В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Выражения функций Р(ш) для типовых нелинейных характеристик можно найти в литературе [20, 86, 105[. С использованием (15) запишем выражение для ковариационной функции выходного процесса К ((ь Гз)=54 (а (Б(1г)) а($(Ч)) = = — ~ ~ ~ г (са,) Р (в.,) М (еь " + з "") йо, с(ш,= =Ж' 2я) / . ) ) ~ (ш1) ~ ( д Фз (по газ 11 12) М сгаз ('1'4'17) (2л) / где (. — соответствующим образом выбранный контур интегрирования в комплексной области ш; Ф, (ш„ в,; 1„ 1,) — двумерная характеристическая функция входного процесса $ (1).
Ниже таким методом рассмотрен пример 3.4.5. 261 Из (12) и (17) следует, что как метод характеристических функций, так и прямой метод требуют одних и тех же априорных сведений о входном процессе с ((), поскольку характеристические функции и плотности вероятности связаны однозначными преобразованиями Фурье. Поэтому'оба метода равноправны, и для решения конкретной задачи применяется тот метод, который позволяет проще получить результат. Отметим, что если $ (() — гауссовский случайный процесс, то естественным результатом прямого метода является выражение ответа через табулированные производные от интеграла вероятности Ф!"».!! (х)= — ( — е, п=-0, 1, 2, ..., (3.4.18) ах" ), ЪI2л а при использовании метода характеристических функций ответ чаще выражается через вырожденные гипергеометрические функции !107! ,Р, (а; у; х) = 1+ — .
— + а х а (а+1) х' ° — + ... (3.4.19) т 11 т (7+1) 2! Однако это не имеет существенного значения, так как производные от интеграла вероятности и вырожденная гипергеометрическая функция связаны друг с другом известными соотношениями (111: т! 2т '172л ~ 2 2 2 ! <ь„»Ь!, ( — 1)т (2т)! ! 2т»-1, 1, х'~ т12 )' 2л Если на вход рассматриваемого нелинейного элемента воздействует гауссовский стационарный процесс $ (() с нулевым математическим ожиданием т) = 0 и корреляционной функцией )71(т) = В)гг(т), то процедура вычисления интегралов в правых частях формул (12) и (15) может быть упрощена применением специальных приемов. Применительно к формуле (12) один из таких приемов, названный методом дельта-функции, был развит в работах (108, 109!.
Позже аналогичный метод, называемый методом Прайса [110), был применен к вычислению интегралов вида (17). Метод дельта-функции базируется на представлении двумерной нормальной плотности вероятности гауссовского стационарного процесса $ (() с нулевым математическим ожиданием в виде ряда (2.5.25). На основании этого представления формулу (12) можно привести к виду .'~~'~ ) а) ~ и! л ! 'э =Уй:, ° (3.4.21) где математическое ожидание выходного процесса т) (() определяется выражением 362 т„= М (ц И)) = ~ д (х) р (х) дх = — 1 д(х) Ф' ( — ) 4х.
(3.4.22) э., 'х 'г/ Интегралы, входящие в формулу (21), будем вычислять интегрированием по частям. Применяя интегрирование по частям т раз и используя свойства функпии Фои (х): Ф~"-ьп (оо) = 0; Ф< +и (0) = 0 при и четном, получаем п(х) Ф'"+и ( — (дх=( — оз ) ( д~'> (х) Ф<"+'"'>( — ( дх.
( оь! Следовательно / х ~ ) г~ (т) а= ! $ (3.4.23) Применительно к различным кусочно-разрывным характеристикам нелинейных элементов следует выполнять интегрирование по частям такое число т раз, чтобы т-я производная йгм(х) превратилась вдельта-функцию или сумму дельта-функций. Последующее интегрирование с дельта-функцией легко выполняется согласно формуле (1-б), после чего получаем результат, выраженный через табулированные функции Фоо (х) (см. пример 3.4.3). Формула (23) устанавливает связь между корреляционной функцией выходного процесса и нормированной корреляционной функцией входного процесса и, следовательно, позволяет найти спектральную плотность выходного процесса по известной спектральной плотности процесса на входе нелинейного элемента.
Наличие в (23) членов с и )2 приводит к искажению и расширению спектра выходного процесса по сравнению со спектром входного процесса. Этот результат является общим и представляет вторую характерную особенность нелинейных безынерционных преобразований. Перечислим другие возможные применения метода дельта-функций 170): !) он применим не только к кусочно-линейным характеристикам, ио и к кусочно-разрывным характеристикам более общего вида; 2) позволяет анализировать кусочно-разрывные преобразования негауссовских процессов; 3) с успехом применим к вычислению корреляционных функций сообщений, квантоваиных по уровню; 4) оказывается эффективным при вычислении не только ковариационных функций выходных процессов, но также и при определении высших моментных функций.
Метод Прайса и его обобщения относятся к частному случаю, когда входной процесс $ (() гауссовский, и состоят в следующем. Пусть требуется найти взаимную ковариационную функцию К„((п(,) = = М(тп ((г) т(, ((,)) для процессов на выходе двух нелинейных элементов (рис. 3.33), на вход которых воздействует гауссовский процесс 1 ((). 363 Рис. З.ЗЗ К вычислению взаимной ' ковариацион. ной (зункции на выходе двух нелинейных але- ментов По аналогии с формулой (17) можем написать 1 '~гг ((ы гг)= гг(тог) гог (шг) Фг(%» шг1 1», гг) сжг т(тпг, (2л))г ~ ) (3.4.
