В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 65
Текст из файла (страница 65)
(у) = Ры;. (д, у). Дифференцируя предыдущее выражение по у, получаем р„(д)= [ р~„е,(у,хД~(х,+ [ рР,ь(хну)дх,. (3.2.85) (3.2.88) Для независимых случайных величин 5, и ВР формулы (85) и (86) принимают внд Р„(д) = Ры (д) Ры (д), (3.2.87) р„(д) =р,,(д) Р,,(д)+р;,(д) Р,,(д). (3.2.88) 828 Дифференцируя третье равенство (80), находим плотность вероятно- сти Расчет надежности систем.
Поаученные формулы новволяют рассчитывать надежность сиз~~и, сосззвленных из злемеишз с ззввснмымв отхазамн. Будем интерпретировать случайные величины '-, н " заз случайные времена отказов двух элементов 1 и 2, начавшим работать в момэйт времени 1= О, Б зточ случае Р, (1) еать вероятность того, что элемент 1 откажет до цемента времени 11 О а р( (1)вг — вероятноатыого, что ои откажет в интервале времеви (1, 1+ 81). Совместная функция рвапределення Рд 1 (1„(з) определяет еовместзую вероятность того, что элемент 1 откажет до мойента времена гт, а злэмент 2 — до мо.
мента времени 1з. Сравним надежность систем, состоящих из двух элементов 1 и 2, при трез рваных способах нх зоедниеннн: оеновном (поеледовательиом), резервном (параллельном) н дублирующем (рио. 3,17). Обозначим через г) случайное время ЙЙ 0 0 У х( Рис. 3.17. Три системы, состоящие из двух элементов, и соответствующйе области интегрирования работы систем до отказа, В соответствии с определением основного и резервного объединения злементов в систему (с.
14), нетрудно прийти к заключению, что при основном соединении элементов т)з = ш1п (зы з~), а при резервном т)р = шах (зы з ). 8десь и в дальнейшем индекс указывает, к какому соединению злементов отно( сигея соответствующая величина. Работа третьей системы (дублирующее соединение элементов) осуществляется следующим образом.
Пусть первый элемент начинает работать при г = О. Если он откажет через промежуток времени тг, то автоматически и мгновенно подключается второй алемент. Если откзз второго элемента наступит через интервал времени чз после его подключения, то время безотказной работы системы будет равно сумме т = тг + тз.
Следовательно. хля третьей системы т) эг+ эз. Функции распределения гч (у), онределвюшие вероятность того, что система откажет до момента времени 1= у, для указанных трех систем определяются соответственно формулами (80), (85) и э з ге Ы ~ ~ Р( 1 (хг ° лз) г(хг лхз (3.2.88) Кзк следует нэ этих формул, функции распределения равны вероятностным массам в соответнтвующих областях (на рие. 3,17 они заштрихованы), Задав зозмеетную плотнееть вероятности рд 1, или функцию распределения Рд 1Р можно( вы.
числить равные карактеризтикн надежноети систем. Расемотрим чаетный случай, когда отказы элсмезгоз 1 з У независимы н описываются простыми пуассоновскими потокамя с параметрами интенсивности йз н йш Вероятнозть безотказной работы первой системы (прн последовательном 329 соединении элементов) в течение времени (определяется формулой (1,1,22), Подставив в нее согласно (2,7,22) вероятности Р;(1) ехр ( — Х! /), 1= 1, 2, безотказной работы отдельных элементов в течение времени Х получим Рэ (/) = ехР [- (Лт + Хе)1), При этом среднее время безотказной работы тг системы до первого отказа равно т~,-1 Ро (1) г(/=(Лх+Х )-' о Прн Х, = Хе = Х эти выражения принимают вид Ро (/) =ехр ( — 2Л/), т/о 1/2Х. (ЗЛ.90) По формуле (1.1.23) находим вероятность безотназной работы второй системы (прн резервном соединении элементов) Рр (Г) = ехр ( — Лг/) + ехр ( — Х, /) — ехр [ — (Лг + Л )/), з также среднее время безотказной работы т/в (Л1+Лт Ха+ Ч)/~ 1 Хз (ЛХ+Лз) При Лг — — Хз Х ати выражения упрощаются: р, (/) =[2 — ехр ( — Л/)) ехр ( — Л/), т~ 3/2Х.
(3.2.91) Р Плотность вероятности временных интервалов между соседними точками пузссоновского потока определяется формулой (2,7А4), Поэтому при дублирующем соединении элементов плотности вероятности случайных величин тг и т — времен работы до отказа элементов 1 и 2 задаются выражениями Рг (тг) *=' йт ехР (-Хгтг), Рз (тз) = Лз ехР (-Хзтз).
Плотность вероятности времени отказа третьей системы есть плотность вероят- ности суммы двух независимых случайных величин тг и тз1 она определяется формулой вида (60), а. е, Л, л, Р(с)= Рг(тт) Ръ(т сг)птт= (е ' ". ' ) ° Лз — Л, Вероятность безотназной работы системы в течение времени Г равна Рп (/)=1 — ~р (т) от (Х а х' г — Х. е х' !)/(Л вЂ” Хх), а среднее время безотказной работы т~в=(Л,+Х.)/Лг Л,. Прн Лг — — Х Х эти формулы прнннмают вид рд(Г)=(!+Л/)ехр ( — Л(), т! =2/Л. (3.2.92) Вероятности безотказной работы для трех систем, определяемые соответственно формулами (90), (91) и (92), иаображены на рис, 3.18, Видно, что наименее надежной являетсв первая система и наиболее надежной — третья, По среднему времеви безотказной работы третья система лучше первой в четыре рава, а второй — в три, разумеется, что такой результат справедлив лишь при наличии в третьей системе переключающего устройства е очень высокой надежностью: Если это не так и известна надежность переключающего устройства, то надежность третьей системы следует вычислять по формулам для смешанного соединения (с, 15).
