поэтому нелинейный элемент (30) Ьй степени является оптимальным для получения Й-й гармонической составляющей. В тех случаях, когда амплитуда входного радиосигнала а непостоянна, выражение (37) приближенно равно математическому ожиданию от (40) при малых значениях ро и р~ — М(пот))(йо+ ~Ф) ПМ (аоо — 2) (3.6.41) для больших р;. При этом выражение (88) принимает вид м(аоо) — (м(ао) )о (3.6.42) т ОМ(о"-') при больших отношениях сигнал-шум на входе р~ и . -"-е)--Ре-о — 3.6АВ) Ро— о о ~ ' 1аоо Г(о+1) Г-о ( — +1) — 1 ~ 2 для малых р,. Отсюда следует, что отношение сигнал-шум на выходе устройства в области низких частот пропорционально квадрату мощности входного сигнала, когда он слаб, независимо от значения т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