24 ') где Ф, (ш„гвг; г'„(г) — двумерная характеристическая функция гауссовского процесса $ (() вида (1.4.22), для которой выполняется соот.,ношение (1.4.24), т. е.. о" Фг (т"1 го»1 (1 (г) ('-11 ог шг с г) Фг (тег~ и'г (1~ (г)' дгг~ Отсюда и из (24') следует, что 7(гг ((1~ (г), з ) п11 з 1 (п11) т(тот ) ц1р з'г (цзг) х д (о,ог) ( » дт» (2л1Р $ г х Фг(геы гег1 гг, гг) г(п1» 1тизг. Подставив сюда исходное определение характеристической функции Ф, (ш„гиг; (г, (г) = М (ехр (гоД» + тогвг)) и поменяв порядок интегрирования и вероятностного осреднения, имеем — 7(гг ((з (г) = — М 1) то, гг (гог) е г Шаг х (2 1)г г 1„,к,ыз нз,).
Из выражения (15) следует, что —, ) ш'г (то) е"»с(то= =дг»1 ($). д»а (З) 2л1 " дз» д" Поэтому — Д гг ((г гг) = (от оы» йг (к) ' ($ (1»)) на" (ь ((г))) дг" = (итог) ) ~ д1~~ (х,) д1»~1 (хг) Рг (х„х,; (г> (г) с(хг с(Хг, (3.4.24) где р, (х„х,; („(г) — двумерная нормальная плотность вероятности (1.4.21). Формула Прайса (24) устанавливает связь между производными от взаимной ковариационной функции выходных процессов по нормированной корреляционной функции входного процесса и математическим 364 ожиданием соответствующих производных от характеристик элементов.
Эта формула может быть обобщена и на другие моментные функции. Однако нас здесь интересуют, наоборот, 'частные результаты, следующие из (24). Вели гауссовский процесс $ (1) стационарен и рассматривается одно преобразование, то в формуле (24) нужно положить дЯ) = я ($) = = д($). При этом получим д~д () =оаь ~ ~ д~ы(х,) апп(хД р2(хь хз; т) дх с(хь (3.4.25) дг~ (т) $ где р, (х„х,; т) — двумерная нормальная плотность вероятности (2.5.15). При вычислении по формуле (25) ковариационной функции процесса на выходе нелинейных элементов с кусочно-разрывными характеристиками, как и в прямом методе, нужно брать такое значение й, при котором й<~' (х) представляет сумму дельта-функций И10).
Тогда интеграл в правой части всегда вычисляется и, следовательно, находится производная дь Кч (т)/дг~~(т). Что касается последующего интегрирования по г ~ с целью определения К„(т), то оно летно выполняется лишь в частных случаях, например, когда воздействующий гауссовский стационарный процесс з (1) имеет нулевое математическое ожидание и характеристика имеет разрыв в нуле, т. е. у<м (х) = )- б (х). В примере 3.4.6 формула (25) применяется к непрерывной характеристике элемента. Полагая в (24) д,($) = аД), й',(~,) = с, и й = 1, получаем формулу, устанавливающую зависимость между входным и выходным процессами: =-о~ ~ д' (х) р(х)дх=сопз1. (3.4.25) дг~ (т) Следовательно, К„(т) =- сопз( г) (т) + с. Из физических соображений ясно, что при гь (т) = (), К;, (т) = с = = лет„.
Поэтому Йм = Игч (т) = М ((Б. — те ) (П вЂ” т,)) = сопз( гт (т), (3.4.27) т. е. взаимная корреляционная функция между входным гауссовским стационарным процессом и процессом на выходе безынерционного элемента по форме совпадает с корреляционной функцией входного процесса. Формула (27) является частным случаем более общего результата И11). Пусть $ (1) и )) (Г) — два процесса со стационарной совместной плотностью вероятности и взаимной корреляционной функцией )Ь~(т) = й) И (() — щз ) (Ч (1 + т) — шч )).
Пусть процесс т) (() подвергается нелинейному безынерционному преобразованию ь (Е) = а (Ч ())). Запишем взаимную корреляционную функцию между $ (1) и ь ((+ т): э) 5 Ртс (т) = йй (!$ (1) — гпе ! (й (( + т) — гпс !). Можно доказать, что имеет место соотношение пропорциональности Ям (т)=С Я»ч (т), (3.4.28) справедливое для всех характеристик й ( ), если и только если в выражении Г(У, т)=М (($(1) — птг))Ч(1+т)=у! рч(д) (3429) разделяются переменные у и т, т. е. I (у,т) = 6 (у) йт (т) (3.4.30) Коэффициент пропорциональности Са в (28) зависит только от характеристики элемента д (х), но не зависит от т.
Отметим, что интересуюшие нас корреляционные функции выражаютсч через Г (у, т): Иьч (т)= ~ у) (у, с) г(у, )см (т)= ) д(у) г(у, с) с(п. Формулу (24) можно обобщить на нелинейные безынерционные преобразования более общего типа 1112! Ч12 (~1~ ~т) ите (»т (~1)г»2 ( 2) )> (3.4.31) где 5т (1) и Еа (1) — совместно гауссовские случайные процессы.
В данном случае она принимает вид д* Кч (1„1в)/дг~~= (Ьтар ( ы х)1 =(о, о,) ~ р, (хь х,; („1,) дх, с(ха. (3.4.32) дха дхе 3 т В том частном случае, когда Чгт(1„га) = Чт(ст) Чт(гг) = кт(ьт(гт)) Х тс дт($т((в) ), формула (32) переходит в (24). дополнительные сведения по нелинейным безынерционным преобразованиям можно найти в литературе 1111 — 119!. Проиллюстрируем методику применения изложенных методов на частных примерах. Пример 3.4.3. Корреляционная Функция процесса на выходе «линейного» ограничителя, Пусть на вход «линейного» ограничителя, имеющего хараитеристику (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
