В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Такие сигналы широко используются в современных цифровых системах связи, поскольку их сравнительно просто генерировать и при оптимальном приеме оии обеспечивают более высокую помехоустойчивость, чем ЧТ радиосигналы с разрывом фазы. ЧМН радиосигнал можно записать в виде Здесь А, се, и ез (() — соответ твенно амплитуда, несущая частота и случайная частотная манипуляция, гре — случайная начальная фаза, равномерно распределенная в интервале! — п, п1.
Предположим, что ез(г) представляет собой скачкообразный случайный процесс, принимающий одно из й возможных фиксированных значений йо 1 = 1, й, причем смена этих значений возможна только в моменты времени ( =- тТ+ Л, т = О, 1, 2,... (рис. 2.60). Здесь по-прежнему Т вЂ” постоянная и известная длительность тактового интервала; Ь вЂ” случайная величина, равномерно распределенная в интервале 10, Т), При указанных характеристиках случайных величин гре и Ь сигнал з (г) является стационарным процессом.
299 Обозначи)! последовательность значений случайной частоты манипуляции а в полуинтервале (О, т) соответственно через о„о„ со„+,. Принято, что эта последовательность представляет собой цепь Маркова 117), для которой задана матрица одношаговых вероятностей перехода и)! л)! пм " пьь П= (р(а,„+,—— Р!) о„, =(2!)) = и вероятности начального состояния Р)=Р(а)=!)!)=- =Р(о +)=()!) совпадающие с финальными вероятностями.
Запишем выражение для корреляционной функции радиосигнала (18) Я (т) = М (з (1) з (! + !)) = (2.9.17) р(о„..., о +,) = р(а +!).П р(а! ~а)+!). (2.9.19) ~=1 Обозначим через ! [Ь! = М („р )( [В Ю~Ь( условное (при фиксированном Л) математическое ожидание. На основании (18) и (19) можно записать ф(Л)= ~ (" ~~~~е)о р(о,)а!))е)го| р(а)[оо))... °" е ! Р(а~+!) )о + [т-Ь-[т — !) Т),,) Это выражение удобно представить в матричной форме: )р (Л) = а (т — Ь вЂ” (т — 1) 7 ) В - ' П' е (Л), где обозначено а(т) =(р! е!" ',..., Р„е)о! '1, Фигурирующий здесь интеграл можно представить в виде (см. рис. 2.60) т О3 о ([) ![[ = о! Л +Т ~ а)+ а .[! (т — Л вЂ” (и — 1) Т). (2.9.18) ! 2 Вследствие марковского характера последовательности о справедливо соотношение ео,г 0 0 е'"1 г В= 11' Е, Е= ет (Д) [е 1о, ь ешь~[ И~ ~- — "1 ~ *~[.<.' — Ча'и'.~Ь)~Ь~- 2Т о г +1 ~" — л<.т>в',~л — г|1ф (2.9.20) Используя обозначение следа матрицы 1г( ° ), представим (20) в виде ~т Я~,~= — "' 1 ~ " ~[~.(в'и' ~1> < ' — 11И1- 2Т о г ~.1 ~ (в,~л — т1 ~' — ь<.т~>~1~).
Меняя порядок операпий интегрирования и 1г ( ) в силу их линейности, получаем Й (т) = — 1те (еим ' 1г(В'О)), (2.9.21) 2Т Ъ где О = 1ГО1 (т') + Е ' О, (т'). Здесь введены матрицы О, (т') и О, (т'), элементы которых определяются из соотношений 1 г О, (т') = ) е (Д) а (т ' — Д) НД, О, (т') = ) е (Д) а (т' — Д+ Т) сй о и равны юп 1~я ~) 1та (т) ~ (а т+а т) ю (и г+и 'с)[ дз (т) — Р е, т ~ и, (2.9.22) 1 (мп ~тЭ Н1 (т) = р,„т ею ° ° 1(1 (ч) =Рш(Т вЂ” ч) е'("т ~"т'). 301 т — символ транспонирования матрицы. Как следует из (17), корреляционная функция получается осреднением 1р (Д) по Д. При фиксированных Д и т число разрешенных точек перехода я=1+1, если О< Д<т', и и = 1, если т'< Д < Т. Здесь т' = т — 1Т при 1Т < т < (1 + 1)Т, т. е.
