В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Здесь Г (х) — гамма.фуикция. Плотность вероятности (72) является весовой функцией для полиномов Гегенбауэра Сл (х) [90], Поэтому [(л+Л) л! 1!/е и! 0п(х)=[ 1 С~~(х), а„= С~~(г), п=б, 1, 2,..., Л > О, Л (2Л)п 1 и (2Л)п и где (а)п = Г (а + л)/Г (а!. Воспользовавшись формулой (61), получим, что для двумерной плотности веро- ятности справедливо следующее разложение: Ге (Л+! г2) Л Ге (Л+1) [(1 — ге) (1 — х,') (1 — х[)] / " х Х [(1 — ге) +2гхг хз — (х]+хек)] [(2Л) ] и (2.8.73) Л > О, [ г[ < 1, хе +х,' — 2гхт х ~< 1 †, 292 1[вумериая плотность вероятности р (хг, х,) гармонического сигнала $ (!) = А соз (ые! + 'р) (2.8.68) у которого амплитуда А и частота ше — постоянные величины, а начальная фаза ф случайна и равномерно распределена в интервале шириной 2л, определяется рядом [87] Двумерная симметрвчная плотность вероятности, описывающая некоторые марковские процессы и принадлежащая семейству кривых Пирсона типа 1, согласно формуле (6!) может быть представлена разложением по полнномам Яко.
бн (44, 921: р(х,, хз)=р(хт)р(х,) ~ г("~"~ ~~ 'Н~1"~~~~г 8„(х,) 8в (тз)г (2 8 74) л=в где 1 Г (и+6+2) 2и+8+ Г (и+1) Г (6+1) (х(<1, и,р> — 1, 8„(х) — полиномы Якоби: ( — !)" Г(2л4-и+6+1) Г(о+и+6+1) Г (и+1) Г (6+1) 11/д 8„(х) = 2л 1 Г(а+6+2) Г(л+и-)-1) Г(л+(1-(-1) щ х (2.8.76) ~л М (1 — х) "(1-(-х)=8 — [(1 — х)"+а(! -(-х)л+6); лхл г — нормированная корреляция или нормированная корреляционная функция, (2.8.76) 2.9. КОРРЕЛЯПИОННЫЕ ФУНКПИИ И СПЕКТРАЛЬНЪ|Е ПЛОТНОСТИ МАНИПУЛИРОВАННЫХ РАДИОСИГНАЛОВ Получим аналитические выражения для корреляционных функций и спектральных плотностей радиосигналов, манипулированных бинарными случайными последовательностями (100, 1011, а затем приведем некоторые количественные результаты. Большой класс манипулированных сигналов может быть представлен в виде (2.2,7б), т.
е. 5 (1) = л (г)5~(() + 11 — Х (т)1 ке(т). (2.9.1) Здесь Х(() — информационное сообщение, принимающее лишь два значения: 0 и 1, зт (1) и з, (() — некоторые узкополосные случайные процессы. В частности, к такому классу относятся бинарные сигналы амплитудной (АТ), фазовой (ФТ) и частотной (ЧТ) телеграфии (манипуляции) с разрывом фазы. Сигналы ЧТ без разрыва фазы в общем случае не могут быть представлены выражением (1), и поэтому они будут рассмотрены отдельно.
Выбором процессов к, (() и яв (7) можно учесть наличие случайных неинформационных (сопровождающих) параметров сигналов, возникающих в процессе генерации, распространения н при приеме радиосигналов (например, амплитудный фединг, случайные изменения частоты и фазы сигнала и т. д.). В дальнейшем принято, что Х (г) есть стационарный в широком смысле случайный процесс с математическим ожиданием тд и коварнационной функцией Кд (т), не зависящий от элементарных сигналов з, (1) и зв (г), которые также стационарны и стационарно связаны, причем их корреляционные функции обозначим через )ст (т) и )7а (т), а взаимную корреляционную функцию через Ьта (т).
В большинстве прак- 293 тических случаев математические ожидания радиосигналов равны нулю: М (з, (/)) = О, 1 = 1, 2. Получим выражения для корреляционной функции и спектральной плотности составного (результирующего) сигнала з ((). В соответствии с определением записываем выражение корреляционной функции й (т) = М (з (/) з (/ + т)) = Кх (т) И (т) — й (т) — й . (т) + + й, (т)! + лц И„ (т) + й„ (т) — 2й, (т)1 + йз (т).
(2.9 2) Эта формула позволяет определить корреляционную функцию составного сигнала з (/) через характеристики манипулирующего сооб1цения Х (/) и элементарные сигналы з, (/) и зз (/). Зная корреляционную функцию, по формуле (2.3.33) можно найти спектральную плотность 5 (в) = 2 ) й (т) соз атлет. (2.9.3) о Применительно к амплитудной манипуляции в формуле (2) нужно положить з, (/) = О. Тогда получим й (т) = Кх (т) й, (т). (2.9А) Согласно (2.3.60) спектральную плотность АМ сигнала можно найти как свертку спектральных плотностей, соответствующих ковариационным функциям Кх (т) и йз (т): ,Ч(а) = — Ял (а) * 5, (а) = — ~ Зх (а') 3, (а — а') г(а'. (2.9.5) 2л 2л При фазовой манипуляции с углом манипуляции л имеем з, (/) = — з, (/) и„следовательно, й, (т) = й, (т) = — й„(т) = — йм (т).
При этом из (2) получим й (т) = (1 + 4 Кх (т)] й, (т) — 4 тхй, (т). (2,9.6) При тх = 1/2 спектральную плотность можно найти по формуле З(в) = 4 — Бл (а) з 5,(в) — 5,(в). (2.9.7) При частотной манипуляции с разрывом фазы, когда составной сигнал з (/) образуется поочередным подключением двух независимо работающих генераторов, й,, (т) = йм (т) = 0 и корреляционная функция равна й (т) = Кз (т) ( й, (т) + й, (т)1 + (1 — 2 тх) й, (т).
