В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 62
Текст из файла (страница 62)
3.4. Двузначное нелинейное преобразова- ние Если требуются лишь моменты (начальные или центральные) преобразованной случайной величины т[, то их можно найти без предварительного вычисления плотности вероятности р (у), а пользуясь фор- мулами М (т[") = М (д" (5)) = ) до (х) рй(х) дх, тч — — М (т[), (3.2.6) Р(ц=ув) =Р в=ха) =рв. Если же у,„= д (х ) = у (х,) (рис. 3.5), то Р (т[ = у,„) = Р (й = х,„) [ Р (й = х1) = р +рь 311 М ((т1 — т„)") = М ([д (5) — т„)") = ~ [д (х) — т„)" рь (х) дх. (3.2.7) Отметим, что закон распределения преобразованной дискретной случайной величины т[ находится проще непосредственно, а не с помощью формулы (5).
Пусть дискретная случайная величина $ принимает значения х„е вероятностями рв — — Р (й = ха), и = 1, 2, 3,... Тогда случайная величина т[ = у ($) будет также дискретной, принимающей значения ув = д (х„). Если у„= д (хв) только для одного значения х„, то Заметим, что если число возможных значений случайной величины $ равно и, то число возможных значений Н меньше или равно п. На с. 407 приведен пример линейного преобразования закона Пуассона. Укажем методику непосредственного определения функции распределения Ря (у) преобразованной случайной величины Ч = д ($) (рис. 3.6) по функции распределения Рь (х) случайной величины 5. Пусть с есть верхнее граничное значение функпии у = д(х). Тогда Г„(у) = Р(т( ( с) = 1. Если у = у„то д(х)( рт при х( х, (см.
рис. 3.6). Поэтому Р ч (ут) = Р (т( ( у,) = Р (9 ( х, ) = Р; (х,). Рнс. 3.6. Неоднозначное нели- нейное преобразование Рнс. 3.5. Неоднозначное нелинейное нреобразо- ванне Рч (у) = 0 при у ( д. При любой другой функции д (х) можно рассуждать аналогично. Рассмотрим несколько частных случаев (дополннтельные примеры помешев 93ьз).
Лннейное преобразованне Ч = я (С) = ов + Ь, (3.2.8) где о н Ь вЂ” постоянные величины. Твк как обратная функпня однозначна, то по формухе (2) получки ~а! ь( а ) (3.2,9) Если, напрнмер, велнчяна к имеет отлнчную от нуля н равномерную плотность вероятнастн в интервале (с, И), то Ч будет равномерно распределена в ннтераале- (ас+ Ь, по+ Ь). Следовательно, прн лннейном безынерпнонном преобразава- 312 Если у = у„ то уравнение д (х) = у, имеет относительно х три решения хг, хг и х;": д (х;) = д (х,") = д (х;") = у,.
Следовательно, Р„(у)=Р(ь(хг)+Р(хг =Б(х' )=Ге(хг)+Ре(хз' ) — Рз(хг). Наконец, если Н вЂ” нижнее граничное значение у, то событие (т) (у) невозможно и нин равномерная плотность сохраняется. Нетрудно убелиться, что этот результат распространяется и на нормальную плотность вероятности. Квадратичное преобразование (безынерционный двусторонний квадратичный детектор) г) = й й) = а"сэ. а ) О. (3.2.10) В данном примере ц не может принимать отрицательные значения и поэтому рч (у) = 0 для у с.
О. При у ) О обратная функция имеет две ветви (рис. 3.7): хг=(у/а) /з, х,= — (у/а) / . Хл () ХГ гд Рис. 3.7. Квадратичное преобразование н плотноств вероят. ности 2 (/ау ' а + -" —, ° У) О. (3.2.11) 'Если плотность вероятности р„(х) есть четная функция, т. е. Рй( — х) = Рэ(х), то формула (! 1! упрощается: Ря (у) (ау) Рэ И(у/ ) д ~ 0; Р„(у) =О, У < О. (3.2.12) Если $ имеет нормальную плотность вероятности р (х) =(а (ггйп) г ехр ( — хз/2ойг), то формула (!2) принимает вид (см. рис, 3 7).
