В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 68

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 68)

(Вгте 2" /з 1" (а/2) о Рхт(т;л фу р г з д и и и /т ы ил и г 4 р а ю /д /ь м ил Рис. 3.24. Плотность вероятности а функцзя расареяе- ления дз Видно, что плотность взрояааюсюи и фдааиия расаредеаааия оаредзллютса одним аарииегарои и, иоглормй называется числом самаеава свободы да-респределеиия. На рио. 3.24 приведены графики плотностей вероятностей и функций распределения уз.

При а(2 плотность вероятности постоянно убывает, а прн а ) 2 имеет единствевйый максимум в точке л а — 2. В соответствии с цевтральной предельной теоремой с увеличением числа етепеней свободы (числа слагаемых) а плотность вероятности стремится и нормальной. Подобно биномиальному распределению, распределению Пуассона и нормальному распределению дз-распределение воспроизводит себя при композиции. Если случайные величины )(',...,)(' независимы и описываются )(з-распределепнями. рк* (лб ад, то сумма 2 )(,' распределена также по закону рх. (х; Еа;), 1 Пользуясь выражением для характеристической функции (44), по формуле (1.3.46) находим начальные моменты юь = а (а + 2) а ° .

(а + 2Ф вЂ” 2). Первые четыре центральных момента равны рт = и, рз 2а, рз 8а, рз = 48а+ 12из. Приведем некоторые обобщения )(з.распределения. Пусть гауссовские случайные величины Сю дз, ..., $а зааимзо независимы, имеют нулевые математнчесиие ожидания и одинаковые диепероии () = Р, 1 = 1, 2, ..., а. Тогда случайная величина хз=Х" ЗС/ булез иметь плотность вероятнеати 'х (1 ) 2 1 л/т ! з/2О к' ' (20)а/з 1. („/2) (3.3.47) х~0.

(3.3.43) 345 2 / и Ч!/2 р(х)= и"-'е-"'/'и, ц=~~ч', св ~, (З.ЗЛО) (20)" /2 Г (п/2) 1«! О"Г(.,2) ~ а- Плотноыпь вероятновти (бу) называет т-распределением в п втепеияма свободы. Пуе!ь, например, компоненты ех, ов, о, скорости молепулы в прямоугольной системе координат неззвисимы и нормально распределены с нулевым мате- --Г .ю с. т ° - Г ° ° -р.,х.,* еъ' согласно формуле (60) имеет плотноеть вероятности Максвелла 2 х"" р (х) = — — е, х > О. и рз/2 (3. 3 Л2) Если независимые гауесовские случайные величины 5!, ! 1, п, имеют параметры М ($/) тг, О! О, ! 1, й то плотность вероятности случайной Л величины )(з Е 5~ определяетея формулой /=! «=о где р (х; а, т) — гамма-распределение (3.2.103) и т' т' + ...

+ т,', дто распределение называетея нецентральным тжравпрвдвлвнивм е п степенями свободы и параметром нвцентральности й = тз/О. Можио доказать, что нецентрвльное у -распределение обладает воспроизводящим свойством по параметрам п и А! если случайные величины йы ! 1, «, независимы и имеют роответствен. но распределения р, (у!! а!, "ь!), ! ° 1, й, то еумма т) ил+ ...

+ ц«имеет нецентрвльное распределение р,, (у) Х/ !пы 2/ !Х!). 2. Распределение С т ь ю д е н т а . Пусть а + 1 случайных ее. личин с, цг, „., $„ независимы и нормально рзсгределены все о нулевыми мзтемвтическимн ожиданиями и одинаковыми дисперсиями О. Найдем плотность вероятности случайной величины (3.3. 64) Применив формулу (3.2.62) и учтя, что плотность вероятности случайной величины П двещя формулой (51), имеем 2 (п/2)п22 1/2п В!"+!)'2 Г (П/2) о Х ехр( — (п+зз) уз/20) с/у. Из плотности вероятности (48) с помощью преобразования переменных нетрудно получить следующие плотности вероятности: Р(х)- /2)л/2 Хи/2 ! пх/2О Е/, (3 3 49) 0"/2Г (п/2) а, Подстановкой и = (и + гз)уз/20, Ии = (и+ гз)уду/0 иитеграл приводится к гамма-функции, в результате получим (и+! ~ г( — ) 1 ~ 2 / / г' Ч-<в+!)/г рй(г;.и) ~! + ) Г(п/2) ~ п) 1 / гз '1-!п+ !!/3 ~1+ — ) Ф (3.3.55) )' и 9 (1/2, и/2) и где В(р, а) — бато-фуикция (90)! 1 В (р, а) = ~ хс (! — х)г ух= (' г (р) г (у) , р>0, а>0.

