В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Можем написать Ф(19)= ~ч) М(ехрЦЯ(<)))Ж(1)=й),, ар(1о'(1)=й), (2.7.92) о-о где и< р<1о<<~вою<-о<.,-м[ о[<о в ь<<., <<1< =М~ Ц ехрЦОЬ(Г, ть ())1 = П М(ехрЦдй(1, т<, ~))),-< с, 1< 1 ъ (2.7,93) Здесь последнее равенство написано на том основании, что случайные величины т, т, ..., то взаимно независимы. Так как все онн имеют одинаковую равномерную плотность вероятности (90), то М(ехрЦдйф, то, Ь))),, — ехрЦОЬ(<, т, ь)1<1т„<=1, 2, ..., й.
Поэтому выражение (93) принимает вид Д вЂ” )мь р~~Оаф,,щ~д — — ~а( рцббф,, сии о Зля упрощения записей в последнем выражении опущен индекс Подставим это выражение в (92) и учтем формулу (24). Тогда получим Ф()б)= ~ — ~ М(ехр()бЬ(г, т, Ь))) Ж вЂ” е-м= 1 с 1 (х~)' 2 [~,) и 1' И в=о о „р(л(т~ риеь<и,, щ а,) Отсюда видно совпадение полученного результата с (83). Перейдем к доказательству формулы (84) для двумерной характеристической функции Ф,()бм )6) =М (ехр ()дт $((т)+)6, $((з))) = л нм и(1м =М (ехр) дт ~ч~~ Ь((м тм ~,)+ д, ~ч', Ь((м тн ь,) Ф-1 ! 1 и цм = М ехр ) ~~~'„(д, Ь ((и чм ~~)+ дз Ь ((и ть 1~)) . Е ! Здесь при записи последнего равенства две суммы заменены одной с одним общим верхним пределом суммирования Л' ((,) на том основании, что при любых ь и т функция Ь (г', т, ь) = О, если ( с.
т,так какэлементарный входной сигнал, появившийся в момент времени т, не может оказывать влияния на результат в более ранний момент времени й Лля сокращения последующих математических записей введем обозначение д (т, ь) = б,Ь (1м т, ь) + д, Ь ((м т, ь). (2.7.94) Тогда нам Фз()дм )д,)=М(ехр()У)), У ~ д(то~~). Порядок последующих вычиелений такой же, как и при вычислении одномерной характеристической функции.
Можем написать М (ехр () У)) = ~ М (ехр () У) ( Л ((,) = Ь),, ~ Р (й( (~,) = Ь). 270 Повторив приведенные выше рассуждения, относящиеся к одномерной характеристической функции, получим в и(-р(в)~и(о-ч,, -~ — ')и~-рь(,м~ Подставив этот результат в предыдущее выражение и учтя формулу (24), найдем Ф, (16, Щ= ~~ е-х'» — ' — ~ М(ехр )д(т, ь)) Ж Вся И =ехр Х (М(ехр)я(т, ь)) — 1)г(т . Если подставить сюда выражение д (т, ь) из. (94) и учесть, что й (1, т, ь) = 0 при 1( т, то придем к формуле (84).
Формулу (86) можно получить из (83), а (87) из (84) воспользовав- ~вись известным правилом вычисления моментов по характеристичес ким функциям: 1тв (1) = — 1п Ф (О), д дд )зВ1 (1) = — 1пФ(0), до~ (2.7.95) 1Я,(1„1,) = " )п Фз(0 0) ддв дд, Фне- .~(~ 1 ~.*р((им — ча~, (2.7.96) тв(1)=те=А ~ л(в)йв, (2.7.97) 171(1)=О1=Х ) й'(в)йв, ЯВ(1, 1+т)=Ив(т)= А ~ й (в)Ь(в+я)1(в. (2.7.98) (2.7.99) 271 Применительно к простейшему стационарному дробовому шуму вида (81), а именно; $(1)= ~ч,' й(1 — 1;), — оа (1;ао где времена появления элементарных импульсов одинаковой формы описываются пуассоновским потоком с интенсивностью Х, формулы (83), (85) — (87) принимают следующий вид: Формулы (97) — (99) обычно называют теоремой Келабелла о супер- позиции независимых случайных возмугцений (нмпульсов). В качестве иллюстрации втой теоремы рассмотрим ранее описанный прн. мер дробового шума в плосяопараллельном диоде, работающем в режиме насыщения, когда елементарные импульсы имеют вид прямоугольных треугольвиков (см.
рис, 2.53), ю е. 2е И(в)= —,е, Оь.а<ее. а Применительно к етому частному случаю теорема Кемпбелла дает щй — Лев Р1 4Ле~lзте~ 4Ле / 3 )е) 1 1е)еЛ вЂ” 1Л1 — — — + — ° — е! пРи )т 1~(таю Рй(е) Зга Л 2 ее 2 е( ! 0 при других и. ,Пусть стационарный дробовой шум имеет внд $(1)~ ~~~~ А1Ь(1 19, — оо сС с со. (2.7. 100) Здесь А1 — вааимонеаавнсимые случайные амплитуды алементарных импульсов, имеющие общую (для всех АД плотность вероятности р (А);  — случайные времена появления алементарных импульсов, не аависяших от А~ и описываемые пуассоновским потоком с интенсивностью Л, В данном случае формулы (83) — (87) переходят соответственно в следующие: (2.7.102) шй ЛМ(А)) Ь(а)г(а, е ВЬ=ЛМ (Ае) ~ Ье (и) Еа, Рй (е) ЛМ (Аа) ) Ь (в) И (1 е1+е) Еа, о (2.7.103) (2.7А04) (2.7.105) Здесь М(А")- ( А" р(А)ЕА, М (екР (10АЬ(а))) = ) еаР (16АЬ (а)) Р(А) НА (2,7.108) В том частном случае, когда амплитуды всея элементарных импульсов одинако.