Р, (у) =(о! (/2нау) ехр ( — у/2аог), у ) О. (3.2.!3) Для нелинейного преобразования (безынерционный односторонний квадратич- ный дегеагор) вида аяэ, С > О, О, в<0, (3.2.!4) вместо формулы (13) получим Ри (У) =6(у)/2+(2ой ь/2нау) ехр ( — д/2аа() д) 0 и р„(д) 0 при у < 0 (см. ниже). Нетрудно показать, что если преобразованию (10) подвергается величина $ а равномерной плотностью вероятности Рй (х) = 1/(г( — с),с< х<г(,с<О,г() О, (3.2. !5) случайная (3.2.16) 313 Поскольку д'(хг) = 2ахг = 2 (/ау, д'(хэ) = 2ахэ —— — 2 (/ау, то на основании формулы (5) получим то плотность вероятности преобразованной величины 0 равна К О, у~О, Р„ (у) = 1/(х( — с) )/ау, 0 < у ( аах 1х'2(б — а) (/ау, ас' (у(ахч. Применительно к атому случаю особенность преобразования (! 0) состоит в том, что при (х)( ! с( обратная функция двузначна, а в интервале ( — с, г() однознач- на.
При с, б ) 0 или с, д ( 0 преобразование будет однозначным. условие нор- мировки к единице для плотности вероятности (П) выполняется: (3.2.!7) ! 1 ас' аа' рп(у)бу= ) ~ у бу+ — ) у бу '1/а (д — с) ~ ° 2,) е ааа 2!с ! а — !с! д+!с! + 1 б )у (х) ()-б па () () !Оа !й ' ''у Рвс. 3.3. Логарифмическое преобразование Логарифмическое преобразование. Пусть преобразованию т! = 1п с (3.2.! 8) подаергаетвя случайная величина $ а равномерной плотностью вероятности (рис. 3.8) (3.2.!9) Р.(х) = 1г(Ь вЂ” и), а, Ь ) О.
В данном случае Р (у) = еа)(Ь вЂ” а), 1п а ( у ( )п Ь. (3.2.20) Кусочно-линейные преобразования. Рассмотрим несколько примеров кусочно-линейных преобразований, которые покажут, что з результвте гакнх преобразований из непрерывной случааиой величины можно получить непрерывную, дискретную или непрерывна-дискретную (смешанную) случайную величн- нУ О. Принцип определения плотности вероятности выходной величины подробно опишем на примере ограничителя (рис, 3,9), имеющего характеристику — Ь при 5~ — (1, 0=и(с)= х3 при — О ($ (и, (3.2.21) а при 3)п. На интервале ( — Ь, а) данное преобразование является линейным; у = зх. Поэтому в атом иатервале Р (У) =Р» (У!5)!х, т.
е. плотность вероятности для т) по виду совпадает с плотностью вероятности для 3. Вероятности того, что 0 ( — Ь или х) ) а, равны нулю. Все значения х, 314 для которых $ ) а. преобразуются ограничителем в одно значение у = а (рнс. 3.9). Аналогично асе значения х ( — () преобразуются в аначенне у = — Ь.
Следовательно, вероятности — Ь о, ~ оз(х)ах р,=) р„(х) р(х, (3.2.22) а преобразуются для з) в дельта-функции, расположенные соответственно в точках у=а и у= — Ь. а а рту(у-а) —,в н рг(Р) х О рто(у+Р) ~ Рнс. 3.10. Квантование непрерывной случайной величины Рис. 3.9. Преобразование плотности вероятности ограничи- телем рг (хх р — Ь при 3~0, т)=у(с) = О, при $ =О, а, при ь)0, (3.2,2() выходная величина т) является дискретной а плотностью вероятности р, (д) = р~б (у — а) + рз б (у + Ь), (3.2.25) где вероятности рг и р определяются выражениями (22), в которыя нужно по. ломить а = () = О, Пусть случайная величина с подвергается квантованию, причем нелинейная характеристика квантующего устройства лестничная (рно, 3,10): т) = у ($) = пб, пй ( $ ( (п + 1) А, (3.2.26) где и — целое число и Л вЂ” постоянный шар квантования.