1' — целая часть дроби т/Т. Поэтому (17) можно записать в виде В нематричной форме (21) имеет вид (2.9.23) где Ь~ „— элементы матрипы В', а г(„(т) — матрицы О. Спектральная плотность рассматриваемого сигнала находится по известной формуле 5(в)= ) Й(т)е — к" Ж. Нетрудно показать, что для узкополосных процессов эту формулу мож- но привести к виду 5(0)= — Ке '~ (г(е- пг'В'0'), хи 2Т г=о (2.9.25) = и'0; (О) + В-~0; (0). т введены матрицы 01 (О) = ~ 0, (т) е-ю' йт и 0з (О) = в где 0' Здесь = ) О, (т) е-3о'г(т, элементы которых равны о ~ (и„-а) т р„, ~1 — е ~~п-~т 1..~н — ы ~ (о~-о) г Р,„те ™ Р„( ~(а -я)г 1(а — и) (о гр ' (2.9.26) 302 где р (т) — комплексная огибающая корреляционной функции )г (т)= = Ке (р (т) еы'"), й = м — о„. Выражение для р (т) сразу следует из (21).
Для отрицательных частот спектральная плотность определяется из условия 5 ( — й) = 5 (й). Подставив р (т) в (24) и интегрируя, получим Поменяв местами операции 1г ( ) и суммирования в (25) и учитывая матричное тождество Х В' е = к«т' = (1 — е- «пт)-1 1 ю«а где 1 — единичная матрица размерности й к «2, можно привести (25) к виду 5(11) = — Ке (1г 01 — е-«ат В) 10')). (2.9.27) 2Т В радиотехнике наиболее распространен бинарный случай (й = 2).
При этом 111 = р, 112 = — р. Ограничимся случаем симметричной цепи Маркова, когда матрица перехода и вектор'финальных вероятностей заданы в виде 11=~ 1 р'=(05' 025). р1 -~-~ Л е «Вт 1 2 Л' — Л' Л2 — Л1 (2.9.29) Ь«„= уе«зт Л,— Л1 Л, 1+1 1+ « Ь!„= ' ' — ре« Вт л2 Л1 «"2 Л1 Л,— Л Если характеристические корни матрицы В кратные, что на основании (28) ««мест место при р соз ««Т = ~ ) р — д, то Л, = Л, = Л = = ~ )/ р — д и элементы матрицы В' равны Ь вЂ” (1 1)Л«;~ «Вт Л«-«Ь« ~ «Вт 1Л««1 +2 Р Л' — «е-«ВтЛ«+«, (2.9.30) Ь«„= «.
е«зт Л«-«, Ь«„=(1-+1) Л вЂ” 'ре«зт Л«-«. Нетрудно заметить, что выражения (Л', — Л«,) l(Л2 — Л„) и Л,Л действительны при всех значениях 1=О,1,... Учитывая это, можно показать, 303 Основная сложность при получении корреляционной функции по полученной общей формуле (21) связана с возведением матрицы В в степень «. Воспользуемся для этого стандартной методикой. Характеристические корни матрицы В равны Л1 2= р соз рТ -~ Р р' соз2 рТ вЂ” 2р+ 1. (2 9 28) Если характеристические корни матрицы В простые, т. е. Л«~Л„ то элементы матрицы В' равны Л,Л2(Л1 — Л, ) + «Вт Л',— Л2 '11=- Л вЂ” Л Л вЂ” Л р е«В«. '1 — Л2 + р Л Л Л2 — Л1 + р Л2+ — Л1+ + Ч Л2 — Л1 Ч Л2 — Л1 Ч Л2 — Л« что выражение 1г (ВЩ тоже действительно, поэтому (21) для ]с (т) можно записать в виде Л (т) = — Ф„д11 (т)+ Ь12 2(21 (т)+ Ь'212(12(т)+ 2Т +Ь'212(22(т)] созы,т, (2.9.31) где Ь' определены (29) или (30), а 2( „(т) легко получаются конкретизацией (22).