г (р (-а) Плотность вероятности (бб) известна иод иазсанием браснроделсния Стьюдснта с и степенями слободы. -д -2 -/ а / 3 дд -4-7-2 -/ у / 2 д х Рис. 3,25. Плотность вероятвости о функции браспределекия Стьюдеита На риа. 3,25 приведеиы плотность вероятности (55) и соответствующая фуо кцяя распределения Р! (г; а) Р (Ч г). Видво, что распределевве ве зависит от диспераии 0 иоходвых величин $ и $ь Рзспределеиие уиимодальво и аим.

метрячио относительно г О. Моменты распределения ть про а ~ и ковечпы. В частиоатв, математическое ожидание коиечво при п > 1„а дисперсия при и > 2. Вследствие симметричвости распределевия вае существующие моменты нечетного порядка рзвиы нулю.

Дисперсия 04 ) гз рй (г; п) ба=и/(и — 2). Для больших звачевий и случайиая величина $ ааимптотически нормально распределеиа а параметрами т, = О, О! — — 1, что следует вз выражеивя Игп Ро (г; и) =(2Я) 1/ ехР ( — гз/2). и-г Укажем, что если в (54) гзуссовзкоя случайвоя величииа 5 имеет мзтематвческое ожидаиве тй чь О и дисперсию 0„то случайная величина 5 (5 — и!9)/й имеет роспределевие (55), а алучапиая величины ь я/ц — так называемое неиентральнсс Ьрасяредслениг (97), 3. Раапределеввя Джоя сова (16, 93). Вмзтематическойсгатистике при аппроксимации змпирических рзспределевнй случайной величины $ используют трв типа распределений, получаемых путем различных преобрв- 347 зоеаний нормальной плотности вероятности В общем случае онн соответствуют преобразованию у = у + 65 [х;(з, Л), д ) О, † < У, р < оо, Л ~ О.

(3,3.56) Здесь Ь вЂ” монотонно возрастающая функция аргумента х; 7, Р, Л вЂ” параметры распределения; П вЂ” гауссовская нормированная случайная величина с нормальной плотностью вероятности р„(у) =(2п) г/з ехр ( — уз/2). Джонсон рассмотрел три аемейства функций Ь! Ь!(х;р,Л) 1п((х — р)/Л), х>р, (3.3.57) Ьз (х; р, Л) 1п ( (х — р)/ (Л + м — х)), р < х < р + !ь, (3.3.58) Ьз (х» р, Л) = Атей ( (л — р)/Л), -с < х < со.

(3.3.59) Из (56) и (57) находим л = Л ехр ( (у — у)/5) + м. Применяя правило (3.2.2), получаем плотноеть вероятноети О / !з! г (х) = ! (х — р) У2 2 6 — ехр ~ — — бз ~ — +!о (х — р) ] ~, у' у — 5! и Л, (3.3. 60) л ~ р, 6 ) О, — со < Тч <! со, — со < р < ао, Видно, что втв ееть логарифмически нормальная плотность вероятности о тремя параметрами, называемая также семейатвом распределений бь Джонсона. Для функции, определяемой выражением (58), аналогично получим семей- ство распределений Зв Джонсона, зависящее от четырех параметров: рз (х) — ехр ( ~7+61п ( )] ], (3.3.81) 9<л49+Лг 5)Оу — со Оую 9<сов Л>0. Преобразованию (59) соответетвуег четырехиарвметрическое семейство распределений 80: 6 ! Г1/ /х — р Рй (х) -= МБ М(-.)+ ° ехр ~ — — ~7+5 !и ! — + +[( — ) +1 ] ]) ], (3.3.62) — оь<х<сю,б>0, — с <у,п<оо, Л>О Кривые, соответствующие указанным распределениям, имеют весьма раз- нообразную форму.

На рис. 3.26 показаны области использования трех пере- численных распределений в зависимости от значений 8! н Оз, которые были оп. ределены формулой (1.5.15) и выражаются соответственно через коэффициен- ты аснмметРин и акецесеа. РаспРеделенив, длЯ котоРых значениа ()1 и 6з лежат вблизи линии 8„, можно аппроксимировать логарифмячееии нормальным вако- ном; распределения ео аначенинми йг и Цз, лежащими выше линии 8, можно представить семейством Бв, а распределения ео значениями От и ()з, располо- женными ниже линии Вь — семейством распределений Бц. Отметим, что в некоторых случаях целесообразно применять полигауссову, аппроксимацию плотностей вероятностей, т. е, представлять интересующие наО плотности вероятности взвещенной суммой нормальных плотностей вероятной стей с надлежащим образом подобраннымн параметрами (99).