330 Плотность вероятности модуля суммы (разности) двух случайных величин. Получим формулу для плотности вероятности случайной величины 9=! бт+ $з [ го.2.93) Рассмотрим предварительно вспомогательную случайную величину 5 = вт ~ йв. Плотность вероятности ее РЬ (х) [ рб (х ~ х„х,) г)кз. ,рФ 7,0 "2-Х Рис. 3.19. Случайное блуждание ча. стицы Рис. 3.18. Вероятности безотказной работы систем рнс. 3.17 ду О.д 73 76 40 49 гу.( Интересующая нас случайная величина т) связана с в равенством (28), и следовательно, ее плотность вероятности определяется формулой (29): ОО Р„(у)= [ Рй (У~ хз, хз)агхз+ [ РЬ( — у~ к,, к,)ух„у ьО. (3.2.94) Если $т и вз — независимые величины, то Рч(У)* ) Р1 (кз) [РЬ, (У~ хе)+РЗ ( — У ~ х,)[ сгхз.
(3.2.96) Совокупность непрерывной и дискретной случайных величин. Вычислим плотность вероятности случайной величины т) — 0,6 (! + й)ай! + О,б (1 — й)без, (3.2.96) где йт и йз — случайные величины о совместной плотностью вероятности Р,(хт, хв); а и Ь вЂ” постоянные, Х вЂ” диснретная случайная величина, принимающая два значения +1 и — 1 е вероятностями р и д 1 — р. Заметим, что ' а$в о вероятностью р, Ч= -( Ь|з с вероятностью д=! — р.
Поэтому для условной плотности вероятности можем напивать р (у[х,, хз) рб(у — ах,):+ уб(у — Ьхз), Везусловная плотность вероятности будет равна Р (у)= ) ~ Р (у [хт хз) Р1 1 (хт хз) дкт г(хз'= 1 1 [рб(у- Д+цб(у-ьх,н р,, (,,) 331 Выполнив интегрирование с дельта-функцией, окончательно получим Р (Р)= — ) Рй й (У)а, «з) г(х,+ — ' ~ Р (хю д(Ы бхю (3.2.97) Р ,) . ' ' (Ь! ьь, ' Если случайные величины Ц! и йз независимы, то ата формула упрощается: Р р р (р)= — р (р)а)+ — р (у)ь).
ф . )ь)1, (3.2,98) Результатами данного примера и примера 2.2.6 можно практически воспользоваться для формирования случайных процессов с требуемыми одномерными плотностямн вероятности и заданными корреляционными функциями. Случайные блуждания. Пусть йы зз, ... — независимые случайные зеличн. ны, каждая из которых принимает два аначения с вероятностями р и а= ! — р. Пусть далее а независимая от $ь случайная величина, имеющая пуассоновское распределение с параметром а.
Покажем, что закон распределения случайной величины (3.2.99) определяется выражением Р (Ьа — т)=е Х (руд)т(Х 1, (2), ~/РЧ ), (3.2. 100) где ! (х) — функция Бесселя т-го порядка от мнимого аргумента. Банную задачу можно рассматривать как частный пример теории случайных блужданий..Считая пока величину а (а ~ т) фиксированной, она допускает следующую интерпретацию. Пусть частица, имеющая возможность перемещаться вдоль оси я (рис.
3.19), испытывает случайные толчки. В результате каждого толчка частица перемещается либо на единицу масштаба вправо (с вероятностью р), либо на единицу масштаба влево (с вероятностью д). Считается, что каждый из таких шагов происходит независимо от других. После а шагов час'тица, первоначально находящаяся в начале отсчета, может оказаться в одной из точек; — а, — а + 1, ..., — 1, О, 1, ... а — 1, а. Найдем вероятность Р (Ьа т) того, что после а шагов частица окажется в .точке т, Обозначим через А число шагов, которые совершила частица вправо Тогда число шагов, сделанных влево, равно А — т. Так как общее число шагов равно а, т.
е, Й + (й — т) = а, то число шагов, сделанных вправо должно быть равно (а+ т)/2, а число шагов, сделанных влево, равно (а — т)!2. Так как порядок, в котором следуют друг за другом шаги в одном и другом направлениях, не играет роли, то вероятность такого события определяется биномиальным законом (70)! р(г„=т(а)=с„'+~ы Р! + и Безусловный закон распределения получаем отсюда осреднением по всем значениям случайной величины а ) га: хд ь Р (ьа=т) = ~Р Р ((„=т (;а) е х — = е ь (р/Ч)™т м а! а ды ((а+т)!2, ,!(а — т)12) ьм т! (т+т)! На основании соотношения (3.7 5) отсюда получаем (100), 332 Рассмотрим более обший пример, Пусть случайный процеаа т) (/) задан выражением з<0 и (<)- ~.", Ь. (3,2.101) ь ! Здесь $<...„йп — независимые случайные велнчнны, имеющие одинаковую плотность верпйтносгн р( (х); л (г) — целочисленный процесс пуассона а параметром Л, не завнсашйй от $п! Р (и (<)=лг)=е ' (Л/)~/т!, лг 1,2..., Покажем, что характервстическая функция процесса з) (/) даетсн формулой Ф„(!д; /) ехр (Л/ [Ф!<)0) ЦП <3.2,102] где Фт ()О) — карактериатическая функция случайной величавы аь Ф,([д) М (екр ()Ч)$Ц )/ е/ "рз(х) ах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