31$ Следовательно, плотность вероятности случайной величины на выходе ограничителя можно записать (у) = оа (уlз)!з+ Р,б (у — а) + Рзб (у + Ь), — Ь (у < а (3.2.23) н рч (у) равна нулю прн у ( — Ь н у ) а, Если на вход ограничителя воздействует непрерывная случайная величина 3 (вапример, нормальная — см.
рис. 3.9), то нз выходе ограничителя в общем случае получи~аз смешанная случайная величина гн которая принимает непрерывное множество значений в интервале 1 — Ь, а) н два дискретных значения д = — Ь, а соответственно о вероятностями рз и Рт, Очеввлно, что для идеального несмещенного ограничителя, имеющего ха- рактеристику ух тг () Рис. 3.11. Нелинейное преобразование и плотности ве- роятности т)=у (ь) =(с+! с 1)!2=1 ( 0 при ~<0, (3.2.30) вместо формулы (29) получим р„(д) р (О) б(д)+рт(д), д) О.
(3.2. 31) Преобразование заданной плотности вероятности в равномерную. Рассмотрим преобразование, представляющее практический ннгерес. Пусть непрерывная и д у Рнс. 3.12. Преобразование заданной плотности вероятности а прч- моугольную 316 В результате квантования получится дискретная случайная величина т), принимающан значения у = лй с вероятностями Р(О=аб)=Р(пЛ (Г х (а+1) Л)=г, ((я+1) А) — Р (пц), (3.227) где г* (к) — функция распределения случайной величины 3.
ч Функция распределения у„(у) имеет вид лестницы, высота ступенек в точках лЬ определяется выражением (27). Соответствующая плотность вероятности представляет собой последовательность знвидистантных дельта-функций о сомножителями. (27).
Рассмотрим нелинейное преобразование (безынерционный двухполупериодный линейаый детектор — рис. 3,11) ' Д - 1$) ° (3.2.28) Очевидно, что значения т) ( 0 невозможяы и поэтому р (д) = 0 при ч ( О. ч . При О ) 0 обратная функция имеет две ветви к, = у и х = д. Воспользовавшись формулой (5), получим р„(д) р- (у) +р„( — д), у ~ )о. (3,2.29) Характер плотности вероятности рч (у) для случая, когда 4 — нормально распределенная случайная величина, показан на рис, 3.1!. Для безынерционного однополупериодного линейного детекгора с харак- теристикой случайная величина й с функцяей распределения Рй (х) подвергается преобраао- ванию (рис.
3.12) з) = а+ (ь — а)Р (Р, (3.2.32) где а и Ь вЂ” заданные значения. Убедимся, что в результате преобразования (32) непрерывная случайная величина $ с заданной функцией распределения преобразуется в равномерно распределенную на интервале (а, Ь!. Действительно, для предельно возможных аначений случайной величяпы равных — оо и оо, должны всегда выполняться равенства Рй ( — оо) = 0 в Рз (оо) = 1. Тогда из (32) следует, что все возможные значевия случайной величины г) могут быть заключены только в интервале (а, Ь!. Запишем формулу (2) в виде Рч (У)=рй (х) ! аУ)ах! (3.2,33) Из (32) имеем ау!о(х=(Ь вЂ” а) Р„' (х) =(Ь вЂ” а) р (х). Подставив вто выражение в (33), получим нужный результат (рис.
3,!2) Р, (у) = 1!(Ь вЂ” а), а < у < Ь. (3.2.34) Следовательно, всякая непрерывная плотность вероятности может быть преобразована в прямоугольную (16, 93]. Нз практике(при получении на ЦВМ случайных чисел с заданным законом распределения р (х) из равномерно распрелеленных случайных чисел р (у)) часто аользуются обратным преобразованием э=уй-з ((з) — а)у(Ь вЂ” а)), (3.2.35) где Г ' (х) — функция, обратная заданной функции распрекеленяя Рз (х].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