вы я равны Ае, г, е, р (А) 6 (А — Ае), ати формулы упрощаютси, так кая М (Ае) = Аяа М (еяр (10АИ (и))) = екр (10АеИ В)) Понятие профильтрованного пуассоновского процесса и соответствующие результаты могут быть обобщены на неоднородный и другие виды процесса Пуассона. В частности, пусть (1У (1), 1) О) — неоднородный процесс Пуассона с функцней интенсивности Л(1). Напомним, что величина Л (1) Ж приближенно равна вероятности того, что в интервале 11, 1+ Й1) произойдет одно событие процесса У (1).
Пусть профильтрованный неоднородный пуассоновский процесс по- прежнему определяется выражением (80.) Можно показать, что для такого процесса формулы (83), (85) — (87) принимают вид 1п Ф (~6) = ~ Л (т) М (ехр 16Ь (1, ч, ь) — 17дс, (2.7.107) т~(1) = Л(ч)М(Ь((,ч, ь))г(т, (2.7.108) Х~а (О = ) Л (ч) М (Ь (1 т ь)) бт, к!и и», 80 Яь((м (,)= ~ Л(т) М(Ь((ь т, ~)ЬЦ, т, ~)) г(т. (2.7.110) о Отметим, что эти формулы дают вероятностное описание нестацнонарного дробового шума. Бели «насыщенньпЪ диод работает при периодически изменяющихся напряжениях, то интенсивность эмиссии будет также периодически меняться.
В результате получим неоднородный процесс Пуассона У (1) с периодически изменяющейся функцией интенсивности Л (1). Выше были получены формулы для характеристических функций профильтрованного пуассоновского процесса. Однако из обратного преобразования Фурье, как правило, не удается найти по характеристическим функциям соответствующие вероятностные распределения, Возникающие вычислительные трудности не позволяют выполнить расчеты точно и до конца. Этот вопрос подробно обсуждался в физической и математической литературе. Рассмотрим здесь предельный случай, а именно, докажем асимптотическую гауссовость профильтрованного процесса Пуассона прн увеличении параметра интенсивности Л (Л-э ао) Этот результат, вытекающий по существу из центральной предельной теоремы (поскольку речь идет о сумме функций от независимых случайных величин), можно сравнительно легко доказать.
Из формул (85) и (88) видно, что математическое ожидание и диспервня профильтрованного пуассоновского процесса линейно возрастают прн увеличении интенсивности Л. Поэтому целесообразно иметь дело а нормированным процессом ч (г) = Й (г) — ть (г)Л' в; (г), математическое ожидание которого равно нулю, а дисперсия — единице. Для сокращения запиаей введем формальные обозначения 273 а = ~ М (й ((, т, Е)) г(т, !Озз = ~ М (йз ((, т, 1)) с(т. (2.7.111) Из сопоставления этих обозначений с формулами (85) и (86) следуют равенства т! (!) = Ла, Ва(!) = Лр'. (2,7.112) С учетом введенных обозначений имеем и(!) — "' '" — "" " )/Л.
(2.7.113) Выразим характеристическую функцию нормированного процесса 7) (!) через характеристическую функцию (83) процесса а (!). По определению характеристической функции имеем Ф„(16) = М (ехр [167) (Г))) = ехр ( — 1 — )/Л) х ХМ ехр 1 — 5(!) =ехр — 1 6" )/Л Ф Подставив сюда выражение Ф (16!!3 Л) из (83), можем написать 6 Фч (16) = ехр ( — 1 — ~ )/Л1ехр (Л 1 М ~~ ехр(1 ) х хй(1, т, ь) — 1 с(т, На основании иавестного разложения экспоненциальной функции в ряд ! а . 1 р ! е!" = 1+)х — — х' — 1 — х'+ — х'+ ...
2 3! 4! представим экспоненту под знаком интеграла рядом и несколько преобразуем получающееся выражение с учетом введенных обозначений (111). Тогда получим Ф1!(16)=ехр( — 1 — )/Л 1ехр Ь ( М!(1+ 1 й((, е, ь)— 7 'й(г,. 1); 7 ' й((,. 1)+ ! 7 6 Ч, 7 6 + — ~ — ! й" (г, ч, ь)+... — 1 !(е 7 ~ л1 274 а( — — м — )м(а ((,, о)а». 1 2 З) Вз)())о о (-, '„) м (а ((„, ())., (- ...~. о (2.7.1 14) 2.8. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОПЕССОВ И ПЛОТНОСТЕЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ОРТОГОНАЛЬНЫМИ РЯДАМИ При различных преобразованиях случайных процессов, а также при моделировании и приближенном представлении результатов оказывается полезной запись случайных процессов и плотностей вероятностей в виде бесконечных рядов по ортогональным полиномам.
Опишем представление случайных процессов рядами Фурье и разложением Карунена — Лоэва и рассмотрим разложение одномерных и двумерных плотностей вероятностей в ряды по ортогональным полиномам. При этом по ходу изложения материала в справочном виде будут приведены необходимые математические сведения. 275 Отсюда видно, что если для любых ) математическое ожидание )и 1(1), дисперсия Ро (1) и входящие в (114) отношения (м(а'(),,о)а 1()м(а'((,,о)а), а а,(,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
