В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 56
Текст из файла (страница 56)
о КОНЕЧНЫ, тО ПРИ Л -м оо НОРМаЛИЗОВаННЫй ПРОЦЕСС Й ()), а СЛЕДОВатЕЛЬ- но, и исходный процесс $ (1) становятся асимптотически гауссовскими. В этом предельном случае 11ш Ф„(1 б) = ехр ~ — — до), 1 )а-а 2 Втой предельной характеристической функции соответствует нормаль- ная плотность вероятности рм (у) = (2п) и' ехр ( — у'). Если теперь согласно (113) возвратиться к первоначальному процессу $ (1), то при оговоренных выше условиях асимптотическая нормальная плотность вероятности равна рт (х) =(2пРо (1))-) I' ехр ( — (х — т1(1))о72Р1 (1)).
(2.7.115) Можно показать, что полученный асимптотическнй результат рас- пространяется на многомерные характеристические функции. Следова- тельно, профильтрованный процесс Пуассона асимптотически стремит- ся к гауссовскому процессу, когда параметр интенсивности Л (среднее число событий в единицу времени) неограниченно возрастает (см. примеры 5.9.2 и 5.9.3). В 2 3.7 будут приведены дополнительные сведения о пуассоновских процессах. Представление случайного процесса рядом Фурье Разложим формально в интервале 1О, Т) стационарный в широком смысле алучайный процеса я (1) с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией Й (т) в ряд Фурье: $(1) = — '+ "ь (п„созпао(+ Ь„з(ппао1), ао — — 2п1Т, (2.8.1) л=! где т т а„= — ) $(1)созиа,Ж, Ь„= — ~ $(1)з(ппа,1й, (2.8.2) 2 т 2 т о нли в комплексной форме т э (1) = ~~~~ с„е1 "к'е ', с„= — К (1) е- 1""« ' пт'. (2.8.3) 1 г г,) и=в о Существенное отличие разложений (1) и (3) от обычных рядов Фурье, записанных для детерминированных функций, состоит в том, что теперь коэффициенты а„, й„и с„являются случайными величинами, а не числами.
Для разных реализаций ансамбля значения какого- либо из этих коэффициентов будут различны, т. е. коэффициент является случайной величиной. В связи с этим возникает вопрос: в каком смысле следует понимать сходимость правых частей рядов (1) и (3) к процессу $ (1)? Этот вопрос будет подробно рассмотрен в 2 5.1. Укажем лишь, что здесь используется среднеквадратическая сходимость (5.1.7). Например, применительно к ряду (3) это означает, что пп1 м (1$(1) — ~„, с„е1" '~ ) =О.
(2.8.4) В большинстве задач всегда желательно, чтобы ряды (1) и (3) обладали свойством двойной ортогональности, т. е. чтобы не только функции времени были ортогональны при п чь и, но и в дополнение к этому случайные коэффициенты с„и с были некоррелированными, М (с„с" ) = О. Докажем, что достаточным условием для этого является периодическая стационарность случайного процесса к (1) в широком смысле (2.1.50). Поскольку корреляционная функция такого процесса периодична с периодом Т, то ее можно разложить в ряд Фурье: т й(т)= й(ч+ Т)= ~~ ~тл е1""" т, та= — й (т)е 1па тдг.
(2.8.5) ! г т,) л а Локажем теперь выполнимость условия (4) для периодически стационарного в широком смысле случайного процесса. Имеем м (К(г) — $л (1) ! а) = Я (0) — 2м Д(1)$л(1)) + м (фл (1)14), (2 8.6) где обозначено 276 О $л (1) = 'Я с„е!лл«!, л= — л' (2.8.7) Выражение для математического ожидания М (с сл) получаем на ос- новании (3) и (5): т т (с с,")= — "5' ~ !'" '-" " ""= и о о о=-" т т т~ ~е!л«(о — «О !!(1 ~е!л, <л-и лдп ! Д вЂ” о 'о — то 6„« 6„л = т„6 „„, о=— (2.8.10) где 6„„ — символ Кронекера: ( О, т~а. (2.8.1 1) Формула (10) показывает, что для периодически стационарного процесса $ (1) коэффициенты Фурье в разложении (3) не коррелированы.
Можно доказать и обратное утверждение (891, что отсутствие корреляции между коэффициентами с„свидетельствует о периодической стационарности процесса. Кроме того, и-й коэффициент ряда Фурье (5) для корреляционной функции Я (т) равен дисперсии а-го случайного коэффициента ряда Фурье (3) для процесса $ (1). Подстановка выражения (10) в (9) дает МЯЛ(())о)= ~ т.. 2П Распишем последние два слагаемых в правой части (6). С учетом соотношений (3) и (5) получим М(ль(1) зн(1)) = ~ М ($(1) с„).е!"" ' л !о М т ! с е!лл«! И(т — 1)е !"л.л!(тлл т,') л= л' о О „к (т () е !"" ! '! с(о = ~)о~~~ т„. (2,8.8) .см т,) л л Аналогично М (! Ь (1) !о) = ",' 'Я М (с„с„") е!«л ! -л> '.