4. Д р у г и е р а с п р е д е л е н и я. С законом )(З связаны следующим распределения, часто встречающиеся в статистике. Пусть вт и Оз независимы и имеют у'распределения р., (х,; и!) и р, (хз; и,). Тогда можно получить следую- щие плотности вероятности: 348 г("т-Рп ) х~.,/т>-ю р(х! пю, лВ ° 0<«<со, (3,3.63/ ,г (и /2) Р (и /2) (1+х)(л, +лю//2 $» /л )л,/е х(»ь»2( л~ .л» В(пэ/2, л,/2) ' (1-).хл„/пю)(л +лю)/и ю)лл — ' 0<«<со; сг/пэ (3.3.64) 3»/пю (лт/л,)л'/т ел»» р(х( пя» ююю) В(л»/2, лэ/2) (! ( еюеп /и )(л,+лю)/э » / пюбе т ю)=*!и ~ — /!» 0<«< со; ~ любэ / 1 г У /'24 Рлс 3.26.

Лэагрэчма рээллч. вию распределений Лжовсона П Е у ВВ 2 Р/ р(х; пг, и,) = 1 х(л»/т! ( (( «)(л»/2( ( В (лт/2, и„/2) () О<«<! . бт (3.3.66) Ьг+т Плотность вероятноатв (64) получена ив (63) путем перехода и новой влучайной величине (! (пю/л()б, а (65) — яэ (64) путем перехода ог ю) и г = !п г!. Равлределелие (64) назьиаельея Равлрвдетлием дивлюреиоллого отношения Фишера, (пе) — в-распределением Фишера и (да) — бета-роюлредевелаем Отмеюим, что бэта-рвспрелеление раопроэтрэняегая не случви, когда пг в пю — непелые чиала.

С втой иелью укажем другой апаэоб его получения. Пуать неэавиаимые случайные велячины Ц и $» имеют соответственно гэаиа.распределения р (хт) сс, т() э а (хю; п, гю), определенныэ формулой (3.2. !03). Тогда. плотность вероятности огноюения г) $»/ (кю + $ю) еогь бэгв-раепределениег ! Р(х( тт. тю) «»» (! «)~» ю, 0 <х < 1. В(т(, г,) Огвлекаяаь от конкретных апособов получения бэта-распределения, вани.

шем его в общем виде Р(гб 7» б) ллВ ((У» б) «(1 — и), 0<х<1. (3.3,67) Начальный момент Й-го порядка равен ть В (й+ 4», 6)/В (у,б)„ (3.3,63) гэн что л(4 ле р/ (у + 6), ()д уб/ (у + бэ) (у + б + 1). Бали т)т и ю) иеэавнаимы н имеет бета.раепределения с параметрами (ум бг) и (у„ бэ), то ик проиэведеаие () г)тг)ю также имеет бэта-рвапределение а параметрами (ув„ бх + бв), вали ух уэ + бэ. В общем случае проиэведеиие и вели„ки, име(ощни бэта-распределения а параметрами (уг, бг), ...,(ул, бл), гакнме 349 что тн = т!+т + бг+т, ! = 1, ..., и — 1, есть также боте-распределение с пара- МЕтраМИ [то бе+ .. + бо). Ролотность вероятности гармонического колебания со случайной начальной фазой. Рассмотрим ансамбль синусоидальных колебаний, имеющих од!!паковую амплитуду Л, и частоту ото, но случайные начальные фазы (см.

рис. 2.15) з([) = й(ф) = Ао з!и (гоо[+ р), Ао) О. (3.3.69) Предполагая известной плотность вероятности ре(гр) для ф, нужно найти плотность вероятности р, (х) для случайной величины з в некоторый фиксированный момент времени й р /р) гтг чо грп у![охгд йРпН д7 Рис. 3.27. Гармонический сигнал со случайной нзчзльной фазой (а) и плавная плотность вероятности [б) Особенность данного примера состоит в том, что при [ з ([) ~ ( А, уравнение Ао 3!и (гоо1 + ч') (3.3.70) относительно ор имеет бесконечное число решений (рис.

3.27, а) ф„=- = агсз!и (х/Ао) — стог, и = ..., — 1, О, 1, .... Так как д' (гр„) = = А, соз (гоо[+ ф„) =(Ао — зо)т)-', то по формуле типа (32.5) получим р, (х)=(Ао — х')-'/т ~ ре(гр„), [х((А . (3.3.71) При 1з1) Ао уравнение (70) не имеет решений и поэтому р, (х) = О. Рассмотрим частный случай, когда случайная начальная фаза распределена равномерно в интервале( — л, л), как показано на рис. 3.28: ре (ф) = 1/2 л, ! !р ! ( л.

Характеристики

Список файлов книги