Из (27) нетрудно получить выражение для спектральной плотности бинарного ЧМН радиосигнала: Б (Й) = — Ке (Ь„2(„(11)+ Ь124, (Й)+ + Ь21 312 (~) + Ь22 ~(22 (~)). Эдесь Ь „— элементы матрицы ]1 — е-1отВ] ', равные р,-2 ~В+О2т и рт '1от ] ( 1 2Я2т 22- ив+а~ т 2 ОГ 1 — 2ров рТе 1~~-]-(р — Ч) е 2 <в-в т Ь21 1-Зр соь Рте-'"т+ (р — д) е-""' 1<в-а~ т (2.9.33) Ф 1 — 2Р со2 рТе 1о~-]-(Р— Ч] е а выражения (26) прн 111 = — 02 = р и р = 0,5 определяют 2( „(Р). Известные результаты (102] для корреляционной функции и спектральной плотности ЧМН радиосигнала с независимыми символами (Р = 4 = 0,5) можно получить из (31) и (32) как частные случаи. Действительно, при д = р = 0,5 из (28) находим Х„)21 (2.9.34) Х2 = 0~ Х2 = соз ]]Т.
Подставив (34), (29) в (31), после некоторых преобразований получим Я (т) = р (т) соз 22„т, (2.9.35) А2 — ]р (2Т вЂ” т) соз ])т+ з]п бт], 0 < т ( Т, 4'ГВ Р(т) = — соз1-1 рТ (])Т соз]1 (Т+т')+рт' з(п рТ 21п рт'+ 4ТР +21п~гсозбт1], к~Т. Выражение для спектральной плотности ЧМН радиосигналов с независимыми символами получается путем подстановки (26) и (33) при р = д = 0,5 в (32): З04 бои лгг лб гбггз А б яг бб эг'гя зпп л г йб б б,г аб оп'гз б яг 44 бб а~~ге Рис.
2.62. Спектральная плотность огибающей корреляционаой функции бинарного ЧМН радиосигнала с различными вероятностями перехода н индексами модуляции Рис. 2.б1. Огибающая корреляционной функции бинарного ЧМН радиосигнала с различными зероятностями перехода и индексамн модуля- ции Т 1 — 2 сок йТ соя пт+соззРТ 1 Ц вЂ” Р М+5 1 Эту же формулу можно получить преобразованием Фурье от корреляционной функпии гс (т), определенной формулой (35) 1102). На рис. 2.61 в виде графиков представлены результаты расчетов по формуле (31) огибающей корреляционной функции гс (т) для трех значений вероятности перехода и трех значений индекса модуляции (бТ(п.
Соответствующие вычисления спектральной плотности по формуле (32) приведены на рис. 2.62, Из рис. 2.62 видно, что спектральная плотность существенно зависит от аначения д. Лаже малые отклонения д от 0,5 (т. е. от случая зов независимых символов) приводят к существенному изменению спектральной плотности. Увеличение индекса модуляции (оТ от 0 до и приводит к расширению спектра Чй(Н радиосигнала. С приближением рТ к и в спектральной плотности увеличивается пик, переходящий при рТ=п в дельта-функцию.
Соответствующая ей гармоника не доставляет информации, и поэтому такие радиосигналы неэффективны. Отметим, что для упрощения выше не учитывались флюктуации частоты и фазы генератора, которые приводят к искажению спектральной плотности. Соответствующие выражения можно получить на основе приведенных результатов применением известной методики [17!. Иапример, наличие у ЧМН радиосигнала (16) фазовых флюктуаций, описываемых уравнением о(ор/Ж=пч (г), приводит к появлению в выражениях для корреляционной функции (21) и (31) дополнительного сомножителя ехр ( — Л~ч [т!/4).
При этом очевидным образом изменяется выражение для спектральной плотности. Изложенный выше метод распространяется на некоторые другие, не бинарные радиосигналы. Рассмотрим нашедшие в последнее время широкое распространение радиосигналы двукратной фазовой телеграфии (ДФТ) и двукратной фазовой телеграфии со сдвигом 11031. Сигналы ДФТ и ДФТ со сдвигом имеют вид я (/) = А соя [ооо/+ Х, (/)и + ор! + А я!п [гоо/+ Х, (/) и + ор[, (2.9.37) где Х, (г) и Х, (/) — не коррелированные квазислучайные телеграфные сообщения, принимающие постоянные значения на интервалах длиной 2Т. У радиосигналов ДФТ моменты времени возможной смены значений сообщений Х,(г) и ), (/) сопадают, а у сигналов ДФТ со сдвигом моменты смены состояний сообщения Х, (/) сдвинуты относительно таких же моментов Х, (/) иа временной интервал Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