(2.8.9) С учетом этого равенства и соотношения (8) в пределе выражение (6) примет зид (4): !пп М ([Ц(/) — $р(/)[Р) =/7(0) — 2/7(0)+/((0)=0. Таким образом, разложение в ряд Фурье периодически стационарного процесса сходится к процессу в ереднеквадратическом смысле. Заметим, что а„= с„+ а „, Ь„= / (с„— с „) и с„= (а„— /Ь„)/2, с „= (а„+/ь„)/2. Лля вещественного случайного процесса $ (/) корреляционная функция /7 (т) является вещественной. При этом из (7) и (10) следует, что мнимая часть М (с с„') равна нулю: 1ш М (с с„") = '/, [М(а Ь„) — М (а„ь )] = О, 1ш М (с с" „) = 9р [М (а Ь„) + М (а Ь )1 = О, т.
е. М (а„Ь„) =М(а„Ь„) =О. (2.8.12) Итак, ряд Фурье для периодически стационарного процесса $ (/) обладает двумя важными свойствами: 1) он сходится в среднеквадратическом к процессу $ (/) и 2) коэффициенты разложения а„, Ь„и с„не коррелированы. Если периодически стационарный процесс $ (Г) является гауссовским, то эти коэффициенты будут независимыми. Предположим теперь, что рассматриваемый процесс $ (г) является стационарным в широком смысле, но не обязательно периодическим. Требование стационарности процесса говорит о том, что вероятностная структура, которую процесс может иметь внутри некоторого интервала, должна быть статистически аналогична его структуре в любом другом интервале той же длины. Поскольку рассматриваемый процесс не обязательно является периодическим, корреляционная функция не может быть просто выражена через дисперсии коэффициентов Фурье процесса $ (1), как это имело место в (5).
Теперь имеем /7(т)=МД(/+т) $*(/)) = М (с„с,",) ехр [1 (п — т) ор/+)парт), (2 8.13) Л= — »1 причем это равенство справедливо лишь тогда, когда Г и Г + т находятся в одном и том же интервале длины Т. В общем случае существенно упростить это выражение невозможно. Так как разложение в ряд Фурье (3) оказывается относительно простым, если коэффициенты ряда не коррелированы между собой, и его часто применяют именно в этом допущении, то полезно отметить, что при неограниченном увеличении длины интервала Т нормированная корреляция между различными коэффициентами зтремится к нулю: 1цп ТМ (с„с') =О.
(2.8.14) г- Кроме того, если и-» ро при Т-» оотаким образом, что арзр —— / остается постоянным, то 278 11гп ТМ(~с„1~)= ) Й(и)ехр( — 12пг и)Ни=-5(/,), (28.16) где 8 (7'„) — значение спектральной плотности процесса при (' = 7"„, Лля доказательства этого запишем согласно (3) очевидное соотно- шение г М(с с) = — ' ( ень <"= >'б(= —" 6 тю' о (2.8.17) Представление случайного процесса разложением Каруиеиа — Лоэва Выше было показано, что непериодический случайный процесс не может быть представлен тригонометрическим рядом Фурье с некорре- лированными случайными коэффициентами. Однако если понимать тер- 279 т г М (с„с„",) = — ~ ~ Й (( — Я) ехр()О0(гпа — и()) дйз.
(2.8.16) о о Полагая и = ( — з, имеем г 3 5 ! Р М (с„с„',) = — ~ ~ Р(и) ехр()а,(ом — п(и — зи)диг(з, — в или после замены переменной о = а7Т ТМ (с„с') = 1 го — м =~ехр (12п(т — п)о) гЬ ~ 77(и) ехр(~ ~) пи, 7' о — юг При т ~ и и постоянных и и и внутренний интеграл для всякого о чь 0 при Т-~ со стремится к ) )т (и) г(и = сопз1 и весь интеграл в пределе обращается в нуль. Если и = и и и -э оо при Т вЂ” ~ оо так, что ага, = 7' остается постоянным, то интеграл стремится к ) 77 (и) ехр ( — 12п~„и) пи. Отсюда непосредственно следуют равенства (14) и (16). Отметим также, что коэффициенты разложения оказываются приближенно некоррелированными для любого стационарного процесса, спектральная плотность которого приблизительно постоянна в интервале частот, превышающем УТ.
В частности, для белого шума с дельтообразной корреляционной функцией )с (т) = Л/, 6 (т)/2 из (16) полу- чим (2.8.19) мин ряд Фурье в широком смысле, т. е. иметь в виду любой ряд по ор- тогональным функциям ~р„(() с соответственно определенными коэффи- циентами, то случайный процесс может быть представлен рядом с не- коррелироваиными коэффициентами. Предварительно приведем некоторые математические определения. Вешественная или комплексная функция ~р (г) действительного пере- менного 1 называется интегрируемой в квадрате в интервале [О, Т[, если т [ч(1) ['й(( Две интегрируемые в квадрате функции ф (1) и й (1) называются ортогональными друг другу в интервале [О, Т[, если т 1ч (()й'И)й(=0.
о Система функций (фь (1), и = 1, 2, 3,...), определенных в интервале [О, Т[, называется ортонорлированной в втоле интервале, если 1 * ч (1)ч[(Оде= ~ 1 1, 1=1г, (2,8.18) ~ О, (чьй. о Система ортогональных (ортонормированных) функций Ч~ь (1) на- зывается полной в классе функций, ин егрируелихх в'квадрате в ин- тервале [О, Т1, если произвольная функция $ (1), интегрируемая в квад- рате на [О, Т), может быть сколь угодно точно в среднеквадратическом смысле аппроксимирована линейной комбинацией функций ~рь (1), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