(2 9.8) Если гпх = 1/2, то спектральная плотность определяется выражением 5 (а) = — 5 (а) * (5,(а)+За(аи. 1 2л Конкретизируем полученные выражения применительно к типовым манипулирующим сообщениям Х(/) и сигналам з, (/) и з, (/). В качестве информационных сообщений ). (/) возьмем два: случайный дво. ичный сигнал (пример 2.2.2) и квазислучайный телеграфный сигнал 294 (пример 2.2.4). Если сообщение Х (() представляет собой случайный двоичный процесс со значениями О и 1 и с пуассоновским законом распределения точек смены значений, то с учетом формул (2.2.84) и (2.2.67) получим Кх(т)= — (1+с '"!'!), Зх(а)= — б(а)+, а.- О, 4 2 аз+ 4~а где т — среднее число точек смены состояний сообщения Х (1) в единицу времени.
Ковариационная функция квазислучайного телеграфного сигнала дается формулой (2.2.74): Кх (т) = — + — (р — д)! ' ! [1 — 24 ~ ! ! — ! !' !)~ ! Г /)т! 4 4 г Соответствующая спектральная плотность равна 2 1 — 2(р — р)созаТ+(р — д)з ! аг(2 ) Зададимся узкополосными радиосигналами вида з, (() = А соз(а!1+ 8! + ар! (!) + сре01 (2.9.11) где А, а, и 8; — постоянные величины; ~рщ, — случайная начальная фаза, равномерно распределенная в интервале ( — и, п), %, (() — случайный процесс, описывающий флюктуации частоты и фазы сигнала.
В дальнейшем ограничимся случаем, когда процесс !р! (!) представляет собой фазовые флюктуации, описываемые простейшим стохастическим дифференциальным уравнением !(%/а = иа ((), где па (!) — гауссовский белый шум с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией )т„(т) = Л! 6(т)/2., В(441 показано, что в данном случае И, (т)= — — А' ехр — — ! т !1 сова; т, 2 4 (2.9.1 2) А1 Ф,/4 о! (а) = —, а)О. 2 (У 74)~-4-(а — а!)~ (2.9.13) йтз(т) = — А' ехр ~ — —" (т ! соз(аз а+ 8,— 81). (2.9.14) 2 ~ 4 295 Отметим, что получение результатов при другом характере фазы !р!(!) не имеет особенностей.
Лля общего случая фазовой манипуляции нужно полагать а, = = а, = а, гр, (() = ср, (!) = (р (!), ерш — — ср„= сра При этом выражения для корреляционных функций Я, (т) = )тз (т) и спектральных плотностей 3, (а) = 5, (а) даются формулами (! 2) и (13), а выражение для взаимной корреляционной функции имеет вид и з Ю л э з ю! и) М о о Е з 8 з в~ 1 х И о Е" о в $ Ф о ф Б Ю Ф Р а х Ф ю Ы М в з е й х о з а. В М ~'! 1 ! Я~ х ! + з ! з о о ы ! С~ ! о С4 ! ! Ь + Я' ! э 8 О. ! з ! ! э о + з ! э х с С4 + 1 о Б ! ! х Х в! Ю Ю о + з ! н — х в~~ х ауге,' (г атагей ~2 йг па йв Л4 г -одг авена У,б атаГ ьл лт хг 84 йг г дг 'д 5 и ааааа лт Гт т,г аа 84 Ю2 'д т х го-наг Рис. 2.89. Спектральная плотносгь радиосигналов, манипулированных случайным двоичным сообщением Рис.
2.58. Спектральная плот. ность радиосигналов, манипулированных квааислучайным телеграфным сообщением При О, — О = и эта формула упрощается: у )ств(т)= — — А'ехр — — ~(т! созотот=. Йт(т). 2 4 (2.9.15) На основе указанных результатов можно найти корреляционные функции и спектральные плотности сигнала л(г) при разных видах манипуляции. Соответствующие результаты приведены в табл.
2.2. К сожалению, при нахождении спектральной плотности интеграл свертки иногда можно вычислить лишь численными методами. Так обстоит дело, например, в случае квазислучайного телеграфного сигнала, когда Зь (го) определяется формулой (10). Поэтому выражения спектральных плотностей этих сигналов в таблице указаны только при Ф = О, т. е. в отсутствие флюктуаций фазы.
Спектральные плотности радиосигналов при манипуляции квази- случайным телеграфным сообщением были вычислены с использова- 298 нием интегралов свертки (6), (7) и (9) на ЗВМ. На рис, 2Л8 представлены результаты вычислений спектральной плотности АТ, ФТ и ЧТ радиосигналов. Аргументом для АТ и ФТ является отклонение от центральной частоты ез„а для ЧМ вЂ” отклонение от средней частоты ге, = (езт + езе)!2, умноженное на длительность тактового интервала Т.
Спектральная плотность симметрична относительно езе. Спектральная плотность АТ, ФТ и ЧТ радиосигналов при манипуляции случайным двоичным сообщением приведена на рис, 2.59. Здесь аргументом является отклонение от частоты се„умноженное на среднюю длительность 1/т постоянства сообщения Х (г). Рис. 2.60. Скзчкеобразный характер изменении частоты ЧМ радиосигнала Получим теперь аналитические выражения для корреляционной функции и спектральной плотности случайных частотно-маннпулированных радиосигналов с непрерывной фазой (ЧМН) с зависимыми символами, описываемыми однородной симметричной цепью Маркова.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